专题二直线、平面平行与垂直的判断、证明

1、专题二 直线、平面平行与垂直的判断、证明 知识体系（四大块）线线平行线线垂直异面直线所成角所成角平行线面平行 垂直线面垂直 夹角线面角距离面面平行面面垂直面面角基本知识点一.定理与性质（一）平行线线平行：1. 平行四边形2中位线3. 线面平行线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号语言：a/ a, a?卩，久门卩=I? a /I .注意：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.4. 面面平行线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.符号语 言: a/3,Ya= a，丫

2、门3 = b? a / b.5. 线面垂直线线平行垂直于同一平面的两条直线平彳 ；符号语言：a丄a , b丄a ? a / b ；线面平行：1. 线线平行线面平行如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号语言：a? a , b? a ,且 a / b? a / a ；注意：一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2. 面面平行线面平行如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面符号语 言:a? a ? a /B .面面平行:1. 线面平行面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号语言：a?a，b?a，aH

3、 b= M a/（3,b II卩? a / 卩；2. 推论：符号语言：aH b= M a, b? a , aH b= M , a, b ? 3 , a I a, b I b ? a II 3 .3线面垂直面面平行垂直于同一直线的两平面平彳 符号语言：aXa, a丄3 ? a/3 .（二）垂直线线垂直共面1.等腰三角形2. 勾股定理异面3.线面垂直？线线垂直直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.符号语言：a丄a, b? a ? ab;4.三垂线定理 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。符号语言：已知 PA PO分别是平面 的垂线、斜线，A0是P

4、0在平面 内的射 影，且a? a, a丄AO,则a丄PO 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。符号语言：已知 PA P0分别是平面 的垂线、斜线，A0是 P0在平面 内的射 影，且a? a, a丄PO ,则a丄AO线面垂直:1. 线线垂直线面垂直如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.m n? a, mA n =A符号语言l丄m l丄n? 1 a；2. 平行线垂直平面的传递性如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.符号语言：m n,m丄a ,贝Un丄a3. 面面垂直线面垂直如果两个平面

5、垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 .符号语言：a丄B,aAB= 1 , a? a, a丄l?a丄B .4. 面面平行线面垂直如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线符号语言：a/B ,ma ,贝U m丄B5. 面面垂直线面垂直两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言. a丄B,aAB= l , a? a, a丄l?a丄B.面面垂直：1. 线面垂直面面垂直如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面符号语言:a? a, a丄B ? a丄B.二.空间向量(一)空间向量的坐标表示及运算1数量积的坐标运算设

6、a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),则 ad= (ai )i, a2)2, a33)； ？=(入1,入2,入3)； a b= aibi+ a2b2+ a3b3.注意：向量是既有大小又有方向的量， 而用坐标表示向量是对共线向量定理、 共面向量定理 和空间向量基本定理的进一步深化和规范， 是对向量大小和方向的量化： 以原点为起点的 向量，其终点坐标即向量坐标；向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标.2. 共线与垂直的坐标表示设 a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),则 a/ b? a= %? ai_= xb, a2= X b a3=入 3

7、(入 R),a丄 b? a b= 0? aibi + a2b2+ a3b3= 0(a, b 均为非零向量).3. 模、夹角和距离公式 设 a= (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3), 则|a|= a a =、fa? + a2 + a2,cos a,a baibi+ a2b2+ a3b3|a|b| a2+ a2 + a3 . bi+ b2 + b2 设 A(ai, bi, ci), B(a2, b2, C2), 则 dAB = |AB|= a2 - ai 2+ b2- bi 2+ C2- ci 2.（空间两点的计算公式）（二）立体几何中的向量方法1. 直线的方向向量与平面的

8、法向量的确定 直线的方向向量：I是空间一直线，A, B是直线I上任意两点，则称AB为直线I的方向向 量，与ab平行的任意非零向量也是直线I的方向向量. 平面的法向量可利用方程组求出：设a, b是平面a内两不共线向量，n为平面a的法向n a = 0,量，则求法向量的方程组为n b = 0.2. 用向量证明空间中的平行关系 设直线li和|2的方向向量分别为 Vi和V2，则li / |2（或I i与|2重合）? Vi / V2. 设直线I的方向向量为V，与平面a共面的两个不共线向量 Vi和V2，则|/a或I? a?存 在两个实数 x, y,使V = XVi+ yV2. 设直线I的方向向量为V，平面a

9、的法向量为U，则I / a或I? a? V丄U. 设平面a和B的法向量分别为 Ui , U2，贝V a/价ui / U2.3. 用向量证明空间中的垂直关系 设直线li和I2的方向向量分别为 Vi和V2,则li丄|2? Vi丄V2? Vi V2= 0. 设直线I的方向向量为V，平面a的法向量为U，则I丄V/U. 设平面汀口B的法向量分别为ui和U2,则a丄3?Ui丄U2?UiU2= 0.基本题型题型一证明线面平行 例题：1.如图所示，在正方体 ABCDABCD中，M N分别是CC BC的中点.求证：MN/平面ABD证明 法一 如图所示，以D为原点，DA DC DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建

