专题：三角形的五心

1、专题：三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍，其难度较大，望量力而行三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的五心”在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍.三角形的 五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心.1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外.2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）.三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径.内切

2、圆半径r的计算：1s设三角形面积为S，并记 p=2（a+b+c），则 r=p.1特别的，在直角三角形中，有r=2（a+b c）.3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1 : 2.4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心.斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个垂心组”5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心（旁切圆圆心）.每个三角形都有三个旁切圆.OCA类例题例1

3、证明重心定理。1证法1如图，D、E、F为三边中点，设 BE、CF交于G,连接EF，显然EF = -BC，由三角形相似可得 GB= 2GE，GC=2GF.又设AD、BE交于G，同理可证GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上从B到E的三分之二D处的点，故G、G重合.证法 2 设 BE、CF 交于 G, BG、CG 中点为 H、I .连 EF、FH、HI、IE ,1 1 因为 EFBC, HI = 2BC，即三条中线AD、BE、CF相交于一点G .所以EFHI为平行四边形.所以 HG=GE、IG=GF , GB=2GE, GC=2GF.同证法1可知AG=2GD, AD、BE、CF共点.即定理

4、证毕.链接 证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点 0,则有0A=0B=0C,故0也在AC的中垂线上,因为0到三顶点的距离相等，故点 0是厶ABC外接圆的圆心.因而称为外心.内心定理的证明：如图，设/ A、/ C的平分线相交于I、过I作ID丄BC , IE丄AC, IF丄AB,贝U 有IE=IF=ID .因此I也在/ C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点.A上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.例2证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。证明 如图，AD、BE、CF为厶ABC三条高，过点A、B、C分别作对边的 平行线相交成 A

5、BC,显然AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证.链接 （1）对于三线共点问题还可以利用 Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为 ABC 的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 ZB-XC CY=1 .（2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n （A 3）边形某顶点同除该点以外的 n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n

6、边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为： （n-1 ）： 1的两条线段，这点叫n边形的重心.请同学们自己研究 一下其他几个“心”的推广。情景再现 1.设G为厶ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形 GMAN和厶GBC 的面积相等.2 .三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.B类例题例3 过等腰 ABC底边BC上一点P引PM / CA交AB于M ;弓| PN / BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在 ABC外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习 题）分析 分析点M和N的性质，即能得到解题思路。证明由已知可得 MP=MP

7、=MB，NP=NP=NC，故点M是厶PBP的外心，点 N是厶PPC的外心.于是有1 1/BPP=2/ BMP=2/ BAC，11/PPC=-Z PNC=-Z BAC.22/Z BPC=Z BPP+Z PPC=Z BAC.从而，P点与A、B、C共圆，即戸在厶ABC外接圆上.链接本题可以引出更多结论，例如PP平分Z BPC、PB: PC=BP: PC等等.例4 AD，BE，CF是厶ABC的三条中线，P是任意一点 证明：在厶PAD，PBE，PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和 .（第26届莫斯科数学奥林匹克）证明 设G为厶ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的

8、垂线，垂足为A，C，D，E，F.易证 AA=2DD ，CC=2FF, 2EE=AA+CC, /EE=DD+FF.有S PGE = sPGD+Sa PGF.两边各扩大3倍，有S PBE = S PAd+Sa PCF例5设A1A2A3A4为O O内接四边形，H1，H2，H3, H4依次为 A2AsA4， A3A4A1，A人4几人2，厶AAb的垂心.求证：也，H2，H3, H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992，全国高中联赛）证明 连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由厶A2A3A4知a2h,=2R A2H1 =2RcosZ A3A2A4；sin /A2 A3H!由厶 A1A3

9、A4 得 AH2=2RcosZ A3A1A4.但Z A3A2A4=Z A3A1A4，故 A2H1=A1H2.易证 A2H1 / A1A2，于是，A2H1 = A1H2，故得H1H2 = A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1, H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O, M两点，Q点就不难确定了 .链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有

