2017 2018高二数学上学期期末复习备考讲练 专题04 圆与方程 文

1、讲圆与方程,一、学习目标,1,通过复习帮助同学们系统掌握本章知识,2,通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中,的应用,二、知识梳理,1,圆的定义,平面内到一定点的距离等于定长,的点,的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径,2,圆的方程,1,标准方程,2,2,2,r,b,y,a,x,圆心,b,a,半径为,r,2,一般方程,0,2,2,F,Ey,Dx,y,x,当,0,4,2,2,F,E,D,时,方,程,表,示,圆,此,时,圆,心,为,2,2,E,D,半,径,为,F,E,D,r,4,2,1,2,2,当,0,4,2,2,F,E,D,时，表示一个点,当,0,4,2,2,F,E,D,时，方程不表示,任何图

2、形,3,求圆方程的方法,一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个,圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程,需求出,a,b,r,若利用一般方程，需要求出,D,E,F,另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂,线必经过原点，以此来确定圆心的位置,3,直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情,况，基本上由下列两种方法判断,1,设直线,0,C,By,Ax,l,圆,2,2,2,r,b,y,a,x,C,圆心,b,a,C,到,l,的,距,离,为,2,2,B,A,C,Bb,Aa,d,则,有,相离,与,C,l,r,d,相切,与,C,l,r,d,相交,与,C,l,r,d,2,设直线,0,C,

3、By,Ax,l,圆,2,2,2,r,b,y,a,x,C,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为,则有,相离,与,C,l,0,相切,与,C,l,0,相交,与,C,l,0,注：如果圆心的位置在原点，可使用公式,2,0,0,r,yy,xx,去解直线与圆相切的问,题，其中,0,0,y,x,表示切点坐标,r,表示半径,3,过圆上一点的切线方程,圆,x,2,y,2,r,2,圆上一点为,x,0,y,0,则过此点的切线方程为,2,0,0,r,yy,xx,课,本命题,圆,x-a,2,(y-b,2,r,2,圆,上一,点为,x,0,y,0,则,过此,点的,切线,方程为,x,0,a)(x-a)+

4、(y,0,b)(y-b),r,2,课本命题的推广,4,圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差,与圆心距,d,之间的大小比较来确定,设圆,2,2,1,2,1,1,r,b,y,a,x,C,2,2,2,2,2,2,R,b,y,a,x,C,两圆的位置关系常通过两圆半径的和,差,与圆心距,d,之间的大小比较来确,定,当,r,R,d,时两圆,外离,此时有公切线,四,条,当,r,R,d,时两圆,外切,连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条,当,r,R,d,r,R,时两圆,相交,连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线,当,r,R,d,时，两圆,内切,连心线经过切点，只有一条公切线,当,r,R,d,时，两圆,

5、内含,当,0,d,时，为同心圆,5,空间直角坐标系,1,定义：如图,OBCD,D,A,B,C,是单位正方体,以,A,为原点,分别以,OD,O,A,OB,的方向为正方向，建立三条数轴,x,轴,y,轴,z,轴,这时建立了一个空间直角坐标系,Oxyz,1,O,叫做坐标原点,2,x,轴,y,轴,z,轴叫做坐标轴,3,过每两个坐标轴的,平面叫做坐标面,2,右手表示法,令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置,大拇指指向为,x,轴正方向,食指指向为,y,轴正向,中指指向则为,z,轴正向,这,样也可以决定三轴间的相位置,3,任意点坐标表示：空间一点,M,的坐标可以用有序实数组,x,y,z,来表示，

6、有,序实数组,x,y,z,叫做点,M,在此空间直角坐标系中的坐标，记作,M,x,y,z,x,叫做点,M,的横坐标,y,叫做点,M,的纵坐标,z,叫做点,M,的竖坐标,4,空间两点距离坐标公式,2,1,2,2,1,2,2,1,2,z,z,y,y,x,x,d,三、典型例题,例,1,求圆心在直线,3,x,4,y,1,0,上，且经过两圆,x,2,y,2,x,y,2,0,与,x,2,y,2,5,的交点的圆的方程,解析,法一：设所求圆为,x,2,y,2,x,y,2,x,2,y,2,5,0,化,为,一,般,式,得,x,2,y,2,1,1,x,1,1,y,2,5,1,0,故,圆,心,坐,标,为,1,2,1,1

