倍角三角形模型基本结论及其辅助线构造法_第1页
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文档简介

1、倍角三角形模型基本结论及其辅助线构造法如果一个三角形的内角等于另一个内角的2倍，那么这样的三角形为“倍角三角形”。倍角三角形的辅助线一般构造等腰三角形或作倍角的角平分线。【例1】如图1，ABC中，C=，B=2，AB=c，BC=a，AC=b，且（abc）。求证：b -c=ac。【解析】如图1-1，作B的角平分线BD，交AC于点D，根据角平分线定理（详见角平分线在三角形中的比例关系），ac=CDDA，（a+c）c=（CD+DA）DA=bDA，DA（a+c）=bc；ABD=，C=，ABDACB，c=DAb，DA= c/b，代入式：（a+c）c/b=bc，整理，得：b -c=ac。我们注意到在【例1】

2、没有限制A和B的数量关系，所以当A=nB（n2）时，总有b -c=ac成立。【例2】如图2，ABC中，C=，B=2，A=4，AB=c，BC=a，AC=b，且（abc）。【解析】由【例1】可知，倍角（2）对边与原角（）对边的平方差等于第三条边与原角（）对边的乘积，可知（1）、（2）是正确的；对于（3），如图2-1，作BAD=，则CAD=CDA=3，CD=b；BADBCA，c=BDa；BD=a-b，c=a（a-b），化简，得：a-c=ab；对于（4），将（1）、（2）结论中得两式相加，得：a-c=(a+b)c，由（3）：a-c=ab，(a+b)c=ab，如果【例2】跳过（1）、（2）、（3），直接

3、证明（4）的结论，也可以这样证明：如图2-2，作BAC的平分线AD，作ABF=，BF交DA延长线于点F；延长CB至点E，使得AEC=，连接AE。则ABCACD，cAD= ab，DBF=3，BDF=3，FD=FB；易知，ABFBEA，FB=AE=b，FD=b，AF=c，AD=b-c，c（b-c）= ab，化简，得：【例3】如图3，ABC中，C=，B=2，A=6，AB=c，BC=a，AC=b，且（abc），试探讨a，b，c之间的数量关系。【解析】由【例1】，因为B=2C，所以满足b -c=ac；除此之外，我们再来探求其他的关系。显然可求得=20，3=60，如图3-1，在BC上找出两点D、E，满足CAD=2，DAE=3，则ADE=3，ADE为等边三角形；且CADCBAABE，c=aBE，b=aCD，ADc=ba，AD=bc/a；+：b +c=a（BE+CD）=a（a-DE）,DE=AD=bc/a，b

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