10、立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,T1则 M0,1, 2，N2，1, 1 ,D(0,0,0),Ai(1,0,1),B(1,1,0)，于是 MN=，2，设平面ABD的法向量是n= (x, y, z).ttx+ z = 0,贝U n DA= 0, 且 n DB= 0，得x+ y = 0.取 x= 1，得 y= 1, z =- 1.(1 , - 1, 1).t 1 1又MN n= 2 0, 2 (1 , - 1, - 1) = 0, MNLn,又 MN平面 ABD且PABC MIN/平面 ABD2如图所示，平面FAD丄平面ABCD , ABCD为正方形， PAD是直角三角形,=AD = 2, E

11、、F、G分别是线段 FA、FD、CD的中点.求证：PB/平面EFG.证明 平面PAD丄平面ABCD且ABCD为正方形， AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).1), PB = (2,0，- 2), FE = (0, - 1,0), FG = (1,1,设PB = sFE+ tFG ,即(2,0, 2)= s(0, - 1,0) + t(1,1 , - 1),t = 2,t s= 0,解得 s = t = 2

12、.-t = 2, PB = 2FE + 2FG ,又 FE与FG不共线， PB、FE与FG共面./ PB?平面 EFG , PB/平面 EFG.题型二 证明线线、线面垂直1如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD , AC丄CD , / ABC = 60 PA = AB= BC, E 是 PC 的中点.证明：(1)AE丄CD ;(2)PD丄平面ABE.证明 AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA=AB= BC= 1,则 P(0,0,1).(1)vZ ABC = 60 ABC为正三角形.C1 込 0 E1 並 12， 244，2 设 D(

13、0 , y,0),由 AC 丄 CD , 即y=穿,则d 0 ,乎,得 AC CD = 0 , CD= -1 , -6, 0 .又AE= aecd=- 1x 4+hxh Afe丄CD ,即 AE丄CD.法一 P(0,0,1) , Pd = 0 ,2,33 ,又 aE pd43x 守十(-1)=0 ,PD丄AE, 即卩 pd丄ae.A=(i,o,o),. PDB=o, PD丄 AB, 又 ABn AE = A,： PD丄平面 AEB.法二 AB二(i,o,o), AE二 4, i3,2，设平面ABE的一个法向量为n = (x, y, z),x= 0,DBC令 y= 2,则 z= 3,. n =

14、(0,2, 3). PD= 0, 233, 1 ,显然 PD = n.PD/ n,二 PD丄平面 ABE, 即卩 PD丄平面 ABE.2.( 2012大纲文)如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA 底面 ABCDAC 22, PA 2, E 是 PC 上的一点，PE 2EC.证明：PC 平面BED;解:设AC 1 BD ,以为原点，C为x轴，D为y轴建立空间直角坐标系，则A( Qo,O), C(Qo,O), P( 72,0, 2),设 B(0, a,0), D(0,a,0), E(x, y, z).uuu所以 PC (2. 2,0, 2)cun22BE(亍兮2 2E_,0uuu

15、u uuuCM ?SN 因为 所以CM丄SN 6如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面 点E是棱PB的中点.(I)证明：AE平面PBC ； 1)诳駅询樹：20图2卫沖为坐赫嘿虑川载 W扒胪分别 立空耐直加喘赫系4 - xyi .设讥0心。 JU(Ao,0), C(j5,a,0),叽0的”俘0.野陀=(Q.心 4 A)tJWJ 図: Q,忌ft 厲所以肚丄点D是AB的中点,7.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC= 3, BC= 4, AAi= 4,(I)求证：AC丄 BCi；(II)求证：AC1 平面 CDB;解析：(1)证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理

16、或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；(2 )证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三边长 AC= 3, BC= 4, AB = 5,AC BC、CC两两垂直,如图，以C为坐标原点，直线 CA、CB、CC分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系， 则 C( 0,0 , 0), A( 3,0 , 0), C1 (0,0 , 4) , B (0,4 ,30), B1 (0,4 , 4), D ( , 2,0 )2(1)t AC =( 3,0 , 0), BC1 =( 0, 4,0 ) , AC ? BC1 =

17、 0 , AC丄 BG.3设 CB 与 CB 的交战为 E ,则 E( 0,2 , 2) . T DE =( , 0,2 ),2一 一 1 一AC1 =( 3,0 , 4) , DE AC1 , DE/ AC1. 8.如图所示,四棱2锥 P ABCD 中,AB AD , CD AD , PA 底面 ABCD, PA=AD=CD=2AB=2M为PC的中点。(1) 求证：BM /平面PAD;(2) 在侧面PAD内找一点 N ,使MN 平面PBD;解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，.面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力答案：(1)M是PC的中点，取PD的中点E ,则ME CD ,又 AB CD2 2四边形A