2017 2018高中数学第一章统计8最小二乘估计北师大必修31

1、最小二乘估计,预习课本,P54,59,思考并完成以下问题,1,最小二乘法的概念是什么,2,线性回归方程的概念是什么,3,如何计算线性回归方程的系数,a,和,b,新知初探,1,最小二乘法,1,定义：如果有,n,个点,x,1,y,1,x,2,y,2,x,n,y,n,可以用,下面的表达式来刻画这些点与直线,y,a,bx,的接近程度,y,1,a,bx,1,2,y,2,a,bx,2,2,y,n,a,bx,n,2,使得上式达到最小值的直,线,y,a,bx,就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法,2,应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的,图如,果,呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方

2、程,如果,呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行,拟合,散点,散点图,散点图,2,线性回归方程,用,x,表示,x,1,x,2,x,n,n,用,y,表示,y,1,y,2,y,n,n,由最小二乘法可以求得,b,x,1,y,1,x,2,y,2,x,n,y,n,n,x,y,x,2,1,x,2,2,x,2,n,n,x,2,a,_,这样得,到的直线方程,y,a,bx,称为线性回归方程,a,b,是线性回归方,程的,点睛,由,a,y,b,x,可知，回归直线一定经过点,x,y,因此点,x,y,通常称为样本点的中心,系数,y,b,x,小试身手,1,判断正误,正确的打“”，错误的打“,1,用最小二乘法求出

3、的回归系数,b,可能是正的，也可能是,负的,2,用最小二乘法求出的系数可以使回归直线更贴近实际情况,3,若回归系数,b,是负的，则,y,的值随,x,的增大而减小,4,根据最小二乘法求出回归系数，从而可以表示出线性回归方,程，这个方程可以准确表示每一个数据,2,在最小二乘法中，用来刻画各样本点到直线,y,a,bx,距,离”的量是,A,y,i,y,B,y,i,y,2,C,y,i,a,bx,i,D,y,i,a,bx,i,2,解析,选,D,最小二乘法的定义明确给出，用,y,i,a,bx,i,2,来刻画各个样本点与这条直线之间的,距离,即,二者之间的接近程度,用它们的和表示这些点与这条直,线的接近程度,

4、3,线性回归方程,y,a,bx,表示的直线必定过,A,0,0,点,B,x,0,点,C,0,y,点,D,x,y,点,解析,选,D,回归系数,a,b,有公式,a,y,b,x,即,y,a,b,x,所以直线,y,a,bx,必定过,x,y,点,4,在一次实验中,测得,x,y,的四组值为,1,2,2,3,3,4,4,5,则,y,与,x,之间的线性回归方程为,A,y,x,1,B,y,x,2,C,y,2,x,1,D,y,x,1,解析,选,A,法一,易知在直角坐标系中这四个点都在直线,y,x,1,上,法二,因为,x,1,2,3,4,4,2.5,y,3.5,而回归直线必过,点,x,y,所以把点,2.5,3.5,代

5、入各个选项检验可知选,A,求线性回归方程,典例,一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所,花费的时间为此进行了,10,次试验，测得数据如下,零件数,个,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,加工时间,分,62,68,75,81,89,95,102,108,115,122,请判断其是否具有线性相关关系，如果具有线性相,关关系，求线性回归方程,解,在直角坐标系中画出数据的散点图，如图所示,观察判断出散点在一条直线附近，故具有线性相关关,系由测得的数据列表如下,i,x,i,y,i,x,x,i,y,i,1,10,62,100,620,2,20,68,400,1 360,3,

6、30,75,900,2 250,4,40,81,1 600,3 240,5,50,89,2 500,4 450,6,60,95,3 600,5 700,7,70,102,4 900,7 140,8,80,108,6 400,8 640,9,90,115,8 100,10 350,10,100,122,10 000,12 200,合计,550,917,38 500,55 950,平均,55,91.7,3 850,5 595,b,i,1,n,x,i,y,i,n,x,y,i,1,n,x,2,i,n,x,2,55 950,10,55,91.7,38 500,10,55,2,0.668,a,y,b,x,

7、91.7,0.668,55,54.96,所以线性回归方程为,y,54.96,0.668,x,求线性回归方程的技巧和注意点,1,求解线性回归方程时，需要进行复杂的计算，采用列,表法会使计算进行得更有条理表格可以参考如下方法设计,i,x,i,y,i,x,x,i,y,i,1,2,3,n,合计,平均,将需要计算的量列在表格中，再按照公式求解线性回归,方程即可,2,若已知变量,x,y,成线性相关关系，无需检验相关性即,可求解线性回归方程，否则需要根据散点图判断变量,x,y,之,间是否存在线性相关关系，再求解线性回归方程,活学活用,某化工厂为预测某产品的回收率,y,需要研究它和原料有效成分,含量之间的相关

