线代教案第1章行列式

1、第1章 行列式（共 4 学时）一、教学目标及基本要求1了解逆序数的概念2掌握 n 阶行列式的定义和行列式的性质3掌握行列式的按行（列）展开定理4利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值二、教学内容与学时分配1预备知识2n 阶行列式的定义（2学时）3行列式的性质4行列式的展开（2 学时） 三、教学内容的重点及难点 重点：利用行列式性质及展开计算行列式 难点：行列式的计算技巧 四、教学内容的深化和拓宽行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广 五、思考题与习题思考题：见讲稿作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5） 六、教学方式与手段

2、注意行列式定义的引入，应用启发式讲稿内容1.1预备知识为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用 二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的(Xi,yJ,(X2, y2),(X3, y3)，贝U以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值:1X11X21X3这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。 利用线性方程组的求解引入行列式的概念。设有二元线性方程组y1y2-y3下面我们aiXia2 X2bia2i Xia22 X2b?可用消元法来解该方程组。(1) 3 22(

3、2) aii若(a 11322a12a21 )X1b1 a22b? a2a12a21 )X2b2 3ha21ba22b2a2banba 21X1,X2a11a22a12a213h a 22a12 a21(1)a2i : (aiia22312321 )0，则(2) 312 ： (a11a22a31 a32a33a b如果我们定义adc da bbc，称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行c da13X3二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简 单表示为a31 X1a 22X2+ a23X3b2a32 X2a33 X3b3X

4、1D1D，X2D2D其中Da11a12为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式;a21a22D1b1a12(用方程组的常数项代替系数行列式的第1列)b2a22D2anb1(用方程组的常数项代替系数行列式的第2列)a21b2类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组:b1ana12a13定义Da21 a22 a23ana22a33a12a23a31a13a21 a32ai3a22a31ai1 a23a 32ai2a2ia33且D 0，则x1D1D2訂訂3D3D这里的D是由三行三列组成的三阶行列式，每个 aj为三阶行列式的一个元素，i表示行标，j表示列标,i行、j列的交叉点就是元

5、素aj前面我们定义了二阶、三阶行列式，要引入 n（n 3）阶行列式，上面的方法显然是不行的，一方面，行列式的阶数增大，等式右边的项数也必增多，写出所有的项数较困难（n阶行列式右边有n!项），也没有必要；另一方面，等式右端每一项的符号何时取正？何时取负？为此，首先介绍，全排列、逆序数等概念。把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列。如3个不同元素1,2,3的所有可能排列有：123, 132, 213, 231, 321, 312.n个不同元素的所有不同排列的个数，称为 排列数，通常用Pn表示，如上P3 6如求n个自然数1,2,3, n的全排列数Pn n（n 1）3 2 1 n!

6、在n!个不同排列中，规定某一个排列为标准顺序的排列，一般地，规定从小到大的排列为标准顺序（标准排列或称为自然排列）。如果在一个排列SQ2SiSjSn中，SiSj而Si在Sj的前面，则说它们形成了一个 逆序（或反序），一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用ts1sn表示。如 t1230，t1321，t3213tqsn 后面比s小的数的个数）（s2后面比s2小的数的个数）（Sn 1后面比sn 1小的数的个数）（s2前面比s2大的数的个数）（s3前面比s3大的数的个数） （Sn前面比Sn大的数的个数）如 t4213653 100 15，或 t42136512 10 151 又如 tn（n

7、1）321 （n 1） （n 2）2 1 n（n 1）.2逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。定理1 一个排列中，任意两个元素对换排列改变奇偶性。证明：分相邻对换与非相邻对换两种情形来证明。情形 1:相邻对换 a1al abb1 bma1albab1bm.易知经过相邻对换后，印，3,4, ,bm中的任何两个元素间的逆序个数没有变化，同时a,b两个元素与元素al, eb, ,bm所形成的逆序总个数也没发生变化，因此只有a,b两个元素本身之间的逆序的个数发生了变化。设

