双曲线经典内容

1、双曲线的标准方程知识要点：（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（|PF1 | | PF21| 2a）。注意：、上式中是差的绝对值，在 0 2a |F1F21条件下；|PR| | PF2 | 2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2| |PF1 | 2a时为双曲线的另一支（含 的一 支）；、当2a |F1F2 |时，|PF1 | |PF2 | 2a表示两条射线；当|PF1| |PF2| 2a 不表示任何图形；两定点焦距。椭圆和双曲线比较：椭|PF1| |PF2|2x2a2aF1,F2叫做双曲线的焦点，IF1F2I 时， | F1F2 |叫做定义方程焦占

2、八 、八、2yF( c,0)2a(2a2xb7圆IF1F21)2L 12a2 x 2 a双曲|PF1| | PF2 | 2a(2a2y_ 1b212 y2 a线IF1F2I)2乙1b21(2)双曲线的性质、范围：从标准方程a侧。即 x2 a2， x2、对称性：双曲线务a称轴，原点是双曲线F(0, c)F( c,0)F(0, c)2-y2 1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x a的外b2a即双曲线在两条直线 xa的外侧。2y_b22x2a1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。b2、顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲

3、线的顶点。轴，所以令y 0得x a，因此双曲线和2x2a22在双曲线笃 与 1的方程里，对称轴是x,ya bx轴有两个交点 A （ a,0）A2（a,0），他们是双曲线21的顶点。b21） 注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分 别是实轴的两个端点。2） 实轴：线段A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长 、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲2 2线的渐近线。从图上看，双曲线 丿y 1的各支向外延伸时，与这两条直

4、线逐渐接a2 b2近。 、等轴双曲线：1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b ；2） 等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y x ； （ 2 ）渐近线互相垂直注意：以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双 曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征 a b，则等轴双曲线可以设为：x2 寸 （0）当 0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上1的区别：三个量a,b,c中a, b不同（互换）c相同，还2 2 2 2 注意乞乙i与1 169916有焦点所在的坐标轴也变了。（3）、理解双曲线应注意的几点1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平

5、程度的一个重要数据同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于从接近1逐渐增大时，的值就从接近逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法把标准方程中的“1”用替换即可得出渐近线方程3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：、渐近线方程为的双曲线的方程为：且为常数）、与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为且为常数）例题：1已知圆C: (x 3)2y24,定点A (-3,0 )，则过定点 A且与圆C外切的动圆圆心 P的轨迹方程32、 双曲线的渐近线方程为y= -x,则双曲线的离心率为42 23、 若k R,试写出方程 =1表示双曲

6、线的一个充分不必要条件 k 3 k 32 24、已知圆C过双曲线 - =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到916双曲线中心的距离是2 25、 已知曲线方程为 X +_=i，当k的取值范围是 时，方程表示双曲线。k 25 k2 26、 已知双曲线 -=1的焦点为Fi、F2,点M在双曲线上且 MR x轴，则Fi到直线F2 M63的距离为7、 一条双曲线 x2- y2=1的左焦点为Fi，点P在双曲线左支的下半支上(不含左顶点)，则直线PF1的斜率的取值范围是 2 2x y8、 双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2 ,则点P到916x轴的距离为29、 设

7、F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点 P在双曲线上且满足FF2=60 ，4贝yf1pf2的面积为2 210、已知双曲线务-=1 (a0,b0 )的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双a2 b2曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 x2 y211、 双曲线 -亍=1 (a0,b0 )的左右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30的直a b线交双曲线右支于 M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 2y1的左、右焦点，b2O为坐标原点，点 P在双曲线的左支2x12、若F1、F2为双曲线a上，点M 在双曲线的右准线上， 且满足FiO PM, OP0),则该双曲线的

8、离心率为().313、已知双曲线的方程为2x2a2yT =1 (a0,b0 ),点A.B在双曲线的右支上，线段AB经过b2双曲线的右焦点F2,AB=m,Fi为另一焦点，贝UABFi的周长14、求适合下列条件的双曲线标准方程：53(1)虚轴长为12,离心率为一 (2)顶点间距离为6,渐近线方程为y= - x4215、已知圆C: x2 y2(3)求与双曲线x2 2y2 1有公共渐近线，且过点M(2, -2 )的双曲线方程。6x 4y 80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为?3 2 216、已知双曲线的渐近线方程为y= x,且焦点都在圆 x y

9、100上，求双曲线方程42 217、椭圆刍+务=1 ( ab0)与双曲线a2 b2m22y2n1 (m,n0)有公共焦点，P是它们的一个公共点。(1 )用 b 和 n 表示 cosF1P F2(2)设 SF1PF2 =f(b,n),求 f(b,n),18、双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x2 y25交于点P(2，-1)。如果过点P的圆的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴的上端点的连线，求双曲线的方程19、已知双曲线的中心在原点，焦点F,、F2在坐标轴上，离心率为 2且过点(4，-0 )(1)求双曲线方程(2)若点m(3，m在双曲线上，求证点M在以戸、F2为直径的圆上(3)求F,MF2的面

10、积20、已知双曲线C的方程为2x2a215y2 =1 ( a0,b0)，离心率e=，顶点到渐近线的距离b2(1 )求双曲线C的方程；(2)P是双曲线C上一点A,B两点在双曲线 C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限,-一 1若AP PB,2，求AOB面积的取值范围321、已知三点 P( 5，2)、F1 (- 6, 0)、F2 (6, 0)。(1) 求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(2) 设点P、F1、F2关于直线y = x的对称点分别为 P、F；、F?，求以F；、F?为焦 点且过点P的双曲线的标准方程.习题练习：1 动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的

11、轨迹是()A 双曲线B 双曲线的一支C 两条射线D 一条射线2.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d，且c d，那么双曲线的离心率 e等于 ( )A 2B 3C. 、2D 、33过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ , F1是另一焦点” PFiQ -，则 双曲线的离心率e等于()A. 21B.,2C.214.双曲线2 mx2y1的虚轴长是实轴长的2倍，则m()11A .B.4C . 4D .-44225.双曲线x2y1(a,b0)的左、右焦点分别为F1， F2，点P为该双曲线在第 象限ab22,则该双曲线的方程为1的点， PF1F2 面积为 1,且 tan PF1F2,tan PF2F12( )12x2 A .- 53y2B .区 3y21122xD 36.如果方程1表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是7.2A .2q p2y- 1q2x2q p2y_px2c .2