期权定价公式及其应用课件

1、1. Black-Scholes公式 经典的Black-Scholes期权定价公式是 对于欧式股票期权给出的。其公式为,其中T是到期时间，S是当前股价， 是作为当前股价和到期时间的函 数的欧式买 入期权的价格,第九章 期权定价公式及其应用,一、引言,第一节Black-Scholes期权定价公式,期权定价公式及其应用,K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率， 称为股价的波动率volatility ,这是一个需要测算的参数,称为累积正态分布函数，定义为,期权定价公式及其应用,图1 期权价格曲线随到期时间T的变化,期权定价公式及其应用,Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的

2、 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。 例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉 及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实 际上都是近似等号,期权定价公式及其应用,把这些值代入公式，得到,利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的 近似值，买入期权的价格是3.3749，即,更精确的计算可得,期权定价公式及其应用,2. 金融资产的定价问题,金融资产的定价问题(asset valuation)是现代财务 金融理论的一个基本问题,对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具， 其价格都是通过净现值方法来确定的,对于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应的风险溢价以及未

3、来的现金流? 这都是较为难解决的问题,期权定价公式及其应用,3. Black-Scholes公式发展过程,1) 巴列切尔公式 ( Bachelier 1900,n是标准正态分布的密度函数,法国 数学家 Bachelier Louis,在其博士论文 The Theory of Speculation中首次给出了欧式买 权的定价公式,期权定价公式及其应用,但他在建立模型时有3个假设与现实不符。 第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得 股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。 第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大 于标的股票的价值，这显然也是不可能的。 第三，假设股票的

4、期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况,期权定价公式及其应用,2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961,在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行 了长期的研究。 1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布” 的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性,期权定价公式及其应用,是股票价格的平均增长率,A是对应的风险厌恶程度,其中,期权定价公式及其应用,3) 博内斯 ( Boness, 1964,其中,1964年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权 定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平 的差异,期权定价公式及

5、其应用,4) 塞缪尔森 (Samuelson, 1965,其中,是期权价格的平均增长率,1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述 成果统一在一个模型中,期权定价公式及其应用,在1973年Black和Scholes提出BlackScholes期权 定价模型,我们可以看到，所有这些公式都与后来的Black-Scholes公式有许多相似的地方,1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把期 权价格作为标的股票价格的函数的思想,期权定价公式及其应用,20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问 题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一 个由标的股票和无风险债券

6、的适当组合(买入适当数量的 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征,Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的 随机偏微分方程，即所谓的BS方程,从而得出了期权定价模型的解析解,这就是BS模型,期权定价公式及其应用,Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的 和开创性的贡献,他几乎在与Black和Scholes同一时间,得 到了期权定价模型及其他一些重要的成果,1976年，Merton把BS期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票

7、连续支付股利 的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为Merton模型,另外Cox，Ross和Rubinstein等人还提出了二项式期权定 价模型。他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导 B-S模型提供一种比较简单和直观的方法。 但是,随着研究的不断深入，二项式模型不再是仅仅作为 解释B-S模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期 权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本 手段,期权定价公式及其应用,二、Black-Scholes期权定价公式,一）基本假设： 1. 股票价格满足的随机微分方程中,为常数; 2. 股票市场允许卖空; 3. 没有交易费用或税收; 4

8、. 所有证券都是无限可分的; 5. 证券在有效期内没有红利支付; 6. 不存在无风险套利机会; 7. 交易是连续的; 8. 无风险利率为常数,期权定价公式及其应用,二) 股票价格的轨道,在通常情况下，假设股票价格St满足下列随机微分方程,为概率空间,上的Brownian运动,1,期权定价公式及其应用,三) 期权套期保值,寻找期权定价公式（函数）的主要思想： 构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证 券组合，所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制,命题 1 设,函数 关于t一阶连续偏导数,关于x二阶连续有界偏 导数,且满足终值条件,为期权现价格(t时刻的价格,期权定价公式及其应用,则

9、 是下列偏微分方程的解,为要套期保值此期权,投资者必须卖空,股此股票,7,期权定价公式及其应用,下面求复制期权的证券组合 期权价格的分解,由此可知证券组合（portfolio,是自融资证券组合,期权定价公式及其应用,四) 方程（7）解的概率表示,命题 2 设,是下列随机微分方程的解,其中,是定义在,上的P-Brownian运动,又设,是方程（7）式具有有界偏导数的解,则Feynman-Kac公式成立,期权定价公式及其应用,五) Black-Scholes 公式,定理 1 股票价格设所满足的方程（1）中的系数均为常数, 则期权价格由下式给出,期权定价公式及其应用,证明,a) 由于,所满足的方程(

10、1)中的系数为常数,由条件期望性质可得a)的结果,对看涨期权（Call option）由于,1,2,3,期权定价公式及其应用,注 Black-Scholes公式不仅告诉我们Call option的 价格,且以证券组合的形式给出,债券的套期保值证券组合或者说复制Call option的 证券组合,注 设Call option和Put option的价格分别为,和,则有,期权定价公式及其应用,第二节 期权价值的敏感性因素分析,影响期权价值的因素一共有五个， 即标的资产市场价格St、执行价格X、无风险利率r、 距离到期日时间T-t和标的资产价格的波动率,一、 标的资产价格变化对期权价值的一阶影响,通