7、,2,1,代入直线,3,x,4,y,1,0,得,3,2,再把,代入所设方程,得,x,2,y,2,2,x,2,y,11,0,故所求圆的方程为,x,2,y,2,2,x,2,y,11,0,法二：解方程组,x,2,y,2,x,y,2,0,x,2,y,2,5,得两圆的交点为,A,1,2,和,B,2,1,设所求圆的方程为,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,A,B,在,圆,上,且,圆,心,D,2,E,2,在,直,线,3,x,4,y,1,0,上,5,D,2,E,F,0,5,2,D,E,F,0,3,D,2,4,E,2,1,0,解得,D,2,E,2,F,11,所求圆的方程是,x,2,y,2,2,x,2,y,11

8、,0,方法规律】用待定系数法设圆的方程（圆系方程或一般方程或标准方程,根,据条件求系数,变式练习,1,圆心在直线,5,x,3,y,8,上，且圆与两,坐标轴均相切，求此圆的标准方程,答案,x,4,2,y,4,2,16,或,x,1,2,y,1,2,1,解析,设所求圆的标准方程为,x,x,0,2,y,y,0,2,r,2,r,0,因为圆与两,坐标轴均相切，故圆心坐标满足,x,0,y,0,0,或,x,0,y,0,0,又圆心在直线,5,x,3,y,8,上,所以,5,x,0,3,y,0,8,由,x,0,y,0,0,5,x,0,3,y,0,8,得,x,0,4,y,0,4,由,x,0,y,0,0,5,x,0,3

9、,y,0,8,得,x,0,1,y,0,1,所以圆心坐标为,4,4,或,1,1,相应的半径为,r,4,或,r,1,故所求圆的标,准方程为,x,4,2,y,4,2,16,或,x,1,2,y,1,2,1,例,2,已知圆,M,x,1,2,y,1,2,4,直线,l,过点,P,2,3,且与圆,M,交于,A,B,两,点，且,AB,2,3,求直线,l,的方程,解析,1,当直线,l,存在斜率时，设直线,l,的方程为,y,3,k,x,2,即,kx,y,3,2,k,0,示意图如图，作,MC,AB,于,C,在,Rt,MBC,中,BC,1,2,AB,3,MB,2,故,MC,MB,2,BC,2,1,由点到直线的距离公式得

10、,k,1,3,2,k,k,2,1,1,解得,k,3,4,故直线,l,的方程为,3,x,4,y,6,0,2,当直线,l,的斜率不存在时,其方程为,x,2,且,AB,2,3,所以符合题意,综上所述，直线,l,的方程为,3,x,4,y,6,0,或,x,2,方法规律】解决有关圆的问题时，注意几何意义的运用,变式练习,2,已知圆,C,与圆,x,2,y,2,2,x,0,相外切，并且与直线,x,3,y,0,相切,于点,Q,3,3,求圆,C,的方程,答案,x,4,2,y,2,4,或,x,2,y,4,3,2,36,解析,设所求圆,C,的方程为,x,a,2,y,b,2,r,2,圆心,C,a,b,与,Q,3,3,的

11、连线垂直于直线,x,3,y,0,且斜率为,3,由题意得,a,1,2,b,2,r,1,a,3,b,2,r,b,3,a,3,3,解得,a,4,b,0,r,2,或,a,0,b,4,3,r,6,所求圆的方程为,x,4,2,y,2,4,或,x,2,y,4,3,2,36,例,3,如图，圆,O,1,与圆,O,2,的半径都是,1,O,1,O,2,4,过动点,P,分别作圆,O,1,圆,O,2,的切线,PM,PN,M,N,分别为切点,使得,PM,2,PN,试建立适当的坐,标系，并求动点,P,的轨迹方程,解析,如图，以,O,1,O,2,所在直线为,x,轴，线段,O,1,O,2,的垂直平分线为,y,轴，建立直角坐标系

