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文档简介
1、.第4节 反三角函数(2课时)第1课时教材分析:反三角函数的重点是概念,关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上,自然是定义和函数性质、图象;教学方法上,着重强调类比和比较。另外,函数与反函数之间的关系,是本节内容中的一个难点,同时涉及上学期内容,可能是个值得复习的机会。课题引入:在辅助角公式中,我们知道,其中,这样表述相当烦琐,我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢?这就是我们今天要引入的问题反三角函数。教学过程:师:首先我们回顾一下,什么样的函数才有反函数?答:一一对应的函数具有反函数,最典型的例子就是单调函数具有反函数(但反之不真)。师:我们知道正弦函数在定义域上是周期函数,
2、当然不是一一对应的,因而没有反函数。但是,如果我们截取其中的一个单调区间,比方说我们研究函数:,这个函数是单调函数,因而有反函数。师:现在我们来求这个函数的反函数,那么求反函数有哪些步骤?(反解,互换)(这里我们使用符号表示反解)反解得,互换得,其中,这就是要求的反正弦函数。1 反正弦函数的图象反正弦函数与函数互为反函数,因此两个函数图象关于直线对称。2 反正弦函数的性质(由函数图象可得)定义域为,值域为;在定义域上单调递增;是奇函数,即对任意,有3 反正弦函数的恒等式由“一一对应”的性质知:对任意值,在上都有唯一对应的角,使得它的正弦值为,即得恒等式;由“一一对应”的性质知:对任意角,在上都
3、有唯一对应的值,使得它的反正弦值为,即得恒等式。例题选编:例1:求下列反三角函数值:(1) ; (2) (3)解:利用恒等式1来理解题意(1):记,也就是在上找一个角,使得;(2)(3)类似。说明:对于特殊值的反正弦函数值的处理,利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法;但不知是否适合于初学者,有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧,实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。例2:用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 :(1),(2),(3)解:利用恒等式2来理解题意:(1),而,故有;(3),而,故不能直接利用恒等式2,需要利用诱导公式,将角度转化到上,此时涉及讨论:若,则若,则,故有即。例3:化简下列各式:(1) (2) (3)解:此题直接利用恒等式2,当区间不满足要求时,需要利用诱导公式转化区间。(1),由恒等式2得;(2),这里将转化了;(3)。例4:判断下列各式是否成立:(1); (2); (3)(4); (5)(6)解:(1)对;(2)错;(3)当时对;(4)错,;(5)错;(6)对。例5:写出下列函数的定义域和值域:(1); (2)解:(1),由反正弦函数的单调性知(2),这是典型的复合函数求值域问题,由和反正弦函数的单调性可知:例6:求下列函数的反函数:(1)(2)(3)解:(1)反解得,(恒等式2
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