11、常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动 的敏感性,期权定价公式及其应用,从而 可以近似地表示为,期权组合而言，其Delta值为,期权定价公式及其应用,二、 标的资产价格对期权价值的二阶影响,Gamma指的是期权Delta对于股票价格的一阶偏导数,也就 是期权价值对于股票价格的二阶偏导数。买权Gamma的计 算公式为,另一方面，由卖权Gamma的计算公式，我们可以知道 卖权的Gamma值等于买权的Gamma值，即,期权定价公式及其应用,Gamma具有非负性。也就是说,无论对于买权还是卖权， 在其他因素不变时,其Delta值都随着股票价格的上升而上 升，随着股票价格的下降而下降,Gam

12、ma与st的关系。当期权处于平价状态附近（也就 是在附近），其Gamma相对比较大；当期权处于较深的 亏价或盈价状态时,其Gamma接近于零,Gamma与时间变量T-t的关系。如果期权处于平价状 态,在其他因素不变的情况下,其Gamma值随着到期日的 临近而变大,期权定价公式及其应用,三、 无风险利率对期权价值的影响,买权价格对无风险利率变化的敏感度由Rho值来衡量， 其公式为,期权定价公式及其应用,由上面的计算公式，可得到Rho的如下特点,Rhoc一般大于零，而Rhop一般小于零。只有在到 （T=t），Rhoc和RhoP才会等于零,相对于影响期权价值的其他因素而言，r的影响要 小得多,因为R

13、ho的绝对值与T-t成正比，因此对于距到期日时间较长的期权，r对于其价值的影响不容忽视,期权定价公式及其应用,四、 标的资产价格波动率对期权价值的影响,方差或标准差是布莱克-斯科尔斯模型中的重要变量,也称 波动率，是股票连续计息收益率的标准差，它也是公式中 唯一不可直接观测的变量买权价格对很小的波动率变化的 反映被称为Vega，即,由买权价值与卖权价值可知卖权Vega与买权Vega完全相同,当期权处于平价状态时，其Vega值较大； 当期权处于较深的盈价或亏价状态时， 相应的Vega值较小。 因此，期权Vega随变化的曲线是一个倒U形,期权定价公式及其应用,五、到期时间长短对期权价值的影响,由于

14、到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成 期权的价格下降。 时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为,始终是一个小于零的数,则有可能大于零,期权定价公式及其应用,第三节 期权套期保值的基本原理,一、有关期权套期保值的一个例子,综上所述,甲所采取的上述套期策略具有以下两个特点： 第一是自融资性(selffinancing)，即套期所需的资 金只需期初一次性投人,此后，在套期的整个过程中不需 要增加新的外部融资。或者说，套期策略只需要期初投入， 不需要维持成本,第二是精确复制性(replicating),即套期策略能够精 确地复制受险资产的收益和风险特征，从而将面对的风险 完全抵

15、消,期权定价公式及其应用,套期策略所具有的这两个特点具有十分重要的意义。 首先，自融资性说明套期策略的成本可以在事先确定， 即为期初所需的投入。 其次，精确复制性说明套期策略组合应当与受险资产 具有相同的价值，这是由无套利定价原则所决定的。 最后，既然风险已经完全抵消，甲所要求的报酬率就 应该是无风险报酬率,期权定价公式及其应用,二、 期权套期保值的基本原理,考虑一个由m种期权,组成的投资组合，vi,i=1,2,m表示第i种资产的价格, 该投资组合的价值V可以表示为,其中,是组合中第j种期权的权重,期权套期保值的基本思想是构造一个头寸,使其风险 暴露与原组合的风险暴露相反,从而部分或者全部对冲

16、掉 风险。如果所构造的头寸,其风险性质与原组合的风险性 质呈完全相反的状态，则原组合的风险可以被全部消除。 这称为完全对冲,期权定价公式及其应用,在构造对冲时，就是通过选择合适的nj,使得当风险因素 变动时，组合价值V能够保持不变。对于一阶风险，就是 选择nj，使得,这样，当x发生微小变化x时，组合的价值变化为,这里，风险因素可以是标的股票价格的变化、无风险利 率的变化、时间的变化或者是波动率的变化,期权定价公式及其应用,第四节 连续调整的期权套期策略,一、 Delta套期（Delta中性组合,通过适当地调整不同期权及其标的资产的比例， 我们可以将风险暴露程度降低到所愿意的任何程度， 甚至可以

17、将该资产组合对于标的资产价格变动的风险 降低到零。这样的一个资产组合,我们称之为“Delta 中性组合,我们可以用公式来表示上述这一概念,假设构造这样一个投资组合：做空一个买权，其价格为 Ct，Delta值为N(d1)；同时买入数量为N(d1)的标的资产， 其价格为St。不难证明，该组合为一个Delta中性买权组 合。事实上，这个组合当前的价值为,期权定价公式及其应用,显然，V关于St的偏导数为0，即该组合是一个Delta中性 组合，组合的价值不受St变化的影响,更一般地，对于任意一个资产组合而言，总能通过适当地 选择n1,n2，使得整个组合的Deltay等于0，也就是,很容易就可以解得,期权

18、定价公式及其应用,二、 Delta-Gamma套期策略,Delta-Gamma套期策略是Delta套期策略的推广, 它指的是构造一个Delta和Gamma值都为0的组合, 即通过构造一个Delta-Gamma中性的组合，从根 本上回避价格风险,构成了以下组合,关于St求一、二阶偏导数,期权定价公式及其应用,投资者只要根据计算出来的n2和n3的值买卖相应的资产 就可以完全回避手中资产的价格风险,期权定价公式及其应用,三、Delta-Gamma-Vega套期策略,如果投资者不愿意承担波动率的变化对套期结果的 影响,可以在Delta-Gamma中性组合的基础上,构造一 个Delta-Gamma-Vega中性组合,我们需要引进第三种 期权的交易，记该期权的价格为4，交易数量为n4,新的组合为,对上式两端分别