12、，则,O,1,2,0,O,2,2,0,设动点,P,的坐标为,x,y,在,Rt,PMO,1,中,PM,2,PO,1,2,1,在,Rt,PNO,2,中,PN,2,PO,2,2,1,又因为,PM,2,PN,所以,PM,2,2,PN,2,即,PO,1,2,1,2(,PO,2,2,1,即,PO,1,2,1,2,PO,2,2,所以,x,2,2,y,2,1,2,x,2,2,y,2,整理得,x,2,y,2,12,x,3,0,即为所求点,P,的轨迹方程,变式练习,3,等腰三角形的顶点,是,A,4,2,底边一个端点是,B,3,5,求另一个端点,C,的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么,解析,设另一端点,C,的坐标为,

13、x,y,依题意，得,AC,AB,由两点间距离公式，得,x,4,2,y,2,2,4,3,2,2,5,2,整理得,x,4,2,y,2,2,10,这是以点,A,4,2,为圆心,以,10,为半径的圆，如图所示，又因为,A,B,C,为三角,形的三个顶点,所以,A,B,C,三点不共线即点,B,C,不能重合且,B,C,不能为圆,A,的一直径的,两个端点,因为点,B,C,不能重合，所以点,C,不能为,3,5,又因为点,B,C,不能为一直径的两个端点,所以,x,3,2,4,且,y,5,2,2,即点,C,不能,为,5,1,故端点,C,的轨迹方程是,x,4,2,y,2,2,10,除去点,3,5,和,5,1,综上，它

14、的轨迹是以点,A,4,2,为圆心,10,为半径的圆，但除去,3,5,和,5,1,两点,例,4,已知实数,x,y,满足方程,x,2,y,2,4x+1=0,求,1,的最大值和最小值,2,y-x,的最大值和最小值,3)x,2,y,2,的最大值和最小值,y,x,解析】原方程可化为,x-2,2,y,2,3,表示以,2,0,为圆心,为半径的圆,1,的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设,则,3,y,x,y,k,x,y,kx,当直线,y=kx,与圆相切时,斜率取最大值和最小值,此时,解得,所以,的最大值是,最小值是,2)y-x,可看作是直线,y=x+b,在,y,轴上的截距,当直线,y=x+b,与圆相切

15、时,纵截距取得最大值和最小值,此时,解,得,所以,y-x,的最大值是,最小值是,2,2,0,3,1,k,k,3,k,y,x,3,3,2,0,3,2,b,2,6,b,2,6,2,6,3) x,2,y,2,表示圆上的一点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心的连线与圆的两,个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为,2,所以,x,2,y,2,的最大值是,x,2,y,2,的最小值是,2,2,2,0,0,0,7,4,3,7,4,3,方法规律】求,y-x,x,2,y,2,的最值，联想其,几何意义,y,x,变式练习,4,若实数,x,y,满足,x,2,y,2,8x,6y,16,0,求,x,

16、y,的最小值,答案,3,2,1,解析,原方程化为,x,4,2,y,3,2,9,设,x,y,b,则,y,x,b,可见,x,y,的最小值就是过圆,x,4,2,y,3,2,9,上的点作斜率为,1,的平行线中,纵截距,b,的最小值，此时，直线与圆相切,由点到直线的距离公式得,4,3,b,2,3,解得,b,3,2,1,或,b,3,2,1,所以,x,y,的最小值为,3,2,1,四、课堂练习,1,圆,2,2,2,1,x,y,y,的半径为,A,1,B,2,C,2,D,4,答案,B,解析,由圆,2,2,2,1,x,y,y,通过配方可得,2,2,1,2,x,y,所以圆的半径为,2,故选,B,答案,B,解,析,圆,