10、很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再现3 .在 ABC的边AB, BC, CA上分别取点P，Q，S.证明以 APS,A BQP,A CSQ的外心为顶点的三角形与 ABC相似.（

11、B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）4 .如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析证明C类例题H为厶ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b, AB=c,A ABC外接圆半径为AB的中心.一个以H为圆心的0 H交直线EF , FD , DE于A，A?, B，B?, G , Cz，加拿大数学奥林匹克训练题）R，OH的半径为r.2连 HA1, AH 交 EF 于 M. A A =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(

12、AM2- MH2),又 AM2- HM2=(1aH1)2-( AH-2aH1)2AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH 1CC-| =2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2.,而=2R= AH2=4R2cos2A,sin ABHa=2R= a2=4R2s iA.sin A.：AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2b2 +c222bcA A； =r2+ bc-(4 R2- a2)1=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,2故有 AAi = BBi=CCi.例7已知0 O内接 ABC, OQ切AB,A

13、C于E, F且与0 O内切.试证：EF中点P是厶ABC之内心.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）证明如图，显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在/ BAC平分线上.易知AQ=rKTQK AQ=MQ QN,MQ QN/QK= 一AQ(2R r) r . /OD 、=sin :(2R _ r).r /sin :由 Rt epq 知 pq=s in r./.PK=pQ+QK=s in： r + s in： (2R-r)=s in： 2R./.PK=BK.禾U用内心等量关系之逆定理，即知 P是厶ABC这内心.说明在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例 7的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.

14、例8在直角三角形中，求证:r+ra+rb+L=2p.式中r,唁，m, L分别表示内切圆半径及与a, b, c相切的旁切圆半径，p表示半周.州大学中学数学竞赛习题)证明 设Rt ABC中，c为斜边，先来证明一个特性:P( P- c)=( p-a)( p-b).1 1K。3、02 rb 7丿C/qt p( p- c)= 2 ( a+b+c) (a+b-1=4( a+b) 2-c21=2ab；1 1(p-a)( p-b)= 2(- a+b+c) (a-b+c)1 1=4【c2-( a- b)2= ab.-p( p- c)=( p-司(p- b).观察图形，可得a=AF- AC=p- b,b=BG-

15、BC=d- a,rc=CK=p.1而 r=2(a+b_c)=p-c.-r+a+b+rc =( p-c)+(p- b)+( p-a)+p =4 p-（ a+b+c）=2p.由及图形易证.例9 M是厶ABC边AB上的任意一点.1, R, r分别是 AMC, BMC , ABC内切圆的半径，q，q?, q分别是上述三角形在/ ACB内部的旁切圆半径.证明 土 2 =匚.（imo -12）q1 q2 q证明对任意 ABC，由正弦定理可知.AOD=OA sin _=AB.Bsin2sin AOBsinA=AB.A . B sin sin2 2 . A + B sin2BOE= ABABcos cos22

16、A+Bsin2ODOEAB亦即有J!qiAq2=tg?tgCNB B tg tg?tgAtg|=2 2例10锐角 ABC中，O, G, H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为求证：1 d垂+2 d外=3 - d重.证明 设厶ABC外接圆半径为1,三个内角记为A , B,C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,/2d 外=2(cosA+cosB+cosC)./AH 1=sinB AB=sinB (2 sinC)=2 sinB，sinC,同样可得BH2 CH3./.3d重= ABC三条高的和=2 (sinB sinC+sinC si

17、nA+sinA sinB)BH/=2,si n BCH/HH 1=cosC BH=2 cosB cosC.同样可得HH2, HH3./d 垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲证结论，观察、，d重，垂心到三边距离和为d垂B2须证(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB - sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.说明 本题用了三角法情景再现5. 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中， AB=BC， CD=DE，EF=FA. 试证： （1） AD，BE，

