高中数学模拟试题（附答案及解析）

1、. 高中数学模拟试题（附答案及解析）一、选择题（共10小题）1（2014衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）A2iBiCiD2i2（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，23（2014广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD4（2014河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）A

2、BCD5（2014包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称6（2014太原一模）复数的共轭复数是（）ABCiDi7（2014广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD8（2014上海二模）已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A

3、1BC2D39（2014重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，2（0，B（，2（0，C（，2（0，D（，2（0，10（2013铁岭模拟）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D5二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11（2014乌鲁木齐二模）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于 _12（2014湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原

4、点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p0）经过C，F两点，则=_13（2014云南一模）已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_14（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_15（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16（2014江西）如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（1）求证：ABPD；（2）若BPC=90，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的

5、余弦值17（2014江西模拟）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（nN*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式18（2014四川）三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值19（2014天津）设f（x）=xaex（aR），xR，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大20（2014陕西）设函数f（x）

6、=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围21（2014江苏）已知函数f0（x）=（x0），设fn（x）为fn1（x）的导数，nN*（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意nN*，等式|nfn1（）+fn（）|=都成立参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1（2014衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）A2iBiCiD2i考点：复数代数形式的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可解答：解：=1i，所以=（

7、1+i）（1i）1i1=i故选B点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型2（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2a20，得1a2，问题解决解答：解；当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a，解不等式：a2a20，得1a2，0a2，故选：D点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基

8、础题3（2014广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC 的长，即可求三棱锥DABC的体积解答：解：O是AC中点，连接DO，BOADC，ABC都是等腰直角三角形 DO=B0=，BD=aBDO也是等腰直角三角形 DOAC，DOBO DO平面ABC DO就是三棱锥DABC的高 SABC=a2三棱锥DABC的体积：故选D点评：本题考查棱锥的体积，是基础题4（2014河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆

9、上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）ABCD考点：抽象函数及其应用菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，POM=x，则OM=|cosx|，点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最

10、小值为0，故选C点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用5（2014包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对

11、称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案解答：解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确故选D点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型6（2014太原一模）复数的共轭复数是（）ABCiDi考点：复数代数形式的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，bR）的形式，然后求出共轭复数，即可解答：解：复数=i，它的共轭复数为：i故选C点评

12、：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型7（2014广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论解答：解：双曲线C的离心率为2，e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得cosAF2F1=，故选：A点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心

13、率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力8（2014上海二模）已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1BC2D3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值解答：解：设底面边长为a，则高h=，所以体积V=a2h=，设y=12a4a6，则y=48a33a5，当y取最值时，y=48a33a5=0，解得a=0或a=4时，体积最大，此时h=2，故选C点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法是中档题9（2014重庆）已知函数f（x）=

14、，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，2（0，B（，2（0，C（，2（0，D（，2（0，考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论解答：解：由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=g（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，g（x）表示过定点A（1，0）的直线，当g（x）过（1，1）时，m此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0m，当g（x）过（0

15、，2）时，g（0）=2，解得m=2，此时两个函数有两个交点，当g（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m0，由=9+4m=0得m=，此时直线和f（x）相切，要使函数有两个零点，则m2或0m，故选：A点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法10（2013铁岭模拟）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D5考点：等差数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题分析：先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2Sk=24转化

16、为关于k的方程求解解答：解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24转化为：（k+2）2k2=24k=5故选D点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11（2014乌鲁木齐二模）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于 20考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积解答：解：在ABC中AB=A

17、C=2，BAC=120，可得，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径，故此球的表面积为4R2=20故答案为：20点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力12（2014湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p0）经过C，F两点，则=考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程

18、中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值解答：解：由题意可得，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得a0，b0，p0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2abb2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算13（2014云南一模）已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由双曲线的几何性质易知圆

19、C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）由此可求出它到双曲线中心的距离解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）它到中心（0，0）的距离为d=故答案为：点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用14（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用；真题集萃菁优网版权所有专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：可对a进行讨论，当a2时，当a=2时，当a2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围解答：解：当a2时，f（2）=24，

20、不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a2时，f（2）=22=4，符合题意；a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题15（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：分别由f（0）=a，x2，ax+综合得出a的取值范围解答：解：当x=0时，f（0）=a，由题意得：ax+，又x+2=2，a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16（2014江西）如

21、图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（1）求证：ABPD；（2）若BPC=90，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值考点：二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：空间角；空间向量及应用分析：（1）要证ADPD，可以证明AB面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明ABPD（2）过P做POAD得到PO平面ABCD，作OMBC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则VPABCD=，故当时，VPABCD取最大值，建立空间直角坐标系OAMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值解答：解：

