函数的单调性与导数

1、4.1.1函数的单调性与导数,高二数学 选修1-1 第四章 导数及其应用,4）.对数函数的导数,5）.指数函数的导数,3）.三角函数,1）.常函数：(c)/ 0, (c为常数,2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1,一、复习回顾：基本初等函数的导数公式,函数 y = f (x) 在给定区间 g 上，任意 x 1、x 2 g 且 x 1 x 2 时,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2,则 f ( x ) 在g 上是增函数,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2,则 f ( x ) 在g 上是减函数,若 f(x) 在g上是增函数或减函数,增函数,减函数,则 f(

2、x) 在g上具有严格的单调性,g 称为单调区间,g = ( a , b,二、复习引入,问题1：函数单调性的定义怎样描述的,2)作差f(x1)f(x2) (作商,2用定义证明函数的单调性的一般步骤,1)任取x1、x2d，且x1 x2,4)定号(判断差f(x1)f(x2)的正负)(与比较,3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式,5)结论,练习：讨论函数y=x24x3的单调性,定义法,单增区间：(，,单减区间：(，,图象法,思考：那么如何求出下列函数的单调性呢,1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x,发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然

3、可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？下面我们通过函数的y=x24x3图象来 考察单调性与导数有什么关系,2,再观察函数y=x24x3的图象,总结: 该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变.为转折点,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,y = x,y = x2,y = x3,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系,在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个

4、区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减,如果恒有 ，则 是常数,函数单调性与导数正负的关系,注意： 应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间,如果恒有 ，则 是常数,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导,例1、求函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的单调区间,例题分析,f(x)的单增区间为（，-2）和（3，,f(x)的单减区间(-2,3,说明：当x=-2或3时, f(x)=0,即函数在该点 单调性发生改变,小结：根据导数确定函数的单调性步骤,1.确定函数f(x)的定义域,2.求出函数的导数f(x,3.解不等式f(x)0,得函数单增区间;

5、解不等式f(x)0,得函数单减区间,注：单调区间不以“并集”出现,4.回答增减区间,例1 已知导函数 的下列信息,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状,解,当1 x 4 时, 可知 在此区间内单调递增,当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示,题型：应用导数信息确定函数大致图象,分析,临界点,a,b,c,d,c,04浙江理工类,高,考,试,练习,尝,设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是(,例2

6、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间,解,1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增,2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增,当 , 即 时, 函数 单调递减,题型：求函数的单调性、单调区间p83，p86,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间,解,3) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递减,4) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增,当 , 即 时, 函数 单调递减,总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法,纳,1什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便,2试总结用“导数法” 求单调

7、区间的步骤,归,总结,注：单调区间不以“并集”出现,令,3。证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,总结,求函数 的单调区间,变1：求函数 的单调区间,理解训练,解,的单调递增区间为,单调递减区间为,变3：求函数 的单调区间,解,解,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓,通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看

8、出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况,练习,4.求证: 函数 在 内是减函数,解,由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数,函数单调性与导数的关系,1.如果在区间(a,b)内f(x)0(f(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数,2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数） ,那么f(x)0(f(x)0）在区间(a,b)内恒成立,题型：根据函数的单调性求参数的取值范围,函数在（0，1上单调递增,注： 在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）； 但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还

9、有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,本题用到一个重要的转化,练习： 已知函数f(x)=ax+3x-x+1在r上是减函数，求a的取值范围,解：f(x)=ax+3x-x+1在r上是减函数,f(x)=3ax2+6x-10在r上恒成立,a0且=36+12a0,a -3,例3：方程根的问题 求证：方程 只有一个根,练习,判断下列函数的单调性, 并求出单调区间,已知导函数的下列信息,试画出函数 图象的大致形状,分析,题型：应用导数信息确定函数大致图象,已知导函数的下列信息,试画出函数 图象的大致形状,分析,题型：应用导数信息确定函数大致图象,解： 的大致形状如右图,练习,2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状,o,a,b,c,x,y,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的