2017 2018高中数学第一章解三角形11正弦定理和余弦定理111正弦定理2新人教A必修5

1、1.1.1,正弦定理,二,章,1.1,正弦定理和余弦定理,1,熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题,2,能根据条件，判断三角形解的个数,3,能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一,正弦定理的常见变形,1.sin,A,sin,B,sin,C,2,a,sin,A,b,sin,B,c,sin,C,a,b,c,sin,A,sin,B,sin,C,3,a,b,c,a,2,R,b,2,R,c,2,R,4.sin,A,_,sin,B,_,sin,C,_,a,b,c,2,R,sin,A,2,R,sin,B,2,R,

2、sin,C,2,R,思考,1,知识点二,判断三角形解的个数,在,ABC,中,a,9,b,10,A,60,判断三角形解的个数,答案,sin,B,b,a,sin,A,10,9,3,2,5,3,9,而,3,2,5,3,9,1,所以当,B,为锐角时,满足,sin,B,5,3,9,的角有,60,B,90,故对应的钝角,B,有,90,B,120,也满足,A,B,180,故三角形有两解,已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一,例如在,ABC,中，已知,a,b,及,A,的值,由正弦定理,在由,sin,B,求,B,时，如果,a,b,则有,A,B,所以,B,为锐角,此时,B,的值唯一；如果,

3、a,b,则有,A,B,所以,B,为锐角或钝角，此时,B,的,值有两个,梳理,a,sin,A,b,sin,B,可求得,sin,B,b,sin,A,a,如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形,全等,即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素,即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题,思考,2,答案,已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数,解三角形,4,个基本类型,1,已知三边,2,已知两边及其夹角,3,已知两边及其一边对角,4,已知一边两角,其中只有类型,3,解的个数不确定,梳理,知识点三,正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用,可借助正弦定理把边化成角,2,R,si

4、n,A,cos,B,2,R,sin,B,cos,A,移项后就是一个三角恒等变换公式,sin,A,cos,B,cos,A,sin,B,0,思考,1,答案,在,ABC,中，已知,a,cos,B,b,cos,A,你能把其中的边,a,b,化为,用角表示吗,打算怎么用上述条件,梳理,一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端,正弦定理的本质就是给出,了三角形的边与对角的正弦之间的联系,所以正弦定理主要功能就是把,边化为对角的正弦或者反过来,简称边角互化,尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系,但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径,故,使用时要么能消掉外接圆半径,如思考,1,要么已知外

5、接圆,半径,思考,2,什么时候适合用正弦定理进行边角互化,答案,题型探究,例,1,在,ABC,中，已知,a,20 cm,b,28 cm,A,40,解三角形,角,度精确到,1,边长精确到,1 cm,类型一,判断三角形解的个数,解答,引申探究,例,1,中,b,28,cm,A,40,不变，当边,a,在什么范围内取值时,ABC,有,两解,范围中保留,sin 40,解答,如图,A,40,CD,AD,AC,28 cm,以,C,为圆心,a,为半径画圆弧,当,CD,a,AC,即,b,sin,A,a,b,28sin 40,a,28,时,ABC,有两解,AB,1,C,AB,2,C,均满足题设,已知两边和其中一边的

6、对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正,弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角,有一个值还是两个值,或者根据该正弦值,不等于,1,时,在,0,180,范,围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾,就是所求,反思与感悟,跟踪训练,1,已知一三角形中,a,b,6,A,30,判断三角形是,否有解，若有解，解该三角形,2,3,解答,类型二,利用正弦定理求最值或取值范围,例,2,在锐角,ABC,中，角,A,B,C,分别对应边,a,b,c,a,2,b,sin,A,求,cos,A,sin,C,的取值范围,解答,反思与感悟,解决三角形中的取值范围或最值问题,1,先利用

7、正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素,2,将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数,三角函数,从而转化为函数的值域或最值问题,跟踪训练,2,在,ABC,中，若,C,2,B,求,的取值范围,c,b,解答,因为,A,B,C,C,2,B,所以,A,3,B,0,所以,0,B,3,所以,1,2,cos,B,1,所以,12cos,B,2,又,c,b,sin,C,sin,B,sin 2,B,sin,B,2cos,B,所以,1,c,b,2,例,3,已知,ABC,的三个内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,若,a,c,2,b,2cos 2,B,8cos,B,5,0,求角,B,的大小并判断,A

8、BC,的形状,解答,类型三,正弦定理与三角变换的综合,反思与感悟,借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后,常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判,断三角形的形状、证明三角恒等式,跟踪训练,3,已知方程,x,2,b,cos,A,x,a,cos,B,0,的两根之积等于两根之,和，其中,a,b,为,ABC,的两边,A,B,为两内角，试判断这个三角形的,形状,解答,当堂训练,1,在,ABC,中,AC,BC,2,B,60,则角,C,的值为,A.45,B.30,C.75,D.90,答案,解析,1,2,3,6,由正弦定理，得,2,sin,A,6,sin 60,si

9、n,A,2,2,BC,2,6,AC,A,为锐角,A,45,C,75,1,2,3,2,在,ABC,中，若,则,ABC,是,A,直角三角形,B,等边三角形,C,钝角三角形,D,等腰直角三角形,答案,解析,由正弦定理，知,sin,A,cos,A,sin,B,cos,B,sin,C,cos,C,a,cos,A,b,cos,B,c,cos,C,tan,A,tan,B,tan,C,又,A,B,C,0,A,B,C,故三角形为等边三角形,1,2,3,3,在,ABC,中，若,a,b,c,1,3,5,求,的值,2sin,A,sin,B,sin,C,解答,由条件得,a,c,sin,A,sin,C,1,5,sin,A,1,5,sin,C,同理可得,sin,B,3,5,sin,C,2sin,A,sin,B,sin,C,2,1,5,sin,C,3,5,sin,C,sin,C,1,5,规律与方法,1,已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解,的情况可能无解，也可能一解或两解,首先求出另一边的对角的正弦值