18、CF 三条对角线交于一点； （2） AB+BC+CD+DE+EF+FA AK+BE+CF.（1991 ，国家教委数学试验班招生试题 ）6 . ABC的外心为O, AB=AC, D是AB中点，E是厶ACD的重心.证明OE丄CD.（ 加拿大数学奥林匹克训练题 ）7. ABC中/ C=30, O是外心，I是内心，边 AC上的D点与边BC上的E点使得 AD=BE=AB.求证：OI丄DE, OI=DE. （1988 ，中国 数学奥林匹克集训题 ）习题171 .在 ABC中，/ A是钝角，H是垂心，且 AH = BC，贝U cosZ BHC=（）2 .如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一

19、定通过三角形的（）A.内心 B.外心 C .重心 D .垂心（1996年全国初中联赛）3. （1997年安徽省初中数学竞赛）若OtggO。，那么，以sicosq，tanoto为三边的三角形有内切圆、外接圆的半 径之和是（）A .迥:严B .凹旦C . 2sin :cos：.1sin -cos4. ABC 中，Z A=45，BC=a，高 BE、CF 交于点 H，则 AH=（ ）A.玄 B . 2，12aC . aD.、2a5 .下面三个命题中： 设H为厶ABC的高AD上一点，Z BHC+ ZBAC=180，则点H是厶ABC的垂心; 设G为厶ABC的中线AD上一点，且Saagb=Sa bgc，则点

20、G是厶ABC的重心； 设E是 ABC的外角Z BAK的角平分线与 ABC的外接圆0 O的交点，ED是0 O的直径，I在线段 AD上，且DI = DB，贝U I是 ABC的内心.正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个 C. 2个D . 3个6 .设 ABC的Z A=60，求证： ABC的外心0、内心I、垂心H及点B、C五点在同一个圆上.7 .已知P是口 ABCD内的一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB、PC中点，Q为AN与DM的交 点.求证：P、Q、O三点在一条直线上； PQ=2OQ .DMOP QC8. I为厶ABC之内心，射线 AI，BI，CI交厶ABC外接圆于AB, C .则AA

21、 +BB +CCA ABC周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克）9. T的三边分别等于厶T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（1989，捷克数学奥林匹克）10. I为厶ABC的内心.取 IBC， ICA， IAB的外心O1，O2，O3.求证： O1O2O3与厶ABC有公共的外心.（1988，美国数学奥林匹克）11. AD为厶ABC内角平分线.取厶ABC， ABD， ADC的外心O, O1, O2.则厶OO1O2是等腰三角形.12. ABC中Z Cb c,有是厶HCF. (1) a2, b2, c2成等差数列=.若厶ABC为正三角形，易证BE= J 2c2222122

22、2将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得cf= a,2BE=b , AD=1C.2 2/CF: BE: AD = a :2. 3 -、3匚.3b : c =a. b: c.2 2故有.(2)a2, b2,c2成等差数列.当中abc时,中 CF BEA AD.乞=(CF)2S, a据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3 ”，有乞=34 S.i 4CF2=- 3a2=4CF2=2a2+b2-c2-a2+c2=2b2.2a - b , ad=-、2b 2c - a 2I 为厶ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC.5.证明 连接AC,

23、CE, EA,由已知可证AD ,CF,EB是厶ACE的三条内角平分线,再由 BDF，易证BP, DQ, FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有:ErdOBS+DI+FI A2 (IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP, IA=2IQ , IC=2IS./BI+DI+FI A IA+IE+IC. / AB+BC+CD+DE+EF + FA=2( BI+DI +FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心6 .提示：设AM为高亦为中线，取 AC中点F , E必在DF上且DE: EF=2:1.设CD交AM于G, G必为 ABC重心.连GE，MF，MF

