幂函数题型及解析

1、.幂函数题型及解析1.（1）下列函数是幂函数的是_y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x1）2，y=x，y=ax（a1）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x2和y=x解：由幂函数的定义知，y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x1）2，y=x，y=ax（a1），七个函数中是幂函数的是y=x2和y=x，（2）y=x2+1； y=2x； y=； y=（x1）2； y=x5； y=xx+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可解：根据幂函数y=x，R的定义知，y=x2+1不是幂函数，y=2x不是幂函数，y=x2是幂函数，y=（x1

2、）2不是幂函数，y=x5是幂函数，y=xx+1不是幂函数；综上是幂函数的为2.已知幂函数y=f（x）的图象过点（9，）.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（25）的值；（3）若f（a）=b（a，b0），则a用b可表示成什么？分析：（1）设出幂函数f（x）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f（25）的值；（3）根据函数的解析式求出a与b的关系解：（1）设幂函数f（x）=xt，图象过点（9，），；即32t=31，；（2）f（x）=，f（25）=25-0.5=；（3）f（a）=a-0.5=b，a-0.5b，a1=b2，a=3.比较下列各组中两个值的大小（1）

3、1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3），；（4）（）0.24与；（5）3.10.5，3.12.3；（6）（）1.5，（）1.8；（7）0.62，0.63；（8）（）0.3，（）0.24分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得解：（1）幂函数y=在（0，+）单调递增，；（2）幂函数y=x1.5在（0，+）单调递增，0.71.50.61.5；（3）幂函数y=在（，0）单调递增，；（4）01，0.24，（）0.24；（5）3.10.53.12.3；（6）（）1.5（）1.8；（7）0.620.63；（8）（）0.3（）0.244.若函数y=（m2+2m2

4、）xm为幂函数且在第一象限为增函数，求m的值已知幂函数y=（m2m1）xm22m3，当x（0，+）时为减函数，求幂函数分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m的值即可解：函数y=（m2+2m2）xm为幂函数且在第一象限为增函数，m2+2m-2=1且m0；解得m=1解：幂函数y=（m2m1）xm22m3，m2m1=1，解得m=2，或m=1；又x（0，+）时y为减函数，当m=2时，m2-2m-3=3，幂函数为y=x-3，满足题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上幂函数y=x-35.幂函数y=（m23m+3）xm是偶函数，求m的值分析：根据幂函数的定义先求出m

5、的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可解：函数是幂函数，m23m+3=1，即m23m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x是奇函数，不满足条件当m=2时，y=x2是偶函数，满足条件，即m=26.求函数y=的定义域和值域分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域解：函数y= ，x0，且y0；函数y的定义域是x|x0，值域是y|y07.求函数y=0.2x23x+4的定义域、值域和单调区间分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可解：令f（x）=x23x+4=（x2+3x+）+=+，f（x）在（，）递增，在（，+）递减，函数y=0.2x

6、23x+4在（，）递减，在（，+）递增，ymin=，函数y=0.2x23x+4的定义域是R、值域是，+），在（，）递减，在（，+）递增8.已知幂函数y=（mZ）的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象分析：由题意得4-3m-m20解得4m1，又因为图象关于y轴对称，所以43mm2必须为偶数，故m=0，1，2，3，即可画出图象解：由题意得43mm20，即有（m+4）（m1）0，解得4m1，又因为图象关于y轴对称，所以43mm2必须为偶数，所以m=0，1，2，3，m=3，y=x4，m=2，y=x6，m=1，y=x6，m=0，y=x4其图象如图： 9.已知函数y=（nZ）的

7、图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数图象分析：由题意可得，可得幂指数n22n3为负数，且为偶数由于当n=1时，幂指数n22n3=4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象解：已知函数y=（nZ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，可得幂指数n22n3为非正数，且为偶数由于当n=1时，幂指数n22n3=4，满足条件，当n=3时，n22n3=0，满足条件故函数为y=x4，或y=x0，它的图象如图所示： 10.已知幂函数y=xm2（mN）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象分析：由题意利用幂函数的性质可得mN，m20

8、，且m2为偶数，由此求得m的值解：幂函数y=xm2（mN）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，m20，m2为偶数，故m=0，即幂函数y=x2，它的图象如右图所示或m2=0，m=2，此时y=x0，（x0），它的图象如图所示11.已知幂函数 的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m22m30且m22m3为偶数，从而可得答案解：幂函数y=（mZ）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，m22m30且m22m3为偶数（mZ），由m22m30得：1m3，又mZ，m=1，0，1，2，3当m=1时，m22m3=1+23=0，为偶数，符合

9、题意；当m=0时，m22m3=3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m22m3=123=4，为偶数，符合题意；当m=2时，m22m3=443=3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m22m3=963=0，为偶数，符合题意综上所述，m=1，1，312. 已知幂函数y=xm22m3（mZ）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象分析：由题意知，m22m30，且 m22m3为奇数，解此不等式组可得m的值解：幂函数y=xm22m3（mZ）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，m22m30，且 m22m3为奇数，即1m3 且 m22m3 为奇数，m=0

10、或2，y=x3，其图象为：13.若实数m满足不等式0.642m+31.253m，求实数m的取值范围分析：不等式0.642m+31.253m，即为（）（4m+6）（）3m，再由y=（）x在R上递增，得到（4m+6）3m，解出即可解：不等式0.642m+31.253m，即为0.82（2m+3）（）3m，即有（）（4m+6）（）3m，由于y=（）x在R上递增，则（4m+6）3m，解得，m，故实数m的取值范围是（，+）14.已知幂函数（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2a）f（a1）的实数a的取值范围分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到