17、2,2,1,x,y,的,圆,心,0,0,1,r,圆,心,到,直,线,的,距,离,0,0,1,2,1,2,2,d,所以直线与圆相交但不过圆心。故选,B,3,以原点,O,为圆心且截直线,3x,4y,15,0,所得弦长,为,8,的圆的方程是,_,2,直线,1,y,x,与圆,2,2,1,x,y,的位置关系为,A,相切,B,相交但不过圆心,C,直线过圆心,D,相离,4,一直线过点,3,3,2,P,被圆,2,2,25,x,y,截得的弦长为,8,求此弦所在的直线方,程,答案,1,0,y,x,2,0,2,2,y,x,解析,1,当斜率,k,不存在时,过点,P,的直线方程为,x=-3,代入,2,2,25,x,y,

18、得,y,1,4,y,2,-4,弦长为,y,1,y,2,=8,符合题意,答案,x,2,y,2,25,解析,原点,O,到直线的距离,d,15,3,2,4,2,3,设圆的半径为,r,r,2,3,2,4,2,25,圆的方程是,x,2,y,2,25,所以，此直线方程为,3,4,3,2,3,x,y,即,3x+4y+15=0,所以所求直线方程为,x=-3,或,3x+4y+15=0,2,当斜率,k,存在时,设所求方程为,0,2,3,3,3,2,3,k,y,kx,x,k,y,即,由已知,弦心距,3,1,2,3,3,0,0,3,4,5,2,2,2,k,k,k,OM,解得,4,3,k,五、课后练习,1,圆心在,y,

19、轴上，半径为,1,且过点,1,2,的圆的方程为,A,2,2,2,1,x,y,B,2,2,2,1,x,y,C,2,2,1,3,1,x,y,D,2,2,3,1,x,y,答案,A,解析】根据圆的标准方程，因为圆心在,y,轴上，排除,C,又经过点,2,1,代入,剩余选项得只有,A,正确,另解,设圆的方程为,1,2,2,a,y,x,将点代入得,2,a,所以方程为,2,2,2,1,x,y,故选,A,2,经过圆,x,2,y,2,10,上一点,M,2,6,的切线方程是,A,x,6,y,10,0,B,6,x,2,y,10,0,C,x,6,y,10,0,D,2,x,6,y,10,0,答案,D,解析,点,M,2,6

20、,在圆,x,2,y,2,10,上,k,OM,6,2,过点,M,的切线的斜,率为,k,6,3,故切线方程为,y,6,6,3,x,2,即,2,x,6,y,10,0,故选,D,3,过点,2,1,的直线中,被圆,x,2,y,2,2,x,4,y,0,截得的最长弦所在的直线方程为,A,3,x,y,5,0,B,3,x,y,7,0,C,x,3,y,5,0,D,x,3,y,1,0,答案,A,解析,依题意知所求直线通过圆心,1,2,由直线的两点式方程，得,y,2,1,2,x,1,2,1,即,3,x,y,5,0,故选,A,4,已知圆,C,1,x,2,2,y,2,2,2,圆,C,2,与圆,C,1,关于直线,x,y,1

21、,0,对称,则,圆,C,2,的方程为,A,x,3,2,y,3,2,2,B,x,1,2,y,1,2,2,C,x,2,2,y,2,2,2,D,x,3,2,y,3,2,2,答案,D,解,析,设,点,2,2,关,于,直,线,x,y,1,0,的,对,称,点,为,Q,m,n,则,n,2,m,2,1,1,m,2,2,n,2,2,1,0,解得,m,3,n,3,所以圆,C,2,的圆心坐标为,3,3,所以圆,C,2,的方程为,x,3,2,y,3,2,2,故选,D,5,已,知圆,m,y,x,2,2,与,圆,0,11,8,6,2,2,y,x,y,x,相,内切,则实,数,m,的,值,为,答案,1,或,121,解析,圆,m,y,x,2,2,的圆心为,0,0,半径为,m,圆,0,11,8,6,2,2,y,x,y,x,的圆心为,3,4,半径为,6,由两圆外切可知,2,2,3,4,6,1,m,m,或,121,m,6,若,x,y,R,且,x,1,y,2,则,y,2,x,1,的取值范围是,_,答案,3,4,3,解析,x,1,y,2,x,2,y,2,1,x,0,此方程表示半圆，如图,设,P,x,y,是,半圆上的点，则,y,2,x,1,表示过点,P,x,y,Q,1,2,两点直