8、关系现取了,8,对观测值，计算得,i,1,8,x,i,52,i,1,8,y,i,228,i,1,8,x,2,i,478,i,1,8,x,i,y,i,1 849,则,y,对,x,的线性回归方程是,A,y,11.47,2.62,x,B,y,11.47,2.62,x,C,y,2.62,11.47,x,D,y,11.47,2.62,x,解析,选,A,利用题目中的已知条件可以求出,x,6.5,y,28.5,然,后,利,用,线,性,回,归,方,程,的,计,算,公,式,得,b,i,1,8,x,i,y,i,8,x,y,i,1,8,x,2,i,8,x,2,1 849,8,6.5,28.5,478,8,6.5,2

9、,2.62,a,y,b,x,11.47,因此线性回归,方程为,y,11.47,2.62,x,线性回归方程的应用,典例,下表是某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中,记录的产量,x,单位：吨,与相应的生产能耗,y,单位：吨标准煤,的,几组对照数据,1,请画出上表数据的散点图,2,请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出,y,关于,x,的线,性回归方程,y,a,bx,x,3,4,5,6,y,2.5,3,4,4.5,3,已知该厂技术改进前,100,吨甲产品的生产能耗为,90,吨标准,煤,试根据,2,求出的线性回归方程,预测该厂技术改进后生产,100,吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低多少吨标准煤,解,

10、1,散点图如图所示，显然,y,与,x,是线性相关的,2,计算可得,x,4.5,y,3.5,3,2.5,4,3,5,4,6,4.5,66.5,3,2,4,2,5,2,6,2,86,代入公式得,b,66.5,4,4.5,3.5,86,4,4.5,2,0.7,a,3.5,0.7,4.5,0.35,所以线性回归方程为,y,0.35,0.7,x,3,当,x,100,时,y,0.35,0.7,x,70.35,90,70.35,19.65,所以预测该厂技术改进后生产,100,吨甲产品的生,产能耗比技术改进前降低,19.65,吨标准煤,应用线性回归方程解题的常见思路,1,利用回归直线过样本点的中心,可以求参数

11、问题,参数,可涉及回归方程或样本点数据,2,利用回归方程中系数,b,的意义，分析实际问题,3,利用回归直线进行预测时需关注两点,所得的值只是,一个估计值，不是精确值；变量,x,与,y,成线性相关关系时,线性回归方程才有意义,否则即使求出线性回归方程也是毫无,意义的，用其估计和预测的量也是不可信的,活学活用,1,根据如下样本数据得到的回归方程为,y,bx,a,则,x,3,4,5,6,7,8,y,4.0,2.5,0.5,0.5,2.0,3.0,A,a,0,b,0,B,a,0,b,0,C,a,0,b,0,D,a,0,b,0,解析,选,B,画出散点图，如图所示,观察图像可知，回归直线,y,bx,a,的

12、,斜率,b,0,截距,a,0,故,a,0,b,0,2,某产品的广告费用,x,与销售额,y,的统计数据如下表,广告费用,x,万元,4,2,3,5,销售额,y,万元,49,26,39,54,根据上表可得回归方程,y,bx,a,中的,b,为,9.4,据此模型预,报广告费用为,6,万元时销售额为,A,63.6,万元,B,65.5,万元,C,67.7,万元,D,72.0,万元,解析,选,B,样本点的中心是,3.5,42,则,a,y,b,x,42,9.4,3.5,9.1,所以线性回归方程是,y,9.4,x,9.1,把,x,6,代入得,y,65.5,层级一,学业水平达标,1,已知,x,与,y,之间的一组数据

13、,x,0,1,2,3,y,1,3,5,7,则,y,与,x,的线性回归方程,y,bx,a,必过点,A,2,2,B,1.5,0,C,1,2,D,1.5,4,解析,选,D,线性回归方程,y,bx,a,必过样本中心,x,y,x,1,2,3,4,1.5,y,1,3,5,7,4,4,2,有人收集了春节期间平均气温,x,单位,与某取暖商品的销,售额,y,单位：万元,的有关数据如下表,根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额,y,与平均气,温,x,之间的线性回归方程,y,a,bx,的系数,b,2.4,则预测,平均气温为,8,时，该商品的销售额为,A,34.6,万元,B,35.6,万元,C,36.6,万元,D

14、,37.6,万元,平均气温,x,2,3,5,6,销售额,y,万元,20,23,27,30,解,析,选,A,由,已,知,得,x,2,3,5,6,4,4,y,20,23,27,30,4,25,所以,a,y,b,x,25,2.4,4,15.4,即线性回归方程为,y,15.4,2.4,x,当,x,8,时,y,34.6,3,一位母亲记录了儿子,3,9,岁的身高，由此确立的身高,y,单,位,cm,关于年龄,x,单位：岁,的线性回归方程为,y,7.19,x,73.93,则这个孩子,10,岁时，下列叙述正确的是,A,身高在,145.83 cm,左右,B,身高在,145.83 cm,以上,C,身高在,145.83 cm,以下,D,身高一定是,145.83 cm,解析,选,A,当,x,10,时,y,145.83,利用线性回归方程,预测时，估计值会存在偏差,4,下列说法正确的是,_,把正确说法的序号全填上,已知线性回归方程为,y,0.5,x,2,则当,x,2,时，变量,y,的,值一定为,3,已知一个线性回归方程为,y,1.5,x,45,x,i,1,5,7,13,19