2017 2018高中数学 第一章 计数原理 第3课时 组合 新人教A选修2 3

1、目标导航,1,理解组合的概念，会利用组合数公式解决组合问题,2,能够解决组合、排列的综合问题,1,新知识,预习探究,知识点一,组合的定义,从,n,个不同元素中取出,m,m,n,个元素合成一组，叫做从,n,个不同,元素中取出,m,个元素的一个组合,练习,1,下面几个问题是组合问题的有,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某两个乡镇的社会调,查，有多少种不同的选法,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名，有多少种不同的选法,有,4,张电影票，要在,7,人中确定,4,人去观看，有多少种不同的选,法,某人射击,8,枪，命中,4,枪，且命中的,4,枪均为,2,枪连中，不同的结,果有多少种,A,B

2、,C,D,答案,C,知识点二,组合数、组合数公式,1,组合数,从,n,个不同元素中取出,m,m,n,个元素的所有不同组合的个数，叫,做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数用符合,C,m,n,表示,2,组合数公式,C,m,n,A,m,n,A,m,m,n,n,1,n,2,n,m,1,m,C,m,n,n,m,n,m,规律,C,0,n,1,练习,2,若,A,3,n,6C,4,n,则,n,的值是,A,6,B,7,C,8,D,9,答案,B,知识点三,组合数的两个性质,1,性质,1,C,m,n,C,n,m,n,2,性质,2,C,m,n,1,C,m,n,C,m,1,n,练习,3,2C,1 006,1

3、007,的值为,A,1 006,B,1 007,C,2 012,D,2 014,答案,D,2,新视点,名师博客,1,排列组合的解题方法,1,特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问,题，我们可以从这些特殊之处入手，先解决特殊元素或特殊位置，再,去解决其他元素或位置，这种解法叫做特殊优先法,2,科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多,因此要对各种不同情况进行合理分类，确定分类标准，以便有条不紊,地进行解答，避免重复或遗漏现象发生,3,分组,堆,问题的六个模型,有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分,无序等分；无序局部等分,4,常用的方法,插空法：解决一些不相邻问题

4、时，可以先排一些元素然后插入,其余元素,捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列,排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解,题的方法,2,分组、分配问题,组合应用题中分组问题的常见形式及处理方法,常见形,式,处理方法,实例分析,非均匀,不编号,分组,n,个不同元素分成,m,组,每组,元素数目均不相等,且不考虑,各组间的顺序，不管是否分,尽,分法种数为,A,C,m,1,n,C,m,2,n,m,1,C,m,3,n,m,1,m,2,C,m,n,m,m,1,m,2,m,m,1,例如,10,个人分成三组，每,组人数分别为,

5、2,3,5,其分法,种数为,C,2,10,C,3,8,C,5,5,2 520,若从,10,人中选出,6,人分成三组,各组人数分别为,1,2,3,其分,法种数为,C,1,10,C,2,9,C,3,7,12 600,均匀不,编号分,组,将,n,个不同元素分成不编号,的,m,组,假定其中,r,组元素个,数相等,不管是否分尽,其分,法种数为,A,A,r,r,其中,A,为非均,匀不编号分组中分法数,如,果再有,k,组均匀组应再除以,A,k,k,例如,10,人分成三组，各组,人数为,2,4,4,其分法种数为,C,2,10,C,4,8,C,4,4,A,2,2,1 575,若分成六,组，各组人数分别为,1,1

6、,2,2,2,2,其分法种数为,C,1,10,C,1,9,C,2,8,C,2,6,C,2,4,C,2,2,(A,2,2,A,4,4,非均匀,编号分,组,n,个不同元素分组,各组元素,数目均不相等,且考虑各组间,的顺序，其分法种数为,A,A,m,m,例如,10,人分成三组，去参,加不同的劳动,各组人数分别,为,2,3,5,其安排方法有,C,2,10,C,3,8,C,5,5,A,3,3,若从,10,人中选,9,人分成三组，参加不同的劳,动，各组人数分别为,2,3,4,则安排方法种数有,C,2,10,C,3,8,C,4,5,A,3,3,均匀编,号分组,n,个不同元素分成,m,组,其中,r,组元素个数

