分式概念及意义

1、.分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，AB可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B0时，分式有意义。 （3）分式：，当 时， 分式的值为零。 （4）分式：，

2、当 时， 分式的值为1。 （5）分式：，当 时，即或时，为正数。 （6）分式：，当时，即或时，为负数。 （7）分式：，当时或时，为非负数。 三、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点： （1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； （2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、

3、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。 解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。 说明

4、：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为=a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有，但不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。 例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？ 解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0， x2, （2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, x-2, （3）在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0， x-2且x3。 例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。

5、解：（1） 当分母2x+3=0时分式无意义， x=-时，分式无意义。 （2） 当时，分式值为零。 ， x=1时分式值为零。 （3） 当时，分式值为1， x=-4时分式值为1。 （4） 当或 时，分式值为非负数。 或 x1或x-时分式值为非负数。 例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。 解：（1） 当(x+3)(x-1)0时，分式有意义， 当x-3且x1时分式有意义。 又 6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, |x|=3, x=3。 ， x=3时分式值为零。 （2） (x+3)(x-1)=0分式无意义， 即x+3=0或x-1=0， x=-3或x=1时分式无

6、意义。 说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。 对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。 解：（3） (x+3)(x-1)0时分式有意义。 即x+30且x-10时， x-3且x1时分式有意义， 说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x-3且x1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取

7、。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。 例5，写出等式中未知的分子或分母： （1）；（2）；（3）； （1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。 解：， 未知的分子是(x-y)2, （2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。 解：=，未知的分母是b。 （3） a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解） （比较分子，发现分子、分母同乘以a） =，2ab即为所

8、求的分母。 例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。 （1）；（2）； （1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。 解：=。 （2）解：= 注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)10=2a+3b这样的错误。 例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）-。 解：根据分式的符号法则得： （1）-=；（2）-=-。 注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。 例8，不改变分式的值，依照x的

9、降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。 （1）；（2）-。 解：（1）=； （2）-=-=- =-。 说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。 注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误： =。 例9，约分：（1）（2）。 解：（1）=-3yz10。 注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误： =0。 （2）=-。 注意：

10、分母的负号一般要移去。 （2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。 例10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 解：（1）=。 注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。 （2）=。 注：不要将约做，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以相同的整式。 （3）=x2+1。 注：不要犯下面的错误：=x3-x2。 （4）= =-。 注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。 （5）=（分子按x的降幂排列） =（分子提取公因式-1） =（分子、分母都分解因式） =（约去公因式：x-1） =-（应用分式的符号法则） 说

11、明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。 分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。 附录： 一、本讲教学内容及要求 单元 节次 知识要点 教学要求 分 式 分式 （1）分式概念 （2）有理式概念 A（了解） A 分式的基本性质 （1）分式的基本性质 （2）分式的符号法则 D（灵活运用） C（掌握） 分式的约分 （1）约分和最简分式 （2）约分的根据 （3）