完全平方公式和平方差公式的应用

1、完全平方公式和平方差公式的应用公式： 语言叙述：两数的 。公式结构特点：左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a， 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3) 2.( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、 1998

2、2002 2、498502 3、9991001 4、1.010.99 5、30.829.2 6、（100-）（99-）7、（20-）（19-） 第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- )(x2+ )(x+ ) 第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1) 第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c）(a+2b-c

3、) 2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式： 语言叙述：两数的 . 。公式结构特点：左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。公式变形1、a2+b2=(a+b)2 =(a-b)2 2、（a-b）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2 3、(a+b)2 +（a-b）2= 4、(a+b)2 -（a-b）2= 一、计算下列各题：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972

4、三、计算：（1） （2）（3）四、计算：（1） （2）（3）五、计算：（1） （2） （3）（4）六、拓展延伸 巩固提高1、若 ，求k 值。 2、 若是完全平方式，求k 值。3、已知，求的值巧用平方差公式解题平方差公式 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例1、计算：解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将看作，将看作，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍 =例2、计算：解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将变形为，再运用平方差公式，则问题迅速获解=例3、计算

5、：解析：直接计算，数值较大，可先将分母变形为，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=例4、计算：解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=例5、试确定的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。原式= 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1所以未位数是1计算：（1）、 （2）、 （3）、（4）、试确定的未位数完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式（1）（2）（3）（4）（5）二、完全平方公式变

6、形的应用例1 已知，求的值。解：由变式（1）得： 所以所以 所以例2 已知的值。 解：由变式（3）得： 例3 已知求的值。解：由变式（4）得： 所以 再由变式（2）得： 例4 已知，求的值。解：由题意知 在的两边都乘以得： 由变式（5）得： 例1 若为有理数，且满足，求的值分析：欲求的值，须求出的值由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的解：，即，=20=1例2 已知，求的值分析：显然，本题若按一般方法，即先求出的值，再代入多项式求值，将十分困难而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从

7、而能够运用已知条件求解解： ，=19例3 试说明不论为何值时,代数式的值总是正数.分析：本题实质就是证明.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的解: =0,0,0.即代数式的值总是正数.平方差公式专项练习题a卷：基础题一、选择题1平方差公式（a+b）（ab）=a2b2中字母a，b表示（ ） a只能是数 b只能是单项式 c只能是多项式 d以上都可以2下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） a（a+b）（b+a） b（a+b）（ab） c（a+b）（ba） d（a2b）（b2+a）3下列计算中，错误的有（ ）（3a+

8、4）（3a4）=9a24；（2a2b）（2a2+b）=4a2b2；（3x）（x+3）=x29；（x+y）（x+y）=（xy）（x+y）=x2y2 a1个 b2个 c3个 d4个4若x2y2=30，且xy=5，则x+y的值是（ ） a5 b6 c6 d5二、填空题5（2x+y）（2xy）=_6（3x2+2y2）（_）=9x44y47（a+b1）（ab+1）=（_）2（_）28两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_三、计算题9利用平方差公式计算：202110计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a2）b卷：提高题一、七彩题1（多题思路题

9、）计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）（32008+1）2（一题多变题）利用平方差公式计算：2009200720082 （1）一变：利用平方差公式计算： （2）二变：利用平方差公式计算：二、知识交叉题3（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x1）=5（x2+3）三、实际应用题4广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5下列运算正确的是（ ） aa3+a3=3a6 b（a）3（a）5=a8 c（2a

10、2b）4a=24a6b3 d（a4b）（a4b）=16b2a26计算：（a+1）（a1）=_c卷：课标新型题1（规律探究题）已知x1，计算（1+x）（1x）=1x2，（1x）（1+x+x2）=1x3，（1x）（1+x+x2+x3）=1x4 （1）观察以上各式并猜想：（1x）（1+x+x2+xn）=_（n为正整数） （2）根据你的猜想计算： （12）（1+2+22+23+24+25）=_ 2+22+23+2n=_（n为正整数） （x1）（x99+x98+x97+x2+x+1）=_ （3）通过以上规律请你进行下面的探索： （ab）（a+b）=_ （ab）（a2+ab+b2）=_（ab）（a3+a2

