【doc】对近似数修约规则的理解

1、对近似数修约规则的理解对近似数修约规则的理解 东莞无线电监测站邓柏强 在无线电测量中 ,由于测量误差的存 在 ,所有的测量数据均为近似数 ,所得到的 最终测量结果仅是该真值的近似估计值 ,自 然也就是近似数 ,误差和测量不确定度更是个近似数 .因此 ,数据的处理 ,从某种意 义上说便是近似数的运算 . 在测量结果和数据运算中 ,确定用几位 数字来表示测量和数据运算的结果 ,是一个 十分重要的问题 .特别是现今大量采用计 算机,可以轻易得到 8位,甚至 16位的计算 结果 .保留过多的数字位数是不必要的 ,它 并不能够表示测量结果的准确度很高 ,相反 还可能使人误认为具有很高的准确度 .但 是保

2、留的数字位数过少 ,则会损失测量准确 度.因此合理地进行近似数的修约与运算 是测量不确定度评定中的重要环节 .数据 修约就是通过一定的规则使测量结果保留 适当的数字位数 .,有效数字 有效数字是指经过修约之后 ,所得的近 似数从左边第一个不是零的数字起到末位 上的所有数字 .一个近似数有 n 个有效数 字，也称这个近似数位n位有效数字.0 是否有效数字 ,就看 0所处位置 .在第一个 有效数字前 ,则其不是有效数字 ;在第一个 有效数字之后 ,则其就是有效数字 . 例如:0.0001一位有效数40?0.0010两位有效数 0.00101三位有效数 二,近似数的修约 近似数的修约与运算是研究近似

3、数的 截取（又称修约 ）,有效数字概念和近似的 各种运算法则 .1. 修约间隔 修约间隔是确定修约保留位数的一种 方式,也称为修约区间 .修约间隔的量值一 经确定 ,修约数只能是该修约间隔的整数 倍修约间隔一般以k x 10的形式，称为 以k间隔修约，并由n确定修约到哪一 位.当 n 为负整数时 ,表明将数值修约到 n 位小数，如n= 1相当于将数值修约到一 位小数；当n=0时相当于将数值修约到个 位;当 n 为正整数时 ,表明将数值修约到 10数位，如n=2相当于将数值修约到 百位.大多数情况下,k=1,即以1间 隔修约 .在某些特殊领域或特殊情况下 ,偶 尔也有采用 2间隔或者 5间隔.2

4、. 近似数的基本修约规则由于 四舍五入 修约原则引入的舍入误差较大 ,不尽合理 ,更合理的修约原则如下:(1)对于1间隔修约如下a 拟舍弃的数字的最左一位数字小于 5 时,则舍去 ,即保留的各位数字不变 ;例如 :拟修约数 15.24499,修约间隔 0.O1.15.2449915.24b 拟舍弃的数字的最左一位数字大于 5时 ,则进 1;即保留的末位数字加 1;例如 :拟修约数 18.4601,修约间隔 0.1 18.46O1.+18.5c拟舍弃的数字的最左一位数字等于5,且其后跟有并非全部为 0 的数字时 ,则进 1,即保留的末位数字加 1(不管 5前面的数 字是奇数还是偶数 );例如 :

5、拟修约数 18.4501,修约间隔 0.1 18.45O1_+18.5d拟舍弃的数字的最左一位数字等于5,且其后没有数字或皆为 0 时,若保留的数 拟修约数值20.4250.850X20.475 0.950X字为奇数 (1,3,5,7,9),则进 1,即保留的末 位数字加 1;若为偶数 (0,2,4,6,8),则舍 去,即保留的各位数字不变 ;例如:拟修约数 18.45,修约间隔 0.1 18.45_+18.4拟修约数 18.55,修约间隔 0.1 18.55-+18.6 这个规则简称为 :4 舍 6 人,遇 5 偶数 法则.(2)对于非1间隔修约 ,例如2间 隔或 5 间隔修约 ,可先将拟修