8、 t a1 al abb1 bm t ，则当a b时，即a,b不构成逆序，经过相邻对换后，a,b构成逆序，所以t a, a,ba bm t 1。当a b时，即a,b构成逆序，经过相邻对换后，a,b不构成逆序，所以t a, abab bm t 1。即不论a b，还是a b，经过相邻对换后排列的逆序数不是增加 1就是减少1，从而排列的奇偶性发生 改变。情形 2：非相邻对换 a1 alab1 bmbc1 cna1 al bb1 bmac1 cn.设其对换过程为a1 aab bmbG q b 经过m1 次相邻对换 a1 a,ba bmc1 q.a经过m次相邻对换.a1 al bb1 bmac1 cn

9、.共经过了 2m 1 次相邻对换，所以前后两个排列的奇偶性相反。推论 奇排列调成标准排列的对换次为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 有了以的基本概念，我们可以给出 n 阶行列式的定义。为了得到n阶行列式的定义,1.2 n阶行列式的定义我们先研究三阶行列式的结构，三阶行列式的定义为a11a12a13a21a22a23a31a32a33(1) 等式右端是6项(3!乘积。(2) 每一项各元素的行标排列成123，因此右端的任意一项除符号外可写成a1pa2p2a3p3的形式，其中a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a 31a11a23a32a12a21a33项)之

10、和，其中3项为正，3项为负，每项都是位于不同行不同列的元素的P1 P2 P3为123的某个排列。显然也可把右端每一项的列标排成自然顺序123,而行标写为123的某个排列P1P2P3，即除符号外，行列式的每一项可写为aP/ava带正号项的列标排列为123312231逆序数022带负号项的列标排列为321132213逆序数311易知带正号的项其列标排列的逆序数为偶数(3)行标排列的逆序数为0带负号的项其列标排列的逆序数为奇数P11P22P33。如果我们假设P1P2P3的逆序数为t，则三阶行列式可定义为a11a12a13a21a22a23a31a32a33aVj(P1P2P31) a1p1a2p2a

11、3p3仿此可得n阶行列式的定义:定义 n2个数排a11a21an1a12a22a1 na2nD ， 并按下式计值an2ann(1)冷円冋22Pn)(1) a1 p1 a2p2anp(P1P2 Pn)则称D为n阶行列式。当n取2或3时即为前面所讲的二阶或三阶行列式，n(P1P21an2令 iaiia22nann在行列式例计算下列行列式的值1 对角行列式aij(1)tap1a2p2(P1 Pn)n nj都有aij中，不论i j或iapn，其中nt t pi1时，aanPn0，因此在 a1p,a2p2anpPn，p1pn为1,2,3 n的全排列,中只有当Pl1, P22, Pnn不为0,其余各项均为

12、0。故原式1n2.n2an1aina2n 1(1)taipla2p2(PlP2 Pn)anPn此题不为0的元素有这样的特点i j n 1乘积4趕血ans中，只要有一个元素为npn0,则整个乘积为0,要使乘积不为0,则每一个元素均不为0,即满足1 P1n 1, 2 p2 n 1n Pn nP1 n, P2 n 1,Pn1原式(1)艸 1)3叫 口1n 2(n 1)ln(n 1)an1 ( 1) 23. Da1 na2na11a120a220000 0 ann(主对角线以下的元素全为0,称为上三角行列式)解：据行列式的特点，对每个aij.ay i j由于D(P1P2(1) a1 p1 a2P2an

13、pnPn),从而不同行不同列的所有元素乘积中，不为0的项必须满足P11,P22,Pn 1 n 1, PnnPn n, Pn 1 n 1, P11故Dana22ann010000204.(1)aip1a2p2anpn(1)a12a23a(n1)nan1000n 1(P1P2 Pn)n000t23 n1n 1(1) n! ( 1) n!从行列式的构成可知，不为0的项，只有P12, P23,L , Pn 1 n, Pn1思考题：用行列式的定义说明：一个n阶行列式中等于零的元素的个数，若比n2 n多，则此行列式必等于零。 答：首先，n阶行列式中共有n2个元素，而其中等于零的元素个数多于 n2 n个，因

