二元一次方程解法大全

1、二元一次方程解法大全1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如 (x-m)2=n(n 0)的方程，其解为 x= 土根号下n+m.例 1解方程( 1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11(3x-4)2 ，分析：( 1)此方程显然用直接开平方法好做，( 2)方程左边是完全平方式 右边 =110，所以此方程也可用直接开平方法解。(1) 解：(3x+1)2=7 x (3x+1)2=5 3x+1 = (注意不要丢解) x=原方程的解为 x1=,x2=( 2)解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x-4= x=原方程的解为

2、 x1=,x2=2 .配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a丰0)先将常数 c 移到方程右边： ax2+bx=-c将二次项系数化为 1 ： x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方： x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式： (x+)2=当 bA2-4ac 0 时，x+= x=(这就是求根公式)例2 .用配方法解方程 3xA2-4x-2=0(注：XA2是X的平方)解：将常数项移到方程右边 3xA2-4x=2将二次项系数化为 1： x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方： x2-x+()2=+()2配方： (x-)2=直接开平方得： x-= x=原方程的解

3、为 x1=,x2=.3. 公式法：把一元二次方程化成一般形式， 然后计算判别式厶=b2-4ac的值，当b2-4ac 0 时，把各项系数 a,b,c 的值代入求根公式 x=-b (bA2-4ac)A(1/2)/(2a),(bA2-4ac 0)就可得到方程的根。例 3.用公式法解方程 2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式： 2x2-8x+5=0 a=2,b=-8,c=5bA2-4ac=(-8)2-4 X 2 X 5=64-40=240 x=(-b (bA2-4ac)A(1/2)/(2a)原方程的解为 x1=,x2=.4. 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式

4、 的积的形式， 让两个一次因式分别等于零， 得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程 所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4.用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0( 选学) (4)x2-2(+)x+4=0 (选学)(1) 解： (x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0( 方程左边为二次三项式，右边为零 )(x-5)(x+2)=0( 方程左边分解因式 ) x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程) x1=5,x2=-2是原方程的解。(2) 解： 2x2+3x=

5、0x(2x+3)=0( 用提公因式法将方程左边分解因式 ) x=0 或 2x+3=0( 转化成两个一元一次方程 ) x1=0，x2=- 是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉 x=0 这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3) 解： 6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错 ) 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=,x2=- 是原方程的解。 解：x2-2(+)x+4=0 (v 4可分解为2 2,：.此题可用因式分解法)(x-2)(x-2)=0 x1=2,x2=2 是原方程的解。小结：一般解一元二次方程， 最常用的方法还是因式

6、分解法， 在应用因式分解法时， 一般要先 将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能 法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应 先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具， 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了， 所以 一般不用配方法解一元二次方程。 但是， 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用， 是初中要求掌握 的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。 (三种重要的数学方法：换元法，配方法，待 定系数法)。二元一次

7、方程练习题、判断1、是方程组的解()2、 方程组的解是方程3x-2y=13 的一个解()3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组()4、方程组，可以转化为()5、 若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，则a 的值为土 1 ()6、若 x+y=0,且 |x|=2，贝U y 的值为 2()7、 方程组有唯一的解，那么m的值为-5()8、 方程组有无数多个解()9、 x+y=5且x, y的绝对值都小于 5的整数解共有5组()10、 方程组的解是方程 x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解()11、若 |a+5|=5 , a+b=1 则 (

8、)12、在方程 4x-3y=7 里，如果用 x 的代数式表示 y ，则()二、选择：13、任何一个二元一次方程都有()(A) 个解；(B)两个解；(C)三个解；(D)无数多个解；14、 一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有)( A) 5 个( B) 6 个( C) 7 个( D) 8 个15、 如果的解都是正数，那么a 的取值范围是()( A) aV；2 V;3、x；4、x；5 、x； 6 、x；7.V; 8V; 9、x； 10、x； 11、x； 12、x；二、 13、 D；14、 B；15 、 C；16 、 A；17 、 C； 18、 A；19 、 C；