7、相同且考虑各组,间的顺序，其分法种数为,A,A,m,m,A,r,r,例如,10,人分成三组，参加,三种不同的劳动,各组人数分,别为,2,4,4,分法种数为,C,2,10,C,4,8,C,4,4,A,2,2,A,3,3,3,解答组合应用题的总体思路,1,整体分类：对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要,做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等,于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原,理,2,局部分步：整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要,做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步,的不重复，计算每一类相应的结果时，使用分步乘法

8、计数原理,3,考查顺序：区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无,序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答,4,辩证地看待“元素”与“位置”：排列、组合问题中的元素,与位置没有严格的界定标准，哪些看成元素或位置，随解题者的思维,方式的变化而变化，要视具体情况而定有时“元素选位置”，问题,解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好,5,建立模型：一些具体问题有时需要把它抽象成组合模型，针,对题设中已知条件推广到一般情况来解决，利用类比、化归等数学思,想来解题,3,新课堂,互动探究,考点一,有关组合数的公式及性质的应用,例,1 (1,计算,C,4,10,C,3,7,A,3,3,2,已知,1

9、,C,m,5,1,C,m,6,7,10C,m,7,求,C,m,8,3,证明,m,C,m,n,n,C,m,1,n,1,分析,与组合数有关的计算主要利用组合数公式，合理地选用公,式形式代入进行变形，化简或运算证明,解析,1,原式,C,4,10,A,3,7,10,9,8,7,4,3,2,1,7,6,5,210,210,0,2,原方程可化为,m,5,m,5,m,6,m,6,7,7,m,m,10,7,即,m,5,m,5,m,6,m,5,m,6,5,7,m,7,m,6,m,5,m,10,7,6,5,1,6,m,6,7,m,6,m,60,即,m,2,23,m,42,0,m,2,或,21,而,0,m,5,m,

10、2,C,m,8,C,2,8,28,3,m,C,m,n,m,n,m,n,m,n,n,1,m,1,n,m,n,n,1,m,1,n,m,n,C,m,1,n,1,点评,像排列数公式一样，公式,C,m,n,n,n,1,n,2,n,m,1,m,一般用于计算；而公式,C,m,n,n,m,n,m,及,C,m,n,A,m,n,A,m,m,一般用于证明、解方程,不等式,等,变式探究,1,计算下列各式的值,1)3C,3,8,2C,2,5,2)C,98,100,C,199,200,3)C,3,7,C,4,7,C,5,8,C,6,9,4)C,38,n,3,n,C,3,n,21,n,解析,1)3C,3,8,2C,2,5,

11、3,8,7,6,3,2,1,2,5,4,2,1,148,2)C,98,100,C,199,200,C,2,100,C,1,200,100,99,2,1,200,5 150,3,原式,C,4,8,C,5,8,C,6,9,C,6,10,C,4,10,210,4,0,38,n,3,n,0,3,n,21,n,即,19,2,n,38,0,n,21,2,19,2,n,21,2,n,N,n,10,C,38,n,3,n,C,3,n,21,n,C,28,30,C,30,31,C,2,30,C,1,31,466,考点二,无约束条件的组合问题,例,2,某次足球赛共,12,支球队参加，分三个阶段进行,1,小组赛：经抽

12、签分成甲、乙两组，每组,6,队进行单循环比赛,以积分及净胜球数取前两名,2,半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二,名作主客场交叉淘汰赛,每两队主客场各赛一场,决出胜者,3,决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负,问全部赛程共需比赛多少场,解析,1,小组赛中每组,6,队进行单循环比赛，就是,6,支球队的任,两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从,6,个元素中任取,2,个,元素的组合数，所以小组赛共要比赛,2C,2,6,2,6,5,1,2,30,场,2,半决赛中甲组第一名与乙组第二名,或乙组第一名与甲组第二,名,主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从,2,个元素中任取,2,个元素,