14、而不等于零的元素的个数 少于n2 (n2 n) n个，其次，组成每一项的n个元素，是由这n2个元素中取出不在同一行同一列的n个元素, 因而这n个元素中至少有一个为零，从而行列式为零。1.3行列式的性质ai1ai2a21a22a1na2n，把此行列式列（或行）写成同序数的行（或列）得到一新行列式，称为D的转置an1an2ann行列式,记为dt由定义知dta21a22an1an2a2nann性质1证明:山）,则其元素间的关系为D DT （行列式与其转置行列式相等）aji（1）t%bnpn（P1 Pn）（P1 Pn）互换行列式的两行或两列，行列式改变符号。1) apJap“nD性质2证明：记D（ai

15、j），交换D中的i,j两行得到的行列式记为D1则当k i, j时，bkpakp ；当k i, j 时，bipajp,bjpaip按行列式的定义D(1)认丄aipiajPjLanPn(P1P2 Pn)而D1(1%L bp.bjPj L bnpn(1)Pl L ajPiaiPj L anPn(P1P2 Pn)(P1P2Pn)其中，设1L iLj L n为自然排列，t tP1Pi LPjL Pn，t1 tp1PjL pL Pn故 t1 t 1，从而 D1D(bj)，推论如果行列式有两行（列）完全相同，贝U此行列式的值为 0。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用k乘此行列式

16、推论1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式外面。推论2行列式中某一行（列）的所有元素全为 0,则此行列式等于0推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 0性质4行列式中如果某一行（列）的元素都是两数之和*11a1ja1 ja1n，则D等于下面两行列式的和1a1ja1na11a1ja1nan1anjannan1anjannDanjanjan1ann（利性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（或列）对应元素上，行列式不变 用性质4）行列式的性质和推论主要用于化简行列式，使行列式中更多的元素变为0,或化为特殊的行列式（对角、上三角行列式）。我们知道

17、，一个n阶行列式展开后有n!项，这n!随n的增大而迅速增大，而每一项又是 n个 不同行不同列元素的乘积，并且还要考虑排列的奇偶性，因此求一个n阶行列式的值，其运算量非常大，故常常利用行列式的性质来化简行列式。例计算下列行列式51341.4020 11注意：把行列式化为上三角行列式的方法与技巧。方 法较固定，技巧灵活多变，特别留意行列式的特点。311113112.113 1111348（各行或列加到第1行或列）行列式特点：各行或各列对应元素相加为同一个数a3.aa ba b c2a b 3a 2b cabed4a 3b 2c da4 （化为上三角行列式）a 3a b6a 3b c 10a 6b3

18、c dx a a a a x a a4. Da a a(x 2a)n1(x (n 2)a)（各行加到第1行，再化为上三角行列式）1aa00111 a11r1OR j100bb1 b1111 b1 a 1111 a 15.111 b1 1 12 aao 111a-i06. 10 a20 (a-i a2an0) G G (a。ai 11a11)a1a2Lan.anapbqc rds7.tuvwla mplb mqlc mrld ms1 0 0an0axbyaybzazbxxyz例证明aybzazbxaxby/3, 3 x(a b )yzxazbxaxbyaybzzxy利用性质41.4行列式的展开一

19、般来说，低阶行列式比高阶行列式容易计算，因此我们希望用低阶行列式来表示高阶行列式，这就是 行列式的按行(列)展开。为此我们引进余子式和代数余子式的概念。在n阶行列式中，把元素aj所在的第i行与第j列划去后留下来的n 1阶行列式叫做元素a0的余子式，记作M j。(1)i jMj叫做aj的代数余子式。02015135,M 1243423而Aj如D1 217,A12( 1) M12 17,D2A12 34.k 1定理a11a1j 1a1 ja1j 1ai 11ai 1j 1ai 1 jai 1j 100aij0ai 11ai 1j 1ai 1 jai 1j 1an1anj 1anjanj 1(aj)