9、20、A; 21 、A； 22、B； 23、B； 24、 A；三、 25、，8，; 26、 2； 27、；28、a=3，b=1 ；29、30、； 31、3，-432、1；33、20；34、a为大于或等于 3的奇数；35、4:3 , 7:936、0;四、37、；38、；39、； 40、；41 、； 42、； 43、； 44、；45、； 46、；五、47、,； 48、a=-149 、 11x2-30x+19 ；50、； 51 、, b=352、 a=6,b=11,c=-6 ；53、（ 1） m是大于-4 的整数，（2） m=-3, -2 , 0,;54、或；六、55、A、B距离为450千米，原计划

10、行驶 9.5小时；56、设女生 x 人,男生 y 人,57、设甲速 x 米/秒,乙速 y 米/秒58、甲的容量为 63升,乙水桶的容量为 84升；59、A B两地之间的距离为 52875米；60、所求的两位数为 52和 62。二元一次方程组练习题 100 道（卷二）一、选择题：1下列方程中,是二元一次方程的是（）A3x 2y=4zB6xy+9=0C+4y=6D4x=2下列方程组中,是二元一次方程组的是（）A3二元一次方程 5a11b=21（）A.有且只有一解 B.有无数解C.无解D.有且只有两解4方程 y=1 x 与 3x+2y=5 的公共解是()A.5. 若 |x 2 | + (3y+2)

11、2=0,则的值是()A. 1B. 2C. 3D.6方程组的解与x与y的值相等，贝U k等于()7. 下列各式，属于二元一次方程的个数有() xy+2x y=7 : 4x+1=x y : +y=5 : x=y : x2 y2=2 6x 2y x+y+z=1 y (y 1) =2y2 y2+xA. 1B. 2C. 3D. 48. 某年级学生共有 246 人， 其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人， ?则下面所列的方程组中符合题意的有()A.二、填空题9已知方程2x+3y 4=0,用含x的代数式表示y为：y=;用含y的代数式表示 x 为： x= .10. 在二元一次方程 x+3y=

12、2 中,当 x=4 时, y=;当 y= 1 时, x=.11. 若 x3m 3 2yn 1=5 是二元一次方程，则m=, n=.12. 已知是方程 x ky=1 的解，那么 k= .13 .已知 |x 1 | + ( 2y+1) 2=0,且 2x ky=4，贝U k=.14.二元一次方程 x+y=5 的正整数解有 .15以为解的一个二元一次方程是16已知的解，则 m=， n=三、解答题17. 当y= 3时，二元一次方程 3x+5y= 3和3y 2ax=a+2 (关于x, y的方程)？有相 同的解，求 a 的值18. 如果(a 2) x+ (b+1) y=13是关于x, y的二元一次方程，则a

13、, b满足什么条件？19. 二元一次方程组的解 x， y 的值相等，求 k.20. 已知x, y是有理数，且(|x | 1) 2+ (2y+1) 2=0,则x y的值是多少？21. 已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，？使它与已知方程所组成的方程组 的解为.22. 根据题意列出方程组：( 1)明明到邮局买 0.8 元与 2元的邮票共 13枚,共花去 20元钱, ?问明明两种邮票各 买了多少枚？( 2)将若干只鸡放入若干笼中,若每个笼中放4 只,则有一鸡无笼可放； ?若每个笼里放 5 只,则有一笼无鸡可放,问有多少只鸡,多少个笼？23. 方程组的解是否满足 2x y=8 ?满足2x

14、y=8的一对x, y的值是否是方程组的解？24. (开放题)是否存在整数 m使关于x的方程2x+9=2( m- 2) x在整数范围内有 解，你能找到几个 m的值？你能求出相应的 x的解吗？答案：一、选择题1. D解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：含有两个未知数；含有未知 数的项的次数是1;等式两边都是整式.2. A解析：二元一次方程组的三个必需条件：含有两个未知数，每个含未知数的 项次数为1;每个方程都是整式方程.3. B 解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解.4. C解析：用排除法，逐个代入验证.5. C解析：利用非负数的性质.6. B7. C解析：根据二元一次方程的定义