13、的排列数，所以半决赛共要比赛,2A,2,2,2,1,2,4,场,3,决赛只需比赛,1,场，即可决出胜负,所以全部赛程共需比赛,30,4,1,35,场,点评,1,本题在小组赛时是单循环赛，与顺序无关，是组合问,题；半决赛中实行主客场，属排列问题；决赛只有一场，与顺序无,关，是组合问题,2,解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出,元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列,与顺序有关则是排列问题只有当该问题能构成组合模型时，才能运,用组合数公式求出其种数在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时，注意有无重复或遗漏,变式探究,2,现有,10,名教师，其中男教师

14、,6,名，女教师,4,名,1,现要从中选,2,名去参加会议，有多少种不同的选法,2,选出,2,名男教师或,2,名女教师去外地学习的选法有多少种,解析,1,从,10,名教师中选,2,名去参加会议的选法种数，就是从,10,个不同元素中取出,2,个元素的组合数，即,C,2,10,10,9,2,1,45,2,可把问题分两类：第,1,类，选出的,2,名是男教师有,C,2,6,种方法,第,2,类，选出的,2,名是女教师有,C,2,4,种方法，即,C,2,6,C,2,4,21,种,考点三,有限制条件的组合问题,例,3,高二,1,班共有,35,名同学，其中男生,20,名，女生,15,名，今从,中选出,3,名同

15、学参加活动,1,其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种,2,其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种,3,恰有,2,名女生在内，不同的取法有多少种,4,至少有,2,名女生在内，不同的取法有多少种,5,至多有,2,名女生在内，不同的取法有多少种,解析,1,从余下的,34,名学生中选取,2,名，有,C,2,34,561,种,不同的取法有,561,种,2,从,34,名可选学生中选取,3,名，有,C,3,34,种,或者,C,3,35,C,2,34,C,3,34,5 984,种,不同的取法有,5 984,种,3,从,20,名男生中选取,1,名，从,15,名女生中选取,2,名，有,C,1,20,C,2,

16、15,2,100,种,不同的取法有,2 100,种,4,选取,2,名女生有,C,1,20,C,2,15,种，选取,3,名女生有,C,3,15,种，共有选取方,式,N,C,1,20,C,2,15,C,3,15,2 100,455,2 555,种,不同的取法有,2 555,种,5,选取,3,名的总数有,C,3,35,因此选取方式共有,N,C,3,35,C,3,15,6,545,455,6 090,种,不同的取法有,6 090,种,点评,1,对于含有,必须在内,不能在内,恰有,至少,至多,等字眼的问题，应合理使用两个计数原理,2,解答组合应用题的总体思路是,1,整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各

17、类的并集等于全,集即,不漏,任意两类的交集等于空集即,不重,计算结果时使,用分类计数原理,2,局部分步，整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做,到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立,变式探究,3,某医院从,10,名医疗专家中抽调,6,名奔赴灾区救灾,其中这,10,名医疗专家中有,4,名是外科专家问,1,抽调的,6,名专家中恰有,2,名是外科专家的抽调方法有多少种,2,抽调的,6,名专家中至少有,2,名是外科专家的抽调方法有多少,种,3,抽调的,6,名专家中至多有,2,名是外科专家的抽调方法有多少,种,解析,1,分步：首先从,4,名外科专家中任选,2,名，有,C,2,4,种选法,再从除

18、外科专家的,6,人中选取,4,人，有,C,4,6,种选法，所以共有,C,2,4,C,4,6,90,种抽调方法,2,至少”的含义是不低于，有两种解答方法,方法一,直接法,按选取的外科专家的人数分类,选,2,名外科专家，共有,C,2,4,C,4,6,种选法,选,3,名外科专家，共有,C,3,4,C,3,6,种选法,选,4,名外科专家，共有,C,4,4,C,2,6,种选法,根据分类加法计数原理，共有,C,2,4,C,4,6,C,3,4,C,3,6,C,4,4,C,2,6,185,种抽调,方法,方法二,间接法,不考虑是否有外科专家，共有,C,6,10,种选法，考虑,选取,1,名外科专家参加，有,C,1