11、b+ab2+b3）=_2（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字43.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图171所示，然后拼成一个平行四边形，如图172所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值2、 已知，都是有理数，求的值。3 已知 求与的值。练一练 a组： 1已知求与的值。 2已知求与的值。3、 已知求与的值。4、 已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，

12、求a2+b2及ab的值b组：5 已知，求的值。6 已知，求的值。7 已知，求的值。8、，求（1）（2）9、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。c组:10、已知三角形abc的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式，请说明该三角形是什么三角形？ 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(b卷)一、请准确填空1、若a2+b22a+2b+2=0,则a2004+b2005=_.2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a3b),则长方形的面积为_.3、5(ab)2的最大值是_，当5(ab)2取最大值时，a与b的关系是_.4.要使式子0.36x2+y2成为一个完全平方式，则应加上_.

13、5.(4am+16am)2am1=_.6.2931(302+1)=_.7.已知x25x+1=0,则x2+=_.8.已知(2005a)(2003a)=1000,请你猜想(2005a)2+(2003a)2=_.二、相信你的选择9.若x2xm=(xm)(x+1)且x0,则m等于a.1b.0c.1d.210.(x+q)与(x+)的积不含x的一次项，猜测q应是a.5b.c.d.511.下列四个算式:4x2y4xy=xy3;16a6b4c8a3b2=2a2b2c;9x8y23x3y=3x5y; (12m3+8m24m)(2m)=6m2+4m+2，其中正确的有a.0个b.1个c.2个d.3个12.设(xm1

14、yn+2)(x5my2)=x5y3,则mn的值为a.1b.1c.3d.313.计算(a2b2)(a2+b2)2等于a.a42a2b2+b4 b.a6+2a4b4+b6 c.a62a4b4+b6 d.a82a4b4+b814.已知(a+b)2=11,ab=2,则(ab)2的值是a.11b.3c.5d.1915.若x27xy+m是一个完全平方式，那么m是a.y2b.y2c.y2d.49y216.若x,y互为不等于0的相反数，n为正整数,你认为正确的是a.xn、yn一定是互为相反数 b.()n、()n一定是互为相反数c.x2n、y2n一定是互为相反数 d.x2n1、y2n1一定相等三、考查你的基本功

15、17.计算(1)(a2b+3c)2(a+2b3c)2;(2) ab(3b)2a(bb2)(3a2b3);(3) 21000.5100(1)2005(1)5;(4) (x+2y)(x2y)+4(xy)26x6x.18.(6分)解方程x(9x5)(3x1)(3x+1)=5.四、生活中的数学19.(6分)如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8106 m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？五、探究拓展与应用 20.计算.(2+1)(22+1)(24+1)=(21)(2+1)(

16、22+1)(24+1)=(221)(22+1)(24+1)=(241)(24+1)=(281).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(32+1)(34+1)(332+1)的值.“整体思想”在整式运算中的运用 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式的值为7时,求代数式的值.2、 已知，求：代数式的值。3、已知，求代数式的值4、已知时，代数式，求当时，代数式 的值5、若

17、，试比较m与n的大小6、已知，求的值.平方差公式基础题一、选择题1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) a.(x+y)(xy) b.(2x+3y)(2x3z) c.(ab)(ab) d.(mn)(nm) 2.下列计算正确的是( ) a.(2x+3)(2x3)=2x29 b.(x+4)(x4)=x24 c.(5+x)(x6)=x230 d.(1+4b)(14b)=116b2 3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) a.(ab)(b+a) b.(xy+z)(xyz) c.(2ab)(2a+b) d.(0.5xy)(y0.5x) 4.(4x25y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) a.4x25y b.4x2+5y c.(4x25y)2 d.(4x+5y)2 5.a4+(1a)(1+a)(1+a2)的计算结果是( ) a.1 b.1 c.2a41 d.12a4 c.(xy)(x+25y) d.(x5y)(5yx) 平方差公式提高题一、选择题: 1.下列式中能用平方差公式计算的有( ) (x-y)(x+y), (3a-bc)(-bc-3a), (3-