北师大版(文科数学)直线与圆及圆锥曲线名师优质单元测试

1、名校名 推荐 22 直线与圆及圆锥曲线1. 设 A, B 为曲线 C: y=上两点 , A与 B 的横坐标之和为4.(1) 求直线 AB的斜率 ;(2) 设 M为曲线 C上一点 , C在 M处的切线与直线 AB平行 , 且 AM BM,求直线 AB的方程 .2. (2018 全国 , 文 20) 设抛物线C: y2=4x 的焦点为 F, 过 F 且斜率为 k( k0) 的直线 l 与 C交于 A, B两点 , |AB|= 8.(1) 求 l 的方程 .(2) 求过点 A, B 且与 C的准线相切的圆的方程 .3. 在平面直角坐标系 xOy中 , 已知圆 O1:( x+1) 2+y2=1 和 O

2、2:( x- 1) 2+y2=9, 动圆 P 与圆 O1 外切 , 与圆 O2 内切 .(1) 求圆心 P 的轨迹 E 的方程 ;(2) 过 A( - 2,0) 作两条互相垂直的直线 l 1, l 2 分别交曲线 E 于 M, N两点 , 设 l 1 的斜率为 k( k0), AMN 的面积为 S, 求的取值范围 .1名校名 推荐 4. 在平面直角坐标系xOy中 , 以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4 相切 .(1) 求圆 O的方程 ;(2)若圆 O上有两点 M,N关于直线 x+2y=0 对称 , 且 |MN|=2 , 求直线 MN的方程 ;(3)圆 O与 x 轴相交于A, B 两点 ,

3、圆内的动点 P 使|PA| , |PO| , |PB| 成等比数列 , 求的取值范围 .5. 已知点 N( - 1,0),F(1,0) 为平面直角坐标系内两定点, 点 M是以 N为圆心 ,4 为半径的圆上任意一点 , 线段 MF的垂直平分线交 MN于点 R.(1) 点 R的轨迹为曲线 E, 求曲线 E 的方程 ;(2) 抛物线 C的顶点在坐标原点 , F 为其焦点 , 过点 F 的直线 l 与抛物线 C交于 A, B 两点 , 与曲线 E 交于 P, Q两点 , 请问 : 是否存在直线 l 使 A, F, Q是线段 PB的四等分点 ?若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 请说明理

4、由 .6. (2018 天津 , 文 19) 设椭圆=1( ab0) 的右顶点为A, 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为, |AB|=.(1) 求椭圆的方程 ;(2) 设直线 l : y=kx( k0,即 m-1时 , x1,2 =22.从而|AB|=12|=4.|x -x由题设知 |AB|= 2|MN|, 即 4=2( m+1),解得 m=7.所以直线 AB的方程为 y=x+7.2. 解 (1) 由题意得 F(1,0),l的方程为 y=k( x- 1)( k0) .设 A( x1, y1), B( x2, y2) .由得 k2x2- (2 k2+4) x+k2=0.=16k2+160, 故

5、x1+x2=.所以 |AB|=|AF|+|BF|=( x+1) +( x +1) =;12由题设知8, 解得k=-1(舍去 ),1=k= .因此 l 的方程为 y=x- 1.(2) 由 (1)得 AB的中点坐标为(3,2),所以 AB的垂直平分线方程为y- 2=- ( x- 3), 即 y=-x+ 5.设所求圆的圆心坐标为( x , y), 则00解得因此所求圆的方程为( x- 3) 2+( y- 2) 2=16 或 ( x- 11) 2+( y+6) 2=144.3. 解 (1) 设动圆 P 的半径为 r , 则 |PO |=r+ 1, |PO |= 3-r , 所以 |PO |+|PO |

6、= 4,1212所以 P 的轨迹为椭圆 ,2 a=4,2 c=2, 所以 a=2, c=1, b=,所以椭圆的方程为=1( x - 2) .(2) 设点 M坐标为 ( x0, y0), 直线 l 1 的方程为 y=k( x+2),代入=1,可得 (3 +4k2) x2+16k2x+16k2- 12=0. A( - 2,0)在椭圆=1 上 ,x ( - 2) =, 则 x =,00|AM|=.同理 |AN|=.所以 S=|AM|AN|=.3名校名 推荐 , 令 k2+1=t 1, 所以 (0,6) .4. 解 (1)依题意 , 圆 O的半径 r 等于原点 O到直线 x-y=4 的距离 ,即 r=

7、2.22 4所以圆O的方程为x +y = .(2) 由题意 , 可设直线 MN的方程为 2x-y+m=0.则圆心 O到直线 MN的距离 d=,所以+() 2=22, 即 m=.所以直线 MN的方程为 2x-y+=0 或 2x-y-=0.(3) 设 P( x, y), 由题意得 A( - 2,0), B(2,0) .由|PA| , |PO| , |PB| 成等比数列 ,得=x2+y2, 即 x2-y 2=2.因为( 2,-y)(2-x,-y) 2( 2 1).= - -x= y -由于点 P 在圆 O内 , 故2由此得 y |NF| ,R的轨迹是以,为焦点的椭圆 , 2,1,b=,N Fa=c=

8、曲线 E 的方程为=1;(2) 抛物线 C的顶点在坐标原点 , F 为其焦点 , 抛物线的方程为 y2=4x, 假设存在直线 l 使 A, F, Q是线段 PB的四等分点 , 则 |AF|=|FB|.直线 l 斜率显然存在 , 设方程为 y=k( x- 1)( k0),设 A( x1, y1), B( x2, y2), 则直线代入抛物线方程 , 整理可得 ky2- 4y- 4k=0,12y +y =,y1y2=-4,|AF|=|FB| , =- 2,由 解得 k=2 .k=2时 , 直线 l的方程为 y=2( x- 1),解得 A, B(2,2) .直线与椭圆方程联立解得 P, A.y 2y

9、, Q不是 FB的中点 , 即 A, F, Q不是线段 PB的四等分点 .BQ同理可得 k=- 2时 , A, F, Q不是线段 PB的四等分点 ,不存在直线 l使 A, F, Q是线段 PB的四等分点 .6. 解 (1)设椭圆的焦距为2c, 由已知有. 又由 a2=b2+c2, 可得 2a=3b. 由|AB|=, 从而 a=3, b=2.所以 , 椭圆的方程为=1.4名校名 推荐 (2) 设点 P的坐标为 ( x1, y1), 点 M的坐标为 ( x2, y2), 由题意 , x2x10, 点 Q的坐标为 ( -x 1, -y 1) . 由 BPM的面积是 BPQ面积的 2 倍 , 可得 |PM|=2|PQ|, 从而 x2-x 1=2 x1- ( -x 1), 即 x2=5x1.易知直线的方程为 2 36, 由方程组消去y, 可得x=.由方程组消ABx+ y=2去y, 可