16-1圆的概念及性质.讲义学生版(2

1、圆的概念和性质中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求垂径定理会在相应的图中确定垂径定理的条 件和结论能用垂径定理解决有关问题:|_例题精讲一、垂径定理【例1】 如果两条弦相等，那么（)A 这两条弦所对的弧相等B 这两条弦所对的圆心角相等C 这两条弦的弦心距相等D 以上答案都不对【巩固】下列判断中正确的是（）A 平分弦的直线垂直于弦B 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例2】 如图，L O的直径CD过弦EF的中点G，/EOD =40，则/DCF等于（）A 80B 50C 40D . 20D【巩固】如图， ABC内接于L

2、 O，点D是CA延长线上一点，若.BOC =120，则.BAD等于（）A. 30B. 60C. 75D. 90如图，AB是O O的直径，长为（）a 3A . - cmB .3cm2C . 2 . 3cmD .9cm【例3】B弦CD丄AB于E , ZCDB =30 , O的半径为J3 cm，则弦CD的【巩固】如图， OO是.ABC的外接圆，OD_AB于点D，交OO于点E , . C =60，如果OO的半径为 2，则结论错误的是（）A . AD = DB B. AE =EBC. OD =1D. AB = . 3【例4】如图，两个同心圆的半径分别为A. 4cmB . 5cmC . 6cmD. 8cm

3、3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点 C,则AB的长为（）【巩固】如图，O P内含于O O , O O的弦AB切O P于点C ,且AB / OP .若阴影部分的面积为 9-，则 弦AB的长为（）A . 3B . 4C . 6D . 9【例5】 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C , D两点，试证明:AC = BD .OCDB【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、么，大圆半径与小圆半径之比是 .D两点，AB=4 ,CD=2 , AB的弦心距等于1,那【例6】 在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是【巩固】O中，弦AB的长为A.3cmB . 4 c m6 cm,圆心O到AB的

4、距离为4cm，则L O的半径长为（）C.5cmD . 6 c m【巩固】若OO中等于120的劣弧所对的弦长为1/3，则OO的半径是【例7】 如图，已知OO的半径是5，点A到圆心0的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度.【巩固】如图，O 0的弦AB=6, M是AB上任意一点，且0M最小值为4，则O 0的半径为（C. 3【例8】如图，L 0是等边三角形ABC的外接圆，0的半径为2,则等边三角形 ABC的边长为（C. 2 3 D. 2 5【巩固】如图所示，ABC中，AB =AC =10, BC =12，求其外接圆的半径.【例9】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径

5、为13米，则拱高为（）A . 5 米B . 8 米C . 7 米 D . 5 3 米【巩固】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1 )请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB =16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径.AB【例10】如图所示，在Rt.lABC中.C =90 , AC = 2 , BC =1，若以C为圆心、CB的长为半径的圆交 AB 于 P，贝U AP =.【巩固】如图所示，在 OO与三角形所组成的图形中,OA =OB，求证 AC 二 BD

6、 .O【例11】在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为 J3和血，则NBAC的度数为【巩固】如图所示，已知OO的直径AB和弦CD相交于点 的长.E , AE =6cm , EB =2cm，/BED =30 ,求 CDBD【例12】已知OO的直径是50cm , OO的两条平行弦 AB = 40cm , CD = 48cm ,求弦AB与CD间的距离.【巩固】已知在 OO中，半径r =5 , AB、CD是两条平行弦，且 AB =8 , CD =6，求AC的长.BB【例13】如图，AB是OO的弦，OD _ AB，垂足为C，交OO于点D，点E在OO上.(1 )若NAOD =52笃求NDEB的度数；(

7、2)若 OC =3 , OA =5，求 AB 的长.【巩固】如图所示，已知 AB为OO的直径，CD是弦，且AB_CD于点E .连接AC , OC , BC .(1) 求证：.ACO 二/BCD .(2) 若 EB =8cm , CD =24cm，求 OO 的直径.【例14】如图，M、N分别是OO中长度相等但不平行的两条弦 AB CD的中点.求证：.AMN =/CNM .A【巩固】如图,OO中，AB是直径,弦 GE _ EF , HF _ EF , GE、HF 交 AB 于 C、【例15】如图,AE , CD是L O的两条直径，弦AB _ CD ,BC , DE交于点F【巩固】当AB , CD是

