希望杯第七届(1996年)初中二年级第二试试题

1、希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题一、选择题：4xy 4xy1. 化简：xy+|x + y L的结果是 a+ ba b a 1C. a 1 v a+ b v a bv a + 1; D . a + b a b a + 1 a 13. 已知x2+ ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是 A. 3个B . 4个.C . 6个D . 8个4. 如图 35,A AB（中, AB=AC / B=36 . D E是BC上两点，使/ ADEN AED=2/ BAD,则图中的等腰三角形一共有A . 3 个 B . 4 个.C . 5 个 D . 6 个5. 如图

2、36 . AB（中, AB=AC CDL AB交AB于 D,Z ABC勺平分线 BE交CD与E,则/ BEC勺 大小是1111A.135 0- A; B.135 + A; C.90 +A; D.180 0- A.4422图站A6. 三角形的三边长分别为 2n2 + 2n, 2n + 1, 2n2+2n+ 1 （ n是自然数），这样的三角形是A.锐角三角形.B.直角三角形.C .钝角三角形.D .锐角三角形或直角三角形7. 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的 80

3、%攵费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时A.甲比乙低.B .乙比甲低.C .甲、乙相同.D .是甲低还是乙低，视原价而定22 2x +188. 已知x为整数，且-笃 为整数，则符合条件的x的所有值的和为x+33-x x -9A . 12 B . 15 C. 18D. 209. 在厶AB（中, Z B=2/ C,则AC与2AB之间的大小关系是A . AC 2ABB . AC=2AB. C . AC 2AB D . AC PB. Q=P. C QC PD . Q 1,- a 1 v a+ b.又 bv 1,- a b v a+ 1.综上得 a 1 v a + b v a b v a + 1

4、,选 C.3. 设x2+ ax 12能分解成两个整系数一次因式的乘积，即 x2 + ax 12=(x + m)( x + n)，m， n是整数.2 2 x + ax 12=x +( m+ n) x + mn fmn = 一 12* lm + n = a/m, n是整数，且 mn= 12.m = 12m = 1m = 6n= -T n = 12 *n-121 1m = 4m = -3m = 3m =m - 2n = 4 n = -4 +n =n = Wm = -12n = 1共12种清况.m = -6 m = In = 2 n = -12而a=m+ n,只有6种结果，选C.4. A ABC中,

5、AB=AC / B=36, / C=36,Z A=180 2 X 36 =108 又/ ADE=N BAD玄 BADZ B, / BAD玄 B=36.同理Z EACZ C=36. Z ADE玄 AED=72 , Z DAE=36 ./ BAE=Z CAD=72 .于是等腰三角形有 ABC ADE ABD AEC ABE ADC共6个，选D.5. TA AB(中 , AB=AC上沁*逍冷伽。一3 =缈-1又BE是/ ABC勺平分线，./ BECl BED勺外角24 / BEC=/ BDH/ DBE-选 A46.v n是自然数 ( 2n2+ 2n+ 1)2=(2n + 2n+ 1)2( 2n2+

6、2n) 22 2 2+ ( 2n + 2n) ( 2n + 2n+ 1) ( 2n + 2n)=4n2 + 4n + 1= (2n+ 1) 2三角形的三边长满足勾股定理.三角形是直角三角形，选 B.7.设原价为a元.则甲旅行社收费 =a + 2 70%a=2.4a.乙旅行社收费=3 80%a=2.4a. 选 C.2 2 2+18+ 5x + 3 3-x x -92k 6 2jj 6+2 鑒 +18- 92(X+3J二宀92当x 3=1或x 3= 1或x 3=2或x 3= 2时，原式的值为整数.此时X1=4, X2=2, X3=5, X4=1. -X1 + x2+ x3+ X4=12, 选 A.

7、9.如图43,延长CB到D,使DB=AB连接AD 在 AB冲，AB=BD / BAD玄 D.又/ ABDl ABD勺外角， / ABC=N D.由已知/ ABC=2/ C,/ C=Z D, AD(是等腰三角形. AD=AC在厶 ABD中 AB+ BD AD,即 2AB AC,.选(D)10. 重物的实际重量为 P.二 Pa=mb. a* .m, = p.1 bF同理= P.1 z1 z a b %a + bQ= r= -C- + -J P =JJb a(a-b)叽=r2ab卩 aa阶/ a丰 b,2( a b)0. Q 卩，选(A).二、填空题提示：32222211. a c 4a bc+ 4

8、ab c=ac (a 4ab + 4b ) =ac (a 2b).12. A AB(中，/ B=70,Z C=34./ BAC=180 ( 70+ 34) =76.又AE平分/ BAC/ BAE=38 .Rt ABD中/ B=70,BAD=20 .DAE玄 BAE/ BAD=38 20 =18 若x 0,则x=x 1，矛盾.13.Aa-5乜+ 2a+a-61a2 - a - 6Ca-3) 3 - Ca + 2) 3G + 3)2)“V+a-5 x=|x| 1. xv 0.有x= x 1, 2x= 1.将-尹入得?+1-a 丰 0, bM 0.用ab分别除原式的分子分母得b a16. 整理关于x

