导数与不等式

1、解答题专题复习导数与不等式【例 1】已知函数f ( x )ax ln x (a0) 。讨论函数f ( x ) 的单调区间和最值；若 m0, n0 ，证明： f (m )f ( n)a(mn)ln2f (mn) 。【解答】 f ( x )a(lnx1)( a0, x0)1时， f ( x )0；当 0x1，当 x时，eef( x)0，故 f ( x ) 的单调递增区间为1 ,，单调递减区间为0, 1，eef ( x )minf (1a)，无最大值。ee f (m )f (n )a( mn )ln2f (mn)am ln man ln na( mn)ln 2a( mn )ln( mn )mln m

2、 ln 2ln( mn)nln( mn )ln n ln 2n2mn ln mn2n1n ( xm lnlnlnm (*) ，令 x0) ，则mn2n1nmnmm2m（* ）ln21 xln 2ln( x1)xln( x1)ln(2 x )xx ln2 x1( x1)ln(x1)x ln(2 x )ln 20令 g( x )( x1)ln(x1)x ln(2 x )ln2(x0) ，g ( x )ln( x1)ln(2 x )lnx1， 当 x1时 ， f ( x )0 ； 当0 x1时 ，2 xf( x)0， g( x )maxg(1)0 ，即 g( x )0，故原命题成立。设函数 g( x

3、 )f ( x )f (tx )ax lnxa( tx )ln( tx )(0xt) ，g ( x )a lnx，令 g( x )0txt; g ( x)00xt2，则函数 g( x ) 在tx2( t , t ) 上单调递增，在 (0,t ) 上单调递减，g( x )ming( t ) ，即总有 g( x )g( t ) 。2222而 g( t )2 f ( t )at lntat (ln tln 2)f ( t )at ln 2 ，222g( x )g( t )f ( x)f (tx )f (t ) at ln 2 ，2令 x m, txn, 则 mnt ， f ( m )f (n )f

4、(mn)a( mn )ln2 ，移项后得证。【例 2】已知 a0, f ( x )x ln( xa )( x2 f ( x )a。0), g( x)x求 g( x ) 的单调区间；a 2时，x0(0,)，使 f ( x 0 )bx01 成立，求 b 的取值范围；正数 x、y、 z 满足 x+ y+ zt ，求证：f ( x )f ( y)f (z)ln(2 a)13ta 。22解：（） g( x )2 ln( xa )a ， g ( x )2a( 2 xa)( x a ) ，xx ax 2x 2 ( x a )当 0xa 时，所以 g ( x)0 ，当 xa 时，所以 g ( x )0 ，所以

5、 g ( x ) 的单调递减区间为(0,a ) ，单调递增区间为(a,) ；（ II ） x ln( x2)bx1 在 0,有实根，此问题等价于求bh ( x)ln( x2)1 在 (0,) 的值域，x当 a2 时， g ( x )2 ln( x2)22h( x ) ，x所以 h( x ) 在 (0,2) 上递减，在 (2,) 上递增，h( x) minh(2)ln 41 ，又 h ( x ) 可以趋向，所以 h ( x ) 的值域为ln 41,，22所以 b 的取值范围为ln 41；,2（ III ）由（）知 g ( x )2 f ( x )a 在 (0, a ) 递减，在 ( a,) 递增

6、，x所以 g ( x )g(a ) 12 ln 2a ，所以 2 f ( x ) a12 ln 2a ，即 f ( x )1aln 2axx22同理 f ( y)ln 2a1ya ， f ( z)ln 2a1za ，2222相加得f ( x)f ( y)f (z)(ln 2a1 ) t3a 22证明：令 h( x)11xln( xa) ln(2 a)11f ( x ) ln(2 a)xaa ，2222h ( x )ln( x a)xln(2 a)1, h ( a)0 ，xa2110, h ( a)0，故 h ( x) 在 (0,) 上单调递增，h ( x)a( xa)2x当 0x a 时， h ( x )h ( a)0 ， h( x ) 在 (0, a ) 上单调递减，故 h( x )h(a)0 ；当 xa 时， h ( x )h ( a)0 ， h( x ) 在 (a,) 上单调递增，故 h( x ) h(a) 0 。故当 x0 时总有 h( x)0 ，同理， h( y)0， h( z)0 ，故 h( x ) h( y)h( z)0，代入移项得证。【例 3】已知函数f ( x )2a ln xx 21。当 a1 时，求函数f ( x ) 的单调区间及f ( x ) 的最大值；令 g( x