19、,4,C,5,6,种选法；没有外科专家参加，有,C,6,6,种,选法，所以共有,C,6,10,C,1,4,C,5,6,C,6,6,185,种抽调方法,3,至多,2,名”包括“没有”“有,1,名”“有,2,名”三种情况，分,类解答,没有外科专家参加，有,C,6,6,种选法,有,1,名外科专家参加，有,C,1,4,C,5,6,种选法,有,2,名外科专家参加，有,C,2,4,C,4,6,种选法,所以共有,C,6,6,C,1,4,C,5,6,C,2,4,C,4,6,115,种抽调方法,考点四,组合应用中的分组问题,例,4 6,本不同的书，求按下列要求各有多少种不同的选法,1,分给甲、乙、丙三人，每人两

20、本,2,分为三分，每份两本,解析,1,根据分步乘法计数原理得到,C,2,6,C,2,4,C,2,2,90,种,2,分给甲、乙、丙三人，每人两本有,C,2,6,C,2,4,C,2,2,种方法，这个过程可,以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有,x,种方法；第二步,再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有,A,3,3,种方法根据分步乘法计数,原理可得,C,2,6,C,2,4,C,2,2,x,A,3,3,所以,x,C,2,6,C,2,4,C,2,2,A,3,3,15,因此分为三份，每份两本一共有,15,种方法,点评,1,解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问,题,2,分组问题属于,组合,问题

21、，常见的分组问题有三种,1,完全均匀分组，每组的元素个数均相等,2,部分均匀分组，应注意不要重复，有,n,组均匀，最后必须除以,n,3,完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象,变式探究,4,北京财富全球论坛期间，某高校有,14,名志愿者,参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班,4,人，每人每天最多值,一班，则开幕式当天不同的排班种数为,A,C,12,14,C,4,12,C,4,8,B,C,12,14,A,4,12,A,4,8,C,C,12,14,C,4,12,C,4,8,A,3,3,D,C,12,14,C,4,12,C,4,8,A,3,3,解析,首先从,14,人中选出,12,人共,C,12,

22、14,种，然后将,12,人平均分为,3,组,共,C,4,12,C,4,8,C,4,4,A,3,3,种，然后这两步相乘，得,C,12,14,C,4,12,C,4,8,A,3,3,将三组分配下去共,C,12,14,C,4,12,C,4,8,种故选,A,答案,A,考点五,排列与组合的综合应用,例,5,从,1,到,9,的九个数字中取三个偶数四个奇数试问,1,能组成多少个没有重复数字的七位数,2,上述七位数中三个偶数排在一起的有几个,3)(1,中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几,个,4)(1,中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个,解析,1,分步完成：第一步在,4,个偶数中取,3,个，可有,

23、C,3,4,种情,况；第二步在,5,个奇数中取,4,个，可有,C,4,5,种情况；第三步,3,个偶数,4,个,奇数进行排列，可有,A,7,7,种情况，所以符合题意的七位数有,C,3,4,C,4,5,A,7,7,100 800,个,2,上述七位数中，三个偶数排在一起的有,C,3,4,C,4,5,A,5,5,A,3,3,14,400,个,3,上述七位数中,3,个偶数排在一起,4,个奇数也排在一起的有,C,3,4,C,4,5,A,3,3,A,4,4,A,2,2,5 760,个,4,上述七位数中，偶数都不相邻，可先把,4,个奇数排好，再将,3,个偶数分别插入,5,个空档，共有,C,3,4,C,4,5,A,4,4,A,3,5,28 800,个,点评,解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点,1,一般思路,