信与系统常用公式

1、判断周期信号方法两个周期信号x(t) , y(t)的周期分别为号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为仅当2 /为整数时 当2 /为有理数时 当2 /为无理数时正弦序列才具有周期N 正弦序列仍具有周期性, 正弦序列不具有周期性,1、连续正弦信号第一章T1和T2,若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信T1和T2的最小公倍数。2 /其周期为N M (2 / ),M取使N为整数的最小整数定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和定是周期序列信号的能量 Edef信号的平均功率2f(t) dtdefiP lim TT/2T/22f(t) dt冲

2、激函数的特性f(t) (t)f(0) (t)f (0)(t)f(t) (t)f(0)(t)f(t) (ta) f (a) (t a)f(t) (t)dtf(0),f(t)(t a)dt f (a)(at)1 g(n)(t) ag7 (t)(atto)f(k) (kk。) f(k。) (k k。)(n)(t) f(t)dt ( 1)n f (n)(0)(t)f (t)dtf(0)动态系统是线性系统的条件可分解性y(?) yf(?)yx(?)0 , f(?)x(0)零状态线性T 0 , afjt) bf2(t)aT 0 ,fi(?)bT0 , f2(?)零输入线性T ax., (0) bx2(0)

3、 , 0aT x,(0) , 0bT X2(0) , 0判断系统时不变、因果、稳定的方法。 线性时不变的微分和积分特性。第二章微分方程的经典解：y(t)(完全解)yh(t)(齐次解)yp(t)(特解)齐次解 y n)(t) an iy(n )(t) .aiy()(t) ay(t)= 0特解的函数形式与激励函数的形式有关。初始状态和初始值。零输入和零状态响应y(j)(0 )yXj)(0 )yfj)(0 )yXj)(0 )yXj)(0 )y(j)(0 )冲激响应h(t) T0,卷积fl(t)f2(t) fl(y(t)yx(t)yf(t)y(j)(0 )yXj)(0 )yfj)(0 )yfj) (0

4、 ) 0(t)f2(t)dfl(t)f2(t)f2(t) fl(t)fl(t) f2(t)f3(t)fl(t)f2(t)fl (t)f3(t)fl(t) f2(t) f3(t)fl(t) f2(t) f3(t)卷积积分特性1. f(t) (t)(t) f(t) f(t)2. f (t)(t) f (t) f (t)(n)(t) f(n) (t)3. f(t) (t)= f ( ) (t )dtf( )d卷积微分特性d ni.肿fi(t) dtf2(t)邛f2(t)dtfi(t)dnf2(t)dtnt2. _ fi()f2( )dtfi( )d f2(t)tfi(t) f2( )d 3. 在 f

5、i()(0或 f2i)()0时，fi(t)f2(t)fi(t)fzUt)卷积的时移性质若 f (t)fi(t)f2(t)，则 fi(tti)f2(t t2)fi(tt2)f2(t)fl(t)f2(ttit2)f (ttit2)第四章周期信号f(t)的傅立叶级数T/2T/2f(t)a02ancos(n t)n 1bnsin(n t)n 1f(t)cos( n t)dt2 T /2bnT(t)s(n t)dtan是n的偶函数，b n是n的奇函数f(t)今 niAnCOs(n)AoaoAn. a2b2n arctananA是n的偶函数，n是n的奇函数an 二An cos nbnAnsin n , n

6、 1,2,.波形的对称性与谐波特性1. f(t)为偶函数对称纵坐标：bn=0,展开为余弦级数。2. f(t)为奇函数对称原点：an=0,展开为正弦级数。3. f(t)为奇谐函数 f(t) f (t T/2) : a0=a2=b2=b4=O4. f(t)为偶谐函数f(t)f (t T/2) : a1=a3=b1=b3=0傅立叶级数的指数形式f(t)2nAnejejn tA。A0ej 0ej0 t,。0f(t)FnejnnFnT/2T/2f(t)ejntdtF0=A0/2为直流分量周期信号的功率一Parseval等式21 T f2(t)dtT 0幅度为1,脉冲宽度为Fn TSa()傅立叶变换Sa(

7、F),n2Fnn 0时，|Fn An/2n，周期为T的矩形脉冲频谱:0, 1, 2,.F(j ) lim FnTF(0) f (t)dtf (t)e j tdt1f(0)1 . tf(t) 2 F(j )ejtdF(j )d常用函数的傅里叶变换f(t) e t (t),0F(j )1.jf (t) e ,0F(j )门函数g （t）F(j )Sa()2(t)1(t)j（n）（t）(j )n12 ()sgn(t)2 j(t)()丄 j傅立叶变换的性质(见第五章)奇偶性：F(j ) R( ) jX()F(j ) JR2( ) X2( )( ) arctanR()(1)R( ) R( ), X( )