20、ai 1n0a i 1nannajAij-证明：先证特殊情形:aj位于第1行第1列一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aj外都为0,则这个行列式等于aj与它的代余子式的乘积。即(仃師&2P2(P1 Pn)t(1 P2 Pn )anpn( 1)a1&p2anpn(1 P2 Pn)anpna11 M 11a11 A11an( 1)tP2 Pna2p2(P2 Pn)般情形：为了利用特殊情形，作如下对换:rri 1,ri 1ri 2, DA，共对换了(i1)次，由行列式的性质得原行列式(1)1anan1再作如下(j1)次对换:D ( 1)i 1 (1)j1aijaljanj(1)ijaijM ij

21、 aijAj.定理行列式等于它的0aij0a1j 1a1ja1j 1anj 1anjanj 1Cj1, cj 1c00a“ 1a1 janj 1anj任一行(列2，0an11)an1Cna1nannC2 C1，变为特殊情形。a1nann的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Dai1 Ai1ai2Ai2a in Ainaik Aik (行列式按行展开)n或 Dj A ja2j A2ja nj Anja kj Akj k 1（行列式按列展开）31125111511例计算5134C1 2C311131(1)3311 1 12011001055015335530（将某一行或列尽量多的元素化为0,在按

22、此行或列展开）推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于ai1Aj1ai2Aj2ain Ajn0,iaii A1ja2i A2ja ni Anj0.ij.0。即b1 Lbrr定理及推论可归结为:aiiAjiai2Aj2ain Ajnaik Ajkk 1aii A1 ja2i A2 jani Anjj D .ijJ性质6类似有:Dk0DrDkDr，这里的Dm表示m行m列的元素。0DnDm证明：（1）当kai1C11M1)mnDmDn，依次交换列变为前者，用前者的结论。Lb1ra11MMbr1Lbrr，（按第一行展开）1时,0DrMQr显然成立。（2）设当km1

23、时成立;下证当km时成立。a11La1m0L0a22La2m0L0MMMMMMMMam1Larnm0L0am2Lamm0L0anbnLb1rbnLb1rMMMMbr1Lbrrbr1Lbrra21La2m 10L0MMMM1 mam1Lamm 10L0(1:a1mbnLb1rMML1578a11a22Mam2a2mammbnbira21La2m 1bnLbirML(1)1mMMMMbrram1Lamm 1br1LbrrLLDmDr11112096 试证 A41 A42 A43 A440这里显然不希望用求出每个A4i的方法来证明它们之和为0设0 D1(bj)1121510171918161B41B

24、42B43B44A41A42A43A44注：行列式中某元素的代数余子式与该元素的大小无关，只与元素的位置有关.或因为:a41 A41a42A42a43 A43a44 A44a41a42a43a44注意所求的表达式,需取a41a42a44而此行列式为零计算D2n解:按第1ad(ab00aba ba bc d(1)1 2nbc dcdcd0dc00行展开a1) bc(1)(ad bc)D2(n 1)D2n1)2(2n1) D2(n1)2n11D2(n(ad bc)2D2(n2)(ad bc)n 1D2(ad bc)n.00An是一个等差数列，并由此求出An.0为n阶行列式，试证明A1, A2,1解：按第0行展开An2An(1)120002An 1An即有AnAn 1An 1An所以An为一等差数列2,第2项A23,公差dAnA1(n 1)d n例证明范德蒙行列式DnX12X1X2Xn2Xn(XiXj)j 1(X2n 1X1n 1X2nXnX1)(X3X1)( X4X1)(XnX1)（X3 X2）（X4X2)(XnX2)(X4X3)(XnX3)(XnXn 1)证明：数学归纳法当n 2时，D2X1X2X2X1结论成立。X2设n 1阶范德蒙行列式成立，即Dn2X1Ln 2X1n 2X2LLLLLXn 1n 2Xn 1对于Dn，从第n开始，后行减前行的Xn 倍,并按第n列展开,(X Xj