22、（1）在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，AB面PAD，ABPD（2）过P做POAD，PO平面ABCD，作OMBC，连接PMPMBC，BPC=90，PB=，PC=2，BC=，PM=，BM=，设AB=x，OM=xPO=，VPABCD=x=当，即x=，VPABCD=，建立空间直角坐标系OAMP，如图所示，则P（0，0，），D（，0，0），C（，0），M（0，0），B（，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，2）cos=点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象

23、、转化、计算的能力与方程思想17（2014江西模拟）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（nN*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式考点：数列递推式；等比关系的确定菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由题设条件知b1=a22a1=3由Sn+1=4an+2和Sn=4an1+2相减得an+1=4an4an1，即an+12an=2（an2an1），所以bn=2bn1，由此可知bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（2）由题设知所以数列是首项为，公差为的等差数列由此能求出数列an的通项公式解答：解：（1）由a1=1，及Sn

24、+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a22a1=3由Sn+1=4an+2，则当n2时，有Sn=4an1+2，得an+1=4an4an1，所以an+12an=2（an2an1），又bn=an+12an，所以bn=2bn1，所以bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（6分）（2）由（I）可得bn=an+12an=32n1，等式两边同时除以2n+1，得所以数列是首项为，公差为的等差数列所以，即an=（3n1）2n2（nN*）（13分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式18（2014四川）三棱锥ABCD及其侧

25、视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角菁优网版权所有专题：空间向量及应用分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角ANPM的余弦值解答：解：（1）由三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥ABCD中：平面ABD平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OABD，OCBD 所以BD平面OACBDAC因为M，N

26、分别为线段AD，AB的中点，所以MNBD，MNNP，故BDNP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD平面ABC，这与DBC=60矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，0）于是，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos=所以二面角ANPM的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题19（2014天津）设f（x）=xaex

27、（aR），xR，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理菁优网版权所有专题：综合题；导数的综合应用分析：（）对f（x）求导，讨论f（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（）由于x1=a，x2=a，则x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x（1，+），得到h（x）在（1，+）上是

28、增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大再由（）知，t随着a的减小而增大，即得证解答：解：（）f（x）=xaex，f（x）=1aex；下面分两种情况讨论：a0时，f（x）0在R上恒成立，f（x）在R上是增函数，不合题意；a0时，由f（x）=0，得x=lna，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）+0f（x）递增极大值lna1递减f（x）的单调增区间是（，lna），减区间是（lna，+）；函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：（i）f（lna）0，（ii）存在s1（，lna），满足f（s1）0，（iii）存在s2（lna，+），满

29、足f（s2）0；由f（lna）0，即lna10，解得0ae1；取s1=0，满足s1（，lna），且f（s1）=a0，取s2=+ln，满足s2（lna，+），且f（s2）=（）+（ln）0；a的取值范围是（0，e1）（）证明：由f（x）=xaex=0，得a=，设g（x）=，由g（x）=，得g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，并且，当x（，0）时，g（x）0，当x（0，+）时，g（x）0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a（0，e1）及g（x）的单调性，可得x1（0，1），x2（1，+）；对于任意的a1、a2（0，e1），设a1a2，g（X1）=g（X2）=ai，其

30、中0X11X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0Y11Y2；g（x）在（0，1）上是增函数，由a1a2，得g（Xi）g（Yi），可得X1Y1；类似可得X2Y2；又由X、Y0，得；随着a的减小而增大；（）证明：x1=a，x2=a，lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；x2x1=lnx2lnx1=ln，设=t，则t1，解得x1=，x2=，x1+x2=；令h（x）=，x（1，+），则h（x）=；令u（x）=2lnx+x，得u（x）=，当x（1，+）时，u（x）0，u（x）在（1，+）上是增函数，对任意的x（1，+），u（x）u（1）=0，h（x）0，h（x）在（1，+）上是增函数；由得

31、x1+x2随着t的减小而增大由（）知，t随着a的减小而增大，x1+x2随着a的减小而增大点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目20（2014陕西）设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：（）m=e时，f（x）=lnx+，利用f（x）判定f（x）的增减性并求出f（

32、x）的极小值；（）由函数g（x）=f（x），令g（x）=0，求出m；设（x）=m，求出（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（）由ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出m的取值范围解答：解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，f（x）=；当x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x（e，+）时，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2；（）函数g（x）=f（x）=（x0），令g（x）=0，得m=x3+x（x0）；设（x）=x3+x

33、（x0），（x）=x2+1=（x1）（x+1）；当x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上是增函数，当x（1，+）时，（x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1是（x）的极值点，且是极大值点，x=1是（x）的最大值点，（x）的最大值为（1）=；又（0）=0，结合y=（x）的图象，如图；可知：当m时，函数g（x）无零点；当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；当m0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m时，函数g（x）无零点；当m=或m0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数