24、交DC于K.易证：1 11DG: GK=DC:()DC=2:1.323.：DG: GK=DE:EF=GE/ MF.TOD 丄 AB, MF / AB, /OD丄MF=OD丄GE.但OG丄DE = G又是 ODE之垂心.易证OE丄CD.C+1 ( Z BAC-60 )=2Z BAC= Z BAI =Z BEI.7 .提示：辅助线如图所示，作/DAO平分线交BC于K.易证 AIDAIBA EIB，Z AID = Z AIB=Z EIB.利用内心张角公式，有1ZAIB=90 +2 ZC = 105,1 1/Z DIE =360 -105 X 3=45 . tZ AKB=30 +Z DAO=30 巧(

25、Z BAC- Z BAO)=30 /AK / IE.由等腰 AOD可知DO丄AK,/ DO丄IE，即DF是厶DIE的一条高.同理EO是厶DIE之垂心，OI丄DE.由Z DIE=Z IDO，易知 OI=DE.习题17解答1. B; 2. A ; 3 . A; 4 . C ; 5 .选 B，只有（3）是对的；6.略；7 .略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的轨迹是一条线段. 补充：第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1 .过等腰 ABC底边BC上一点P引PM /

26、 CA交AB于M ;引PN / BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P .试证：P 点在 ABC 外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：由已知可得 MP =MP=MB, NP =NP=NC,故点M是厶P BP的外心，点N是厶P PC的外心.有,11ZBP P= Z BMP= Z BAC,2 2,11ZPP C= ZPNC= Z BAC.22:.Z BP C=Z BP F+ Z P PC=Z BAC.从而，P点与A, B, C共圆、即戸在厶ABC外接圆上.由于P P平分Z BP C,显然还有P B: P C=BP: PC.例2 .在 ABC的边AB, BC, CA上分别取点P, Q, S

27、.证明以 APS,A BQP,A CSQ的外心为顶点的三角形与 ABC相似.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：设 0 , O2, O3 是厶 APS, BQP, CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知ZP0iS=2Z A,ZSO3Q=2Z C.:Z PO1S+Z QO2P+ZSO3Q=36O .从而又知Z O1PO2+Z O2QO3+Z O3SOi=36O将厶O2QO3绕着O3点旋转到厶KSO3，易判断厶KSOi O2PO1，同时可得 OiO2O3 O1KO3.1：Z O2O1O3=Z KO1 Os=Z O2O1K2=1(Z O2O1S+ ZSO1K)21(Z O2

28、O1S+ ZPO1O2)21Z PO1S= Z A;2同理有Z O1QO3= Z 8.故厶O1O2O3ABC.、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 .掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3 . AD , BE, CF是厶ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在厶PAD , PBE , PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和 （ 第26届莫斯科数学奥林匹克）分析：设G为厶ABC重心，直线PG与AB,BC相交.从A , C , D , E , F分别作该直线的垂线,垂足为 A , CD , E , F.易证 AA =2DD , CC =2FF , 2EE =A

29、A +CC:.EE =DD +FFS PGE =Sx PGD +Sa PGF.两边各扩大3倍，有 Sapbe=Spad+ S PCF .例4 .如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将厶ABC简记为，由三中线 AD，BE，CF围成的三角形简记为 .G为重心，连DE到H,使EH = DE，连HC, HF，则就是厶HCF.（i） a，b2，c2 成等差数列二.若厶ABC为正三角形，易证.不妨设abc，有cFna2 +2b2 _c22be=1 ,2c2 2a2 -b22ADb2 +2c2 _a2 .2将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得

30、33.a/3CF= a ， BE= b ， AD= c .2 2 2V3!3. V3/CF: BE: AD = a :b :c2 2 2=a: b: c.故有 .“= a2，b2，c2成等差数列.当中abc时，中 CF BEA AD./ 乙=（CF）2S a据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的CF2a23a2=4CF2=2a2+b2- c2= a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例5 .设A1A2A3A4为O O内接四边形，Hi, H2，H3，H4依次为 A2AsA4, A3

