因动点而产生的相切问题

1、1.7因动点产生的相切问题例1 2018年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1,已知O O的半径长为3,点A是O O上一定点，点 P为O O上不同于点 A的动点.(1 )当tanA J时，求AP的长；2(2) 如果O Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2),设AP = x, QP = y,求y关于x的 函数关系式，并写出函数的定义域；(3) 在(2)的条件下，当tanA =4时(如图3),存在O M与O O相内切，同时与O Q相外3思路点拨1第(1)题的计算用到垂径定理和勾股定理.2第(2)题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似.3第(3)题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成

2、一个直角三角形，根据勾股定理列 方程.满分解答(1) 如图4，过点O作OH丄AP,那么 AP= 2AH .在 Rt OAH 中，OA = 3, tan A 二丄，设 OH = m, AH = 2m,那么 m2 + (2m)2= 32.2解得m二乞5 .所以AP =2AH =4m2 *5 .55(2) 如图5，联结OQ、OP，那么 QPO OAP是等腰三角形.又因为底角/ P公用，所以 QPOOAP .因此竺二兰，即3 .PO PA 3 x由此得到y = 9 .定义域是0 v xW 6 .x图5(3)如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交 AP于Q,垂足为D，那么QP、QO是O Q的半径.在 R

3、t QPD 中,PD JpO =3 , tan P 二tanA =上，因此 QP =?. 2232如图7,设O M的半径为r.由G M与O 0内切，0=3，可得圆心距0M = 3 r.由O M与O Q外切，rQ =qp二5，可得圆心距QM二5 r . 2 2在 Rt Q0M 中，qo =2 , 0M = 3 r, qm =? r，由勾股定理，得2 2(5 r)2 =(3_r)2 - (5)2 解得 r =旦2 2 11考点伸展如图8,在第(3)题情景下，如果O M与O O、O Q都内切，那么O M的半径是多少? 同样的，设O M的半径为r.由O M与O 0内切，ro =3，可得圆心距 0M =

4、 r 3.由O M与O Q内切，rQ =QP，可得圆心距QM -.2 2在Rt Q0M中，由勾股定理，得(r _|)2 =(_3)2過2 .解得r = 9.例2 2018年河北省中考第25题占八、如图 1 ,A( 5,0), B( 3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，/ CB0= 45,CD/AB，/ CDA =P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.变化， t的(1) 求点C的坐标；(2) 当/ BCP = 15时，求t的值；(3) 以点P为圆心，PC为半径的O P随点P的运动而 当O P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求 值.答案(

5、1)点C的坐标为(0,3).(2)如图 2，当 P 在 B 的右侧，/ BCP = 15 时，/ PC0 = 30, t =43 ；如图 3,当 P 在 B 的左侧，/ BCP = 15 时，/ CP0= 30, 43 .(3)如图4，当O P与直线BC相切时，t= 1; 如图5,当O P与直线DC相切时，t = 4;如图6,当O P与直线AD相切时，t = 56图4图5图6例3 2018年无锡市中考模拟第28题图一如图1,菱形ABCD的边长为2厘米，/ DAB = 60.点P从A出发，以每秒 3厘米的速度沿 AC向C作匀速运动； 与此同时，点 Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射 线作匀速

6、运动.当点 P到达点C时，P、Q都停止运动.设 点P运动的时间为t秒.(1)当P异于A、C时，请说明PQ/BC;(2) 以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，O P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？答案 (1)因为心,空 3t -，所以A2 =竺.因此pq/bc .AB 2 AC 2/32AB AC(2)如图 2，由 PQ = PH = 1 pc，得 t =丄(2.3 -、3t).解得 t =4 3 -6 .2 2如图3,由PQ = PB,得等边三角形 PBQ .所以Q是AB的中点，t = 1 .如图 4,由 PQ = PC,得 t =2 一 3 i、3t

7、解得 t =3-,3 .如图5,当P、C重合时，t= 2.因此，当 4 3-6或1 v t 3 - 3或t = 2时，O P与边BC有1个公共点.当4.3 -6 v t w 1时，O P与边BC有2个公共点.1.7因动点产生的相切问题例1 2018年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1,已知O O的半径长为3,点A是O O上一定点，点 P为O O上不同于点 A的动点.(1 )当tan 时，求AP的长；2(2) 如果O Q过点P、0,且点Q在直线AP上(如图2),设AP = x, QP = y,求y关于x的 函数关系式，并写出函数的定义域；(3) 在(2)的条件下，当tanA =4时(如图3),存

8、在O M与O 0相内切，同时与O Q相外3例2 2018年河北省中考第25题如图 1 ,A( 5,0), B( 3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，/ CBO= 45,CD/AB，/ CDA = 90。.点0CP从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间 为t秒.(1) 求点C的坐标；(2) 当/ BCP = 15时，求t的值；(3) 以点P为圆心，PC为半径的O P随点P的运动而变化，当O与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值.例3 2018年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，/ DAB = 60.点P从A出发，以每秒.3厘米的速度沿 AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发,以每秒1厘米的