6、约数分别乘 以 2 或 5,然后按 1 间隔进行修约 ,最后再 将修约数除以 2 或 5.例如:将下列数按 0.05间隔修约 : 末位保留依修约间隔 (O.05)按0.05X 2=0.1间隔修约08o.4o 1.0=+2O.5O 按 0.05X 2=0.1 间隔修约例如:将下列数按 0.2间隔修约 :拟修约数值末位保留依修约间隔 (O.2)2.12 三+10.626.1.08.4O 塑:5 一三堕堡竺,51.03. 负数的修约按其绝对值进行 ,修约后再加上负号例如:拟修约数一 18.23,修约间隔 0.02 18.2318.231.151.2三 18.24兰!二 18.244. 数据修约应一步

7、到位 ,不能连续修约 ,连续修约会导致修约不确定度增大例如:拟修约数 73.149,修约间隔 0.173.1493.1而不能采用下述连续修约的方式 :41?73.1493.153.25. 舍入误差设 a 为拟修约的数 ,b 为修约后的近似数 , 则修约的舍人误差应为I6I=ba由近似数的修约规则可见 ,舍人误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位（也就是修约间隔的一半 ）即 :式中,10为修约间隔.例如:a=3.1346,n=-2,则按修约规则得近似数b=3.13，舍入误差的绝对值为：I8l=Ib al=I3.133.1346I=0.0046<100.oo5=0.005例如:将数 8750

8、按 100间隔修约,并求其舍人误差8750苎!堕堡竺 ,8800舍人误差为 :88008750=50I+50I- 1 00/2 （刚好等于修约间隔的一半 ）6. 数据修约不确定度数据修约会引入不确定度 ,其大小与修约间隔有关若修约间隔X,则修约后可能引起的最大舍入误差为 X/2,由于舍入误差出现在 ZLx./2 范围内各处的概率相等,即其满足矩形分布 ,故由修约引入的标准不确定度为u=0.29A】【7. 在某些特定场合下 ,出于安全方面的 理由,有时也采用单方向的修约规则 .例 如:42.(1)在误差和测量不确定度的计算结 果中 ,为安全起见 ,往往采用只进不舍的规 则.(2)在计算合成标准不

9、确定度的有效 自由度并取整时 ,习惯上采用只舍不进的规 则.三,近似运算 在电子计算技术广泛应用的今天 ,我们 做近似运算时 ,不一定严格按近似运算规则 来进行 ,运算过程中数字可多取几位或全保 留进行全数运算 ,但是最终计算结果的有效 位数应严格取舍 (即保留正确的有效位数).何谓近似运算呢 ?近似运算又称数字 运算 ,如对测量结果作加 ,减,乘,除,开方, 乘方,三角函数运算等 .数字运算时须注意 有效数字 .以下介绍几种近似运算的运算 规则.1. 近似数的加减运算 几个(不超过 10个)近似数做相加减 时 ,以小数点后位数最少的为准 ,其余各数 均修约成比该数多保留一位 ,计算结果的小

10、数位数与小数位数最少的那个近似数相同 . 例如 :求近似数 28.1,14.54,3.0007的 和28.1+l4.54+3.o00728.1+14.54+3.O0以28.1为准，其余各数多保留一位小数）一 45.64（计算结果 ）宀45.6修约成与28.1有相同的小数位数） 再如:求近似数 76.3651 与 37.4之差.76.365137.476.3737.4（以 37.4为准,其余各数多保留一位小数 ）一 38.97（计算结果 ）宀39.0修约成与37.4有相同的小数位数）当 1O 个以上的近似数做相加时 ,为减 少舍人累积误差 ,可适当增加加数的小数位 数.2. 近似数的乘除运算 几