31、A4Ai, A4AiA2,A A1A2A3的垂心.求证：Hi, H2, H3, H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置（1992，全国高中联赛）分析：连接A2H i, A1H2 , H1H2,记圆半径为R.由厶A2A3A4知A2H1-=2RA2H1 =2Rcos/ A3A2A4；sin ZA2 A3H1由厶A1A3A4得Ai H 2=2 RcosZ A3A1A4.但/人3人2人4=/ A3A1A4 ,故 A2H1 =A1H2 .易证 A2H1/ A1A2，于是，A2H1 A1H2 ,=故得H1H2 A2A1.设=A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称同理，H2H3与A2

32、A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形， 巴，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q, Q与0也关于M成中心对称.由0, M两点，Q点就不难确定了 .例6. H为厶ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的0 H交直线EF, FD，DE于A，A2, B，Eb, C“ C2.求证：aa1=aa2=bb1=bb2=cc1=cc2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b, AB=c,AABC

33、 夕卜接圆半径为R,0 H的半径为r.连 HA1, AH 交 EF 于 M.2A A1 =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2- MH2),11又 AM2- HM2=( AH1)2-( AH-AH1)222AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,AHsin ABH=2R= AH 2=4R2cos2A,=2R= a2=4R2s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2由、有A A； =r2+b2 c2 -a22bc-bc-(4 R2- a2)= l(a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=丄心2+圧+)-4

34、 R2+r2,2CC12 = 1(a2+b2+c2)-4 R2+r2.2四、内心故有 AAi = BBi=CCi.三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I为厶ABC的内心，射线AI交厶ABC外接圆于A ,则有A l=A B=A C.换言之，点A必是 IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7 . ABCD为圆内接凸四边形，取 DAB， ABC,ABCD， CDA 的内心 Oi， O2，O3，04.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992; 4例8.已知0 O内接 ABC， Q切AB，

35、AC于E，F且与0 O内切.试证：EF中点P是厶ABC之内心.(B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.当AB = AC，怎样证明呢?如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在/ BAC平分线上.易知AQ=-TQK AQ=MQ QN,MQ QN/QK= 一AQ(2R F - = sin ：(2R r)r /sin :由 ria epq 知 pq=s in r.2R./.pk=pq+qk=s in： r+ s in： (2R_r)=s in：/.PK=BK.:- 利用内心等量关系之逆定理，即知 P是厶ABC这

36、内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 .旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切 例9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与 a， b, c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设RtA ABC中，c为斜边，先来证明一个特性:P( P- c)=( p-a)( p-b).11/ p( p- c)= ( a+b+c) (a+b-c)(a+b)2-c222=_ ab ；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) ( a- b+c)

37、22 1 1c2-( a- b)2=ab.4-p( p- c)=( p-司(p- b).观察图形，可得ra=AF- AC=p- b, b=BG- BC=d- a, rc=CK=p.1而 r= ( a+b-c)2=p- c-r+ra+rb+rc=(p- c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及图形易证.ACB内例10. M是AABC边AB上的任意一点.r，, r分别是 AMC , BMC,A ABC内切圆的半径，q?, q分别是上述三角形在/部的旁切圆半径.证明： 主 2=丄.q1q2 q(IMO-12)分析：对任意 A B C,由正弦定理可知OD=OAAsi

38、n 2.Bsin2sin AOB.A . B sin sin2 2A+Bsin2BO E= A BABcos cos22.A Bsin2ODOEg ?tg亦即有r2丄A,.CMA 丄.CNB丄B=tg tgtgtgq22222riqitg Atg 2=六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心 .例11.设在圆内接凸六边形 ABCDFE中，AB=BC, CD=DE, EF=FA.试证：(1) AD, BE, CF三条对角线交于一点;(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAA AK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)

