双曲线知识复习(答案)

1、双曲线知识复习 定义 标准 x 2 y 2 a 0, b 0) y 2 x 2 a 0, b 0) 方程 a2 1( a2 1( b2 b 2 y y 图 x x 形 焦点 F1 ( )F2 ( ) F1 ( )F2 ( ) 坐标 abc 运 算关系 范 围 A1 ( ) A2 ( ) A1 ( ) A2 ( ) 顶 B1 ( ) B2 ( ) B1 ( ) B2 ( ) 性 实轴： A1 A2 = 实轴： A1 A2 = 点 虚轴： B1 B2 = 虚轴： B1 B2 = 对 质 称 性 渐 近 线 离 心 率 椭圆知识复习 定义 标准 x 2 y 2 ( a b 0) y 2 x 2 1(

2、 a b 0) 方程 a2 b2 1 a2 b2 y y 图 a a b x a o x a o 形 b 焦点 F1 ( ) 坐标 abc 运 算关系 范 围 A1 ( ) 顶 B1 ( ) 性 点 长轴： A1 A2 = 短轴： B1 B2 = 质 对称 性 离心 率 F2 ()F1 ()F2 () A2 ( ) A1 ( ) A2 ( ) B2 ( ) B1 ( ) B2 ( ) 长轴： A1 A2 = 短轴： B1 B2 = 椭圆与双曲线知识典型题测试 1、若椭圆的两焦点将长轴三等分，求椭圆的离心率。 y 解：由已知如图所示： 3 2c=2a 即： 3c=a 2c c c 1 x o 所

3、以： e 3c 3 2a a 2、若椭圆的两焦点和坐标原点将长轴四等分，求椭圆的离心率。 解：由已知如图所示： 4 c=2a 即： c 1 a y 2 c 1 a 1 2 所以： e a 2 a c o 2a x 3、若双曲线的实轴两端点将焦距三等分，求双曲线的离心率。 解：由已知如图所示： 3 2a=2c y 2a 即： c 3 x a o c 3a 2c 所以： e 3 a a 4、若双曲线的实轴两端点和坐标原点将焦距四等分，求双曲线的离 心率。 y 解：由已知如图所示： 4 a=2c a x o 即： c 2a 2c 所以： e c 2a a 2 a 5、若双曲线的渐近线方程是 y x

4、，求双曲线的离心率。 解：若双曲线的焦点在 a 1 a 2 1 X 轴上，则有： b ，即： b 2 所以： e2c 2 a2 b2 b2 1 1 2 a2 a2 1 a2 即： e 2 a 1 b 2 1 若双曲线的焦点在 Y 轴上，则有： ，即： b a2 所以： e2 c 2 a2 b2 b2 1 1 2 a2 a2 1 a2 即： e 2 综上所述：双曲线的离心率 e2 6、若双曲线的离心率是e3 ，求双曲线的渐近线方程。 解：因为： e 3 所以： e 2 c2 a2 b2 1 b2 3 a2 a2 a2 b2 2 b 2 即： a a2 b 2 ， 当双曲线的焦点在 X 轴上，则有

5、： a 即：双曲线的渐近线方程为： y 2x a 1 2 当双曲线的焦点在 Y 轴上，则有： ， b 22 即：双曲线的渐近线方程为： y 2 x 2 7、若 x 2 y 2 1为椭圆的方程，求 m 的取值范围。 2 1 3 m m 解：由椭圆的标准方程知： ( 2m 1)( 3 m) 0 解得： 1 m 3 2 所以 m 的取值范围为： 1 m 3 2 x 2 y 2 表示双曲线的方程，求 m 的取值范围。 8、若 m 2 1 m 1 解：由双曲线的标准方程知： 或 解得： 或 m 1 或 1 m 2 所以 m 的取值范围为： m 1 或 1 m 2 9、已知椭圆 x 2 y 2 1，设它的

6、两个焦点分别为 F1 和 F2 ，P 为椭 20 1 圆上一点，当 PF1 PF2 时，求 PF1F2 的面积。 y b2 解：由椭圆的定义及标准方程知 : 1 P PF1 PF2 2a ( PF1 PF2 ) 2 4a 2 o x 即：( PF1)2 ( PF2 )2 2PF1 ? PF2 4a2 又 PF1 PF2 2 2 2 2 ( PF1 ) ( PF2 ) ( F1F2 ) 4c 2 1 ? 2 4 2 4 2 4( a 2 c 2 ) 4 2 4 PF PF a c b S PFF 1 PF1 ? PF2 1 1 2 2 10、已知双曲线 x 2 y 2 1，设它的两个焦点分别为

7、F1和 F2 ，P 为 9 16 双曲线上一点，当 PF1 PF2 时，求点 P 到 X 轴的距离。 y p 解：由双曲线的定义及标准方程知 : b2 16 x PF1 PF2 2a ( PF1 PF2 )2 4a2 o 即：( PF1)2 ( PF2 )2 2PF1 ? PF2 4a2 又 PF1 PF2 2 ( PF2 ) 2 ( F1F2 ) 2 4c 2 ( PF1 ) 2 1 ? 2 4 2 4 2 4( c 2 a 2 ) 4 2 64 PF PF c a b S PF1F2 1 PF1 ? PF2 16 2 椭圆与双曲线知识典型题测试（选做题） 11、已知双曲线经过点 M（ 9

8、，1）且两条渐近线方程是 y 2 x ， 2 3 求双曲线的标准方程。 解：若双曲 的焦点在 X 上， 双曲 的方程 x 2 y 2 1 a2 b 2 ( a 0, b 0) 近 方程是 y 2 x b 2 ，即： b2 4 3 a 3 a2 9 9 又双曲 点 M （ ， 1） 2 2 9 2 1 2 1 a2 b2 立解得 a 2 18, b 2 8 双曲 的方程 x 2 y 2 18 1 8 若双曲 的焦点在 Y 上， 双曲 的方程 y 2 x 2 1 a 0, b 0) ( a2 b2 近 方程是 y 2 x a 2 ，即： a2 4 3 b 3 b2 9 9 又双曲 点 M （ ，

9、1） 2 2 2 9 1 2 1 a2 b2 立解得 a 2 18, b 2 8 （舍去） 上所述：双曲 的方程 x 2 y 2 1 188 12、求以椭圆 x 2 y 2 1的焦点为顶点， 而以椭圆的顶点为焦点的 8 5 双曲线方程。 ? ? 解：由题设条件知：双曲线的标准方程为?- ? ? ? = ?， ? = ? 椭椭 ? ? ? =? (? ?,? ?) ? 所以 ? ? ? ? = ? - ? = ?- ?= ? 椭 椭 椭 ? ? ， ? ? ， 所以 ? 双 = ? = ? ? = ? = ? 椭 双 椭 ? ? ? 所以 ? = ? - ? = ?- ?= ? 双 双 双 ? ? ? ? 故：双曲线的标准方程为 ? - ? = ? 13、已知双曲线 C1 ： x 2 y 2 1的实轴为双曲线