8、 X( ) F(j ) F( j ),()()若f(t) f( t),则X( ) O,F(j ) R()若f(t)f(t),则R ) O,F(j ) jX()周期信号的傅立叶变换T(t)t(n)1 n(n )()n普通周期信号的傅立叶变换：F(j )( )Fo(j )F(jn ) ( n )n无失真传输：y(t)=Kf(t-td)Y(j ) Ke j tdF(j )实现无失真传输，对系统的要求：h(t) K (t td)H(j ) Y(j )/F(j ) Ke j td取样定理取样信号f s(t)的频谱为：Fs(j ) (1/2 )F(j ) S(j )冲激取样：s(t) Ts(t)(tn T

9、s)s s( ) s ( n s)nn1 Fs(j )(1/2 )F(j ) s s( ) T F j( ns)I s n第五章双边拉普拉斯变换对Fb(s)f (t)e stdtf (t) J Fb(s)estdS2 j j收敛域因果信号：Re s反因果信号：Re s双边信号:Re s收敛域的确定方法：im|f(t)e七0单边拉氏变换defdef 1jF(s) o f(t)estdtf(t)石 j F(s)eStds (t)常见函数的拉氏变换(单边)(t)1,(t)1/s,0Sot e1厂,Re so s socos ots2 2 sosin ot02 2 so周期信号fT (t)1Tstst

10、 o fT(t)e dt1 eoT(t)1/(1 e sT)tn (t)n!n 1 se at (t)1s atne at (t)n!(s a)(n)(t)n s单边拉氏变换与傅立叶变换的关系拉普拉斯变换性质(与傅立叶变换性质对比)：性质傅立叶变换拉氏变换线性性质afi(t)aFi(jbf2(t)bF2(j )ai fi(t) a2 f2(t)aiFi(s) a2 F2 (s)Re s max( 1, 2)f(t-t 0) (t-t 0) e s)m 0若f(t)为因果信号，则 f (n)(t) sn F (s)性质傅立叶变换拉氏变换tn1f(x)dx F(s)tF(j )0sf(x)dxF(

11、0)()- J/tjf(1)(t)f (x)dxF(0)F(j )| of(t)dts1F(s)s 1f( 1(0 )Re s0与 Re s0重叠部分时域积分若f (t)Fi(j )则 f(t)1R(j ) jf()f()()若f(t)为因果信号，已知若 f(n)(t)Fn(j )，且f ()f( )0 则f (n)(t)Fn(s)则 f(t)Fn(s)/snf(t)FjFn(j)/(j)n(t)f(t)dF(s)频域微分ds(jt)n f (t)F(n)(j )nd F (s)(t) f(t):Re s0dsf(0)(t)1tf(t)F(jx)dx频域积分_L(i)F( )dRe s01ts

12、f(0)2F(j )d帕斯瓦尔E2 1|f(t)|dt |F(i )2d2初值定理和终值定理f (0 ) lim f(t) |im sF(s) f ()”叫 sF(s)拉普拉斯逆变换：部分分式展开法(1) F(s)为单极点(单根)F(s)少 _K1A(s) sK2PisP2Kis PiKns PnKi (s p)F(s)特例:KiFi(s)fi(t)s PiePt (t)PiF(s)包含共轭复根(s j )F(s)K1_(s j ) (s2 K1 e t cos( tF(s) 有重极点时(Pi,2A jBK2Kij ) (sKje Jisn)(t)或(重根)rkn (s P1) F(s)1dr

13、 1rk1r(s P1) F(s)(r 1)! dsk12 (d/ds)(sfi(t)2e t Acos( t) Bsin( t) (t)Pi)rF(s)s Plnn!1L tn (t) fL1s(s1P1)丄n!tneP1t (t)复频域分析微分方程的变换解naisi Y(s)i 0ni 1aii 0Py(P)(0mbjSj F(s)j 0yV警(S)畑 Yf(s)系统函数def Yf (s)H(s)帀B(s)A(s)电路的S域框图电感U(s) sLIl(s) LiL(0 )电容Uc(s)scl(s)Uc(0 )iL(t) LU(t)i(t)+Uc(t)Li. (0-)Il(s) sL L

14、丿+ U(s)或l(s)1/sCCUc(o-)sL1 LG-)/?U(s)LC(0-)/s l(s) 1/(sC严丿+ 一+ -U(s)系统的信号流图表示 梅森公式H(s)mYf (s)ii Pi iF(s)1L jLm LnL p Lq L rjm,np,q,r系统函数与系统特性H(s)的零、极点与时域响应h(t)关系1、极点在左半平面：k一阶极点：ke t (t)在负实轴上：+二阶极点： 一k22s (kne t ki2te t) (t)不在负实轴上：二阶极点:一阶极点：里2ke t cos( t )(s+)22、丿B(s)(s+ )2kite t cos( t(t)i) (t)k2te t cos(t 2) (t)2、极点在j轴上:kk (t)一阶极点：在原点：skt (t)k二阶极点：2s一阶极点:B(s)22kcos( s(t)不在原点：二阶极点:B(s)s2k1 cos(i) (t)k2t cos( t2) (t)3、极点在右半平面一阶极点:在正实轴上:二阶极点:(t)一阶极点:(s)2kte t(t)不在实轴上:二阶极点:B(s)B(s)(s 22)22