39、分析：连接AC , CE, EA,由已知可证 AD, CF, EB是厶ACE的三条内角平分线，I为厶ACE的内心.从而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.再由 BDF，易证BP, DQ, FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有:BI+DI+FI 2 (IP+IQ+65dOS不难证明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS./BI+DI+FI IA+IE+IC./.AB+BC+CD + DE+EF + FA=2( BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心 例12. ABC的外心为 O, AB=AC , D

40、是AB中点，E是厶ACD的重心.证明0E丄CD.( 加拿大数学奥林匹克训练题)DJ丄FG X JO:I IABC分析：设AM为高亦为中线，取 AC中点F , E必在DF上且DE: EF=2:1.设CD交AM于G, G必为 ABC重心. 连GE, MF , MF交DC于K.易证：111DG: GK= DC:()DC=2:1.3 23/.DG:GK=DE: EF=GE/ MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD丄MF=，OD丄GE.但OG丄DE =，G又是 ODE之垂心.易证OE丄CD.例13. ABC中/C=30, O是外心，I是内心，边 AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB

41、.求证：OI丄DE, OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)C分析：辅助线如图所示，作/ DAO平分线交BC于K.易证 AIDAIBA EIB,例14.分析:Z AID = Z AIB=Z EIB.利用内心张角公式，有1ZAIB=90 + Z C=105,2:.Z DIE =360 -105 X 3=45二 AKB=30 +1 ZDAO=301+( Z BAC- Z BAO)2=30 + _ ( Z BAC-60 )21=Z BAC=Z BAI=Z BEI.2:.AK /IE.由等腰 AOD可知DO丄AK,:.DO丄IE，即DF是厶DIE的一条高.同理EO是厶DIE之垂心，OI丄DE

42、.由Z DIE=Z IDO，易知 OI=DE.锐角 ABC中，O, G，H分别是外心、重心、垂心离和为d重，垂心到三边距离和为 d垂.求证：1 d垂+2 d外=3 - d重.这里用三角法.设厶ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，：2d 外=2(cosA+coSB+cosC).TAH1=sinB AB=sinB (2 sinC)=2 sinB，sinC，同样可得BH2 CH3.：.3d重= ABC三条高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH: =2,si nBCH:-HH 1=c

43、osC BH=2 cosB cosC.同样可得HH2，HH3.:.d 垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲证结论，观察、，须证(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.练习题1.1为厶ABC之内心，射线 AI, Bl, CI交厶ABC外接圆于AB, C .则 AA +BB +CCA ABC 周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克）2. T的三边分别等于厶T的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角

44、形相似.（1989，捷克数学奥林匹克）3. I为厶ABC的内心.取厶IBC， ICA， IAB的外心Oi, O2，O3.求证： O1O2O3与厶ABC有公共的外心.（1988，美国数学奥林匹克）4. AD为厶ABC内角平分线.取厶ABC， ABD， ADC的外心O, O“ O?.则厶OOQ?是等腰三角形.5. ABC中/C 90，从AB上M点作CA, CB的垂线MP, MQ. H是厶CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求 H的轨迹.（IMO-7）16. ABC的边BC= （ AB+AC），取AB, AC中点M , N, G为重心，I为内心.试证：过A, M , N三点的圆与直线 GI相切.（第2

45、7届莫斯2科数学奥林匹克）7. 锐角 ABC的垂心关于三边的对称点分别是 比，H2, H3.已知：比，H2,出，求作 ABC.（第7届莫斯科数学奥林匹克）8. 已知 ABC的三个旁心为I1, I2, d求证： I1I2I3是锐角三角形.9. AB, AC切0 O于B, C,过OA与BC的交点M任作0 O的弦EF.求证：（1） AEF与厶ABC有公共的内心；（2） AEF与厶ABC有一个 旁心重合.三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

46、该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1。2、 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反 比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（X1+X2+X3）/3 ,（Y1+Y2+Y3）/3。二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。夕卜心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角