8、L O的直径，弦CF / AP , BF , PD相交于点E，求证:B【例16】如图，AB是OO的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A ,B到MN的距离分别为hi , h?，贝U g 等于（A . 5B. 6C. 7D. 8B【巩固】如图，|_。的直径AB =15 cm，有一条定长为9 cm的动弦CD在AmB上滑动（点C与A，点D与 点B不重合），且CE_CD交AB于E，DF _ CD交AB于F .（1）求证：AE =BF .（2） 在动弦CD滑动的过程中，四边形 CDFE的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值； 若不是，请说明理由.【例1

9、7】如图，半径为2 5的OO内有互相垂直的两条弦 AB、CD相交于P点.（1）求证：PA PB =PC PD ;2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF _ AD ;3）若 AB =8 , CD =6，求 OP 的长.B【巩固】 如图，已知：在L O中，直径AB=4，点E是OA上的任意一点， 过E作弦CD _ AB，点F是BC上一点，连接 AF交CE于H连接AC ,CF , BD , OD .(1) 求证： ACH s AFC ;(2) 猜想：AH AF与AE AB的数量关系，并说明你的猜想；(3) 探究：当点E位于何处时，Saaecbod =1：4 ?并加以说明.OD _

10、BC 于点 F ,【例18】(1)如图1，圆心接 ABC中，AB=BC=CA , OD、OE为OO的半径,OE丄AC于点G , 求证：阴影部分四边形 OFCG的面积是 ABC的面积的1 .3(2)如图2，若.DOE保持120角度不变，求证：当.DOE绕着O点旋转时，由两条半径和 ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面 积始终是 ABC的面积的-.3【例19】如图，AM是OO的直径，过OO上一点B作BN_AM，垂足为N，其延长线交 OO于点C , 弦CD交AM于点E .如果CD _AB，求证：EN二NM ;如果弦CD交AB于点F，且CD二AB，求证：CE2二EF ED【例20】如图，Rt .

11、 ABC内接于OO , AC =BC , /BAC的平分线 AD与OO交于点D，与BC交于点E , 延长BD与AC的延长线交于点 F，连结CD , G是CD的中点，连结 OG .判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；求证：AE二BF ;若OG DE =3 2 - 2，求OO的面积.B迂课后作业1. 如图，将圆沿 AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB等于A.60 B.90 C.120 D.150 2.如图所示，AB是L O的直径，AD二DE , AE与BD交于点C，则图中与 BCE相等的角有（DEACOBA . 2个 B . 3个C. 4个3.O O的半径为1, AB是GO的一条弦,且

12、AB = .3 ,则弦AB所对圆周角的度数为4.若O O中等于120的劣弧所对的弦长为)8.如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点,M是AC的中点,5. 如图，AB是OO的弦，OD_AB于D交OO于E，则下列说法错误.的是（A. AD =BDB. ACB =/AOE C. AE =BE D. OD =DE6.OO的半径为5 , P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是7.如图，矩形ABCD与圆心在 AB上的O O交于点G、B、F、E , GB =8cm , AG =1cm , DE = 2cm , 贝H EF =.与AC的关系是C9.已知：如图，MN是OO的直径，

13、点 A是半圆上一个三等分点，点 一动点， O O的半径为1，贝U PA+PB的最小值是 B是AN的中点，P是MN上10.把正. ABC的外接圆对折, 为( )AN使点A落在BC的中点A上，若BC =5 ,则折痕在- =ABC内的部分长10.3311.如图，L O的半径为5, BC _OA ,OD_AB，求OD2，CD2的值.12.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，且 CD =24m , OE _ CD 于点 E .圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD AB ,12已测得 sin./DOE =.13(1)求半径OD ;(2 )根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才

14、能将水排干?13. 如图，P为OO外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M , N分别是AB , CD的中点，连结MN交AB , CD与E , F .求证：JPEF为等腰三角形.14.如图，AD是OO的直径. 如图1,垂直于AD的两条弦 度数是; 如图2，垂直于AD的三条弦如图3,垂直于AD的n条弦B1C1, B2C2把圆周4等分，贝U Bi的度数是BQi、B1C1 ,B2C2、B2C2,PMCAFEOBND,-B2 的B3C3把圆周6等分，分别求 B，B2，Ba的度数;B3C3，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示.Bn的度数(只需直接写出答案).图1D图2图315. 已知：如图，M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C,设O O的半径为4cm, MN = 4 3 cm.(1) 求圆心 O到弦MN的距离；(2) 求/ ACM的度数.BN16. 如图，在 L O 中，.ACB =/BDC =60 , AC =2 3cm . (1)求.BAC 的度数；(2)求1 O 的周 长.AE17. 如图，AB是