11、个近似数做乘除时 ,以有效数字最少 的为准,其余各数均修约成比该数多一个有 效数字 ,计算结果有效数字位数与有效数字 位数最少的那个近似数相同 ,而与小数点位 置无关.例如:求2.3847X 0.76+41678的计算结果2.3847X 0.76-416782.38X 0.76十4.17X 104（以0.76为准,其余各数多保留一位有效数） 一 4.33764988X 10-5（计算结果 ）4.3X 105（修约成与0.76有相同的有效位数）再如已知圆半径 R=3.145mm.求周长C.C=21-IR=2 X 3.1416X 3.1454?=l9.76U66419.76mm说明 :的位数相同

12、.(1) 式中2为正确数,而不是近似值 ,例如:求近似数 5.32的平方 不含误差 ,所以计算结果的修约时 ,不能以 5.32=28.30241028.3 2为准(其有效位可根据计算需要而定 ,在求 3.1643的开方此 2 可表示成 2.000):1.778847941一 1.7788(2) 半径 R 有 4 位有效数字 ,所以 n 应在实际运算中 ,一 个算是往往包括几种多取一位有效数字,17=3.1416而不能只不同的运算，x,-tT:ee间步骤的运算结果，其 取到小数点后第-52(R=3.142)有效数字比加减，乘除，乘方和开方的运算3. 近似数的乘方和开方运算规则的规定增加1 位.此

13、外,计算 4-b,Stk乘方的实质是乘法 ,此时两个乘数相近似数的平均值时 ,其有效位数可增加 1 等,因此它们的误差相同 ,无须舍去多余位付数.开发运算也是同样道理 .计算结果应 保留的有效数字与原来近似数的有效数字例如:7.43286+3.6956.727.4329+3.6956.7211.1279-6.72中 间结果11.1279比 3.695 多一位)11.128- 6.72 4.4o8 4.41再女口 :18.4OOX 0.003+3.218X 0.003+3.2一 0.054+3.2（中间结果0.054比 0.003 多一位）0.05+3.23.253.2最后:求 5.38,6.3

14、0,6.46和 7.52这 4个近似数的平均值 .5.38+6.30+6.46+7.52425.664?44?=6.415说明:式中4是正整数 ,不含误差 . 因此它的有效数字应根据算式需要而定 . 平均值的有效数字比原近似数多 1 位,即数 的平均值能提高准确性 . 四,测量结果数据有效位数 在表示结果时 ,究竟取几位数字好呢 ? 数字过少 ,会降低原测量结果准确度 ,相反 , 数字位数过多 ,会造成虚假准确度 .1. 最后报告的不确定度有效位数一般 不超过两位 ,多余部分只作推荐 :当保留两 位有效数字时 ,按不为零即进位 ; 当保留 位有效数字时 ,按三分之一原则 进行 修约.例如 ,不

15、确定度部分的数据为 0.001101,保留两位有效数字 ,多余位数数字 01 不为 0,故进位,结果为 0.0012. 例中,尽管很保守地修约了不确定度部 分的第二位数 ,但由于还有前一位未修约的 数字 ,故对结果影响不会超过 1/10. 又如不确定度部分的数据为 0. 001001,要保留一位有效数字 .如果按多余 位数 不为零即进位 ,则三位多余数字 001 不为零 ,进位,结果表示为 0.002,对结果影 响 999/1000,远超过了 1/3;如改为 三分之 原则进行修约 ,则有三位多余位数 001 小于该基本单位 999的 1/3,按微小误差或 微小不确定度原则舍弃 ,原不确定度数据修 约为 0.001,对结果估计影响 1/1000; 如不确定度的数据为 0.001334,多余 位数 334大于该基本单位 999的 1/3,按微 小误差或微小不确定度原则 ,则可将保留的 末位数字加 1,原不确定度数据修约为 0. 002.2. 被测量的估计值的位数也要进行相 应的修约 ,原则是与修约后的不确定度数值 的位数对齐 ,多余部分按 4 舍 6 人,遇 5 偶 数法则 进行舍弃截断或进位截断 .3. 测量结果有效位数的保留(1)测