15、来判定，？含有两个未知数且未知数的次数不超过 1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程.8. B二、填空题9. 10. 1011., 2 解析：令 3nn- 3=1, n仁 1,. m= n=2.12. 1 解析：把代入方程 x ky=1 中，得2 3k=1,. k= 1.13. 4 解析：由已知得 x 1=0， 2y+1=0，二 x=1, y=,把代入方程 2x ky=4 中，2+k=4,. k=1.14. 解：解析：T x+y=5，二y=5 x，又t x, y均为正整数， x为小于5的正整数.当 x=1时，y=4;当x=2时，y=3;当 x=3, y=2 ;当 x=4 时，y

16、=1 . x+y=5 的正整数解为15. x+y=12解析：以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17 , 2x y=3等，此题答案不唯一.16. 14 解析：将中进行求解.三、解答题17. 解：T y= 3 时，3x+5y= 3, 3x+5 X( 3) = 3,二 x=4,方程 3x+5y=? ?3?和 3x 2ax=a+2 有相同的解,-3x( 3) 2ax 4=a+2, a=.18解：( a 2) x+ (b+1) y=13 是关于 x, y 的二元一次方程， a 2工 0, b+1 0, ? a丰 2, bz 1 解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0.( ?若

17、系数为 0，则该项就是 0)19 .解：由题意可知 x=y, 4x+3y=7可化为4x+3x=7 , x=1, y=1 .将 x=1 , y=?1?代入 kx+ (k 1) y=3 中得 k+k 仁3, k=2 解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代 替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值.20.解：由(|x | 1) 2+ (2y+1) 2=0,可得 |x | 1=0且 2y+1=0, x= 1, y=. 当 x=1, y=时，x y=1+=;当 x= 1, y=时，x y= 1+=. 解析：任何有理数的平方都是非负数,且题中两非负数之和为0,则这两非

18、负数(|x | 1) 2与(2y+1 ) 2都等于0,从而得到|x | 仁0, 2y+仁0.21 .解：经验算是方程 x+3y=5 的解,再写一个方程,如 x y=3.22. ( 1)解：设0. 8元的邮票买了 x枚，2元的邮票买了 y枚，根据题意得.( 2)解：设有 x 只鸡, y 个笼,根据题意得.23. 解：满足,不一定.解析：t的解既是方程 x+y=25的解，也满足2x y=8, ?方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程 2x y=8的解有无数组，如x=10, y=12，不满足方程组.24. 解：存在，四组原方程可变形为一 mx=7,当 m=1 时，x= 7; m=- 1 时，x=

19、7; m=?7时，x= 1; m=- 7 时 x=1 .二元一次方程应用题题型一：配套问题1. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或 衣袖 5只.现计划用 132米这种布料生产这批秋装 （不考虑布料的损耗 ） ，应分别用多少布料 才能使做的衣身和衣袖恰好配套？题型二：年龄问题2. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁” .乙对甲说： “当我的岁 数是你现在的岁数时，你将 61 岁”.请你算一算，甲、乙现在各多少岁？题型三：百分比问题3. 有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 25%，乙种合金含银 37.5%，现在要熔制含 银 30%的合金

20、100 千克，甲、乙两种合金各应取多少？题型四：数字问题4. 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换， 那么所得的新数与原数的和是 143，求这个两位数 .题型五：古算术问题5. 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。 364 只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭， 四人共吃一碗羹。请问先生明算者， 算来寺内几多僧。诗句的意思是： 寺内有三百六十四只 碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？题型六：行程问题6. 甲乙两地相距 1 60千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20 分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？题型七：工程问题200 千米以外的的一条大7某城