9、的方程.a (x 3)+ b (3x + 1) =5 (x+ 1) (a + 3b 5) x ( 3a b + 5) =0.方程有无穷多解 a + 3b 5 = 03a-b + 5=0a= -1, b = 217. 比较 AERA BEF,可以看作是等高不同底的三角形. - Sa ae： Sabef=AF： BF=1： 2 .二5皿=卜込=1平方厘米）- Sa ab=3 （平方厘米）.比较 ABEA CBE它们也是等高不同底的三角形.Sa abE Sa cb=AE EC=2 1 .s4OT = |平方厘米）-Sabc=2Saabc=9 (平方厘米)18. 如图 44,连接 CD 在厶 ACDh

10、 AE=EC=DE/ CDA=90 , AD（是直角三角形.又/ A=30, AC=2CD 应=翻811 + 25%1-25%1 + 15%_由式得丰+y= 2000.由式得y=2300 x.代入得-K + j（2300-x） = 2000. x=2000 （人）.解法2：设学校去年有男生x人，女生y人，则230071 + 15%x（l+ 25%） + y（l- 25%） = 2300.解得 x=1600, y=400.今年学校有男生 1600 X（ 1 + 25% =2000人.20. 如图45,将厶BAP绕B点逆时针旋转60,则BA与 BC重合，BF移到BM处，PA移到MC 处. BM=B

11、P MC=PAZ PBM=60 . BPM是等边三角形.APM = PB=2V3.在厶 MC中，PC=4,.忠_ : . -： I 1 -：!; PCf=PM+ MC且 PC=2MC PCM!直角三角形，且/ CMP=90，/ CPM=30 .又厶PBMI等边三角形，/ BPM=60 . / BPC=90 , BP（是直角三角形.BC2 =BP2 +PC2 =（厶疗尸 +42 = 28.BC= 27.三、解答题21. 解法 1：当 x=1 时，1 + a + b + c=1 , a + b + c=0.在Rt BC中，/ B=45,BD = CD）, BC = V2CD.ADa = BC CD

12、）人（J2CD）3=3t 2.19. 解法1:设学校现有男生x人，女生为y人，则 + y = 2300当x=2时，8+ 4a+ 2b+ c=2,二 4a + 2b + c= 6 联立，解得c - 6a =6-3c阡丁当x=8时，M=512+ 64a + 8b+ c, 当 x=5 时，N= 125+ 25a 5b+ c. M- N =512+ 64a+ 8b+ c ( 125 + 25a 5b+ c)=637+ 39a+ 13bc -bT6-3c2=637 117+ 39 =559.解法2:同解法1得a + b + c = 0la + 2b + c = -6taM=512+ 64a + 8b +

13、 c, N= 125+ 25a 5b+ c.M N=637+ 39a + 13b.由一得3a + b= 6, M N=637+ 13 (3a + b) =637 78=559.解法 3:设 P (x) =x + ax + bx + c则P (1) =1, P (2) =2.又设 Q (x) =P (x) x,则Q (1) =0, Q (2) =0.T Q (x)是关于x的三次多项式，可设 Q( x) = (x 1) ( x 2)( x m),其中m为常数.于是 M- N=P( 8) P ( 5)=Q (8)+ 8 Q ( 5) + ( 5)=Q ( 8) Q ( 5) + 13=7.6 (8

14、m) ( 6)(一7) ( 5 m)+ 13=336 42n+ 210+ 42m+ 13=559.22. ( 1)如图46,当PM=PI时， M0面积最小，选(D).理由同第(3)小题.(2)由(1)知，当PM=P时， MO面积最小./ MO是直角三角形.二 OP = - MN.2:.MN=2a又/ POM=30 ,/ PMO=30 , NO = MO = 75a5厂訥MO普&（3）作法1如图47. 从P点作PC/ O咬OB于 C.在OBh截取CN=OC连接NP并延长交OA于M.则Mt即为所求线段.此时， PC/ OM OC=CN PM=PN OM面积最小.证明：若经过F点另有一条直线EF交O

15、A OB于 E, F （如图47）.从N作NG/ O/交EF于G.可证明 PEMA PGN - Sa pe=Sapng Sapnf - Sa om=S四边形 oepn+ Sa pem S四边形oepn+ Sa pn=Sa oef若E F过点P交OA OB于E, F（如图48）则作M G / OB交E F于G,同理可 证Sa omi Sa oefOM是符合要求的面积最小的三角形.说明：此题的原型源于一道常见的平面几何证明题.题目：如图49,等腰A ABC中 AB=AC D, E为AB和AC延长线上的点，且 BD=CE DE与BC 相交于P,求证DP=PE证明1过D点作DF/ BC交AC于F./ ADF=/ B,Z AFD=/ ACB AD=AF FC=BD=CE在A EDF中, CP/ DF, EC=CFEP=PD证明2:过D点作DF/ AC交BC于F （图50）. / DFB=/ ACB玄 B. DF=DB=CE在A PDF和 A PECK / DPF=Z EPC, / PDF=Z E,