北师大版(文科数学)数列求和种方法名师优质单元测试

1、名校名 推荐1 求和： Sn 1 3x 5x27x3( 2n 1)x n 1 解：由 可知， ( 2n1)x n 1 的通 是等差数列2n 1 的通 与等比数列 xn 1 的通 之 设 xSn1x3x25x37x 4(2n1) xn . 得(1 x) Sn 12x2x 22x32x42x n1(2n1) xn再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x 1xn1( 2n1)x n1 xSn(2n1) xn 1(2n1) xn(1x)(1x)22 求数列2 , 4, 6 , 2n ,前 n 的和 .22 2232 n解：由 可知， 2n12n 的通 是等差数列2n 的通 与等比数列 2n 的通

2、 之 设 Sn2462n222232n1Sn2462n22223242 n 1 得 (11222222n)Sn2 2223242n2n 12212n2 n 12n 1（设制错位）（错位相减）（设制错位）（错位相减） Snn 242n 13 求 ： Cn03Cn15Cn2(2n 1)Cnn(n1) 2n 明： 设 SnCn03Cn15Cn2(2n1)Cnn .把式右 倒 来Sn (2n 1)Cnn( 2n 1)Cnn 13Cn1Cn0（反序）又由 CnmCnn m 可得S(2n1)C 0(2n1)C13C n 1C n . .nnnnn+得 2Sn(2n 2)(Cn0Cn1Cnn 1Cnn )

3、2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n1) 2 n1名校名 推荐4求 sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin2 89 的 解： Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 . 将式右 反序得Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1 .（反序）又因 sin xcos(90x), sin 2 xcos2 x1+得（反序相加）2S(sin 2 1cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.55. 已知函数（ 1） 明：；（ 2）求的 .解：（ 1

4、）先利用指数的相关性 函数化 ，后 明左 =右 （ 2）利用第（ 1 ）小 已 明的 可知，两式相加得：所以.66. 求数列的前 n 和：111， 1 1, a4, a 27, ,a n 13n 2解： Sn(1 1)( 14)( 127)( 1n 13n2)aaa将其每一 拆开再重新 合得Sn1111 ) (1473n2)（分组）(1a2ana当 a 1 ， Snn(3n1)n(3n1)n（分组求和）222名校名 推荐11(3n1) na1n(3n 1)nn当 a1时， Snaa21211aa7. 求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 .解：设 akk (k1)( 2k1)2k

5、33k 2knn(2k 33k 2 Snk(k1)(2k1) k )k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn 2k 3 3k 2k（分组）k 1k 1k1333)2222) (1 2)2(123(1nnnn2 (n1) 2n(n1)(2n1)n( n1)（分组求和）n(n 1) 2 ( n 2)22228.1,1,1,的前 n 项和 .求数列23n112n解：设 an1n1n（裂项）nn1则 Sn111（裂项求和）1223nn1 ( 21) ( 32)( n 1n )n1 19.在数列 a n 中， an12n，又 bn2n 1 n 1，求数列 b n 的前 n 项的和 .n 1an

6、an 1解： an12nnn1n 1n12 bnn28( 11)（裂项）n1nn12 2 数列 b n 的前 n 项和Sn8(11 )( 11 )(11 )( 11)（裂项求和）22334nn13名校名 推荐1)8n 8(1n1n 110. 求 ：解： 111cos1cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin2 1111Scos1 cos 2cos88 cos89cos 0 cos1sin1tan(n1)tan n（裂项）cosn cos(n 1) S111cos0 cos1cos1 cos 2cos88（裂项求和）cos891tan 0 )(tan 2tan1 )(ta

7、n 3 tan 2 ) tan 89 tan 88 (tan 1sin 11tan 0 )1cos1(tan 89cot1 sin 1sin 1sin 2 1原等式成立11. 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179的 .解： Sn cos1 + cos2 + cos3 + cos178 + cos179 cosncos(180n )（找特殊性质项） Sn （ cos1 + cos179） +（ cos2+ cos178） + （ cos3+ cos177） +（ cos89 + cos91） + cos90（合并求和） 012. 数列 a n ： a1

8、 1, a23, a32, an 2an1 an ，求 S2002.解： S2002 a1a2 a3a2002由 a11, a23, a3 2, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a7 1,a83,a92,a101,a113,a122,a6 k 11, a6k 23, a6k 32, a6 k 41, a6k 53, a6 k 62 a6k1a6k2a6k3a6 k4a6 k 5a6 k 60（找特殊性质项） S2002 a1a2 a3a2002（合并求和） (a1a2a3a6 ) (a7a8a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )4名校名 推荐(a1993a1994a1998 )a1999 a2000a2001 a2002 a1999a2000a2001a2002 a6 k 1a6k 2a6k 3a6 k 4 513. 在各项均为正数的等比数列中，若a5 a69, 求 log 3 a1log 3 a2log 3 a10 的值 .解：设 Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比数列的性质mnp qaman ap aq（找特殊性质项）和对数的运算性质loga Mloga Nlog a