§4.4各向同性弹性体

1、4.4 各向同性弹性体学习思路: 各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。 对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。 各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(lam)弹性常数l，m 表示；也可以通过工程弹性常数e, n, g 表示。 各弹性常数可由实验的方法测定。 学习要点：1. 各向同性弹性体； 2. 各向同性弹性体的应力和应变关系；3. 应变表示的本构关系； 4.

2、弹性常数与应力表示的本构关系。各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。 本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。因此 c11=c22=c33, c12=c23=c31, c44=c55=c66于是其应力应变关系简化为 其独立的弹性常数仅为c11，c12和c44。 但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。为了简化分析

3、，将坐标系沿z 轴旋转任一角度j。新旧坐标系之间的关系如下所示： x y z x l1=cos j m1=sin j n1=0 y l2=-sin j m2=cos j n2=0 z l3=0 m3=0 n3=1 根据应力分量转轴公式，可得 根据应变分量转轴公式 将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则 因为，所以 。根据应力应变表达式，可得 。 比较上述两个公式，可得，2c44 = c11-c12。所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。其应力和应变关系为其中，。为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令 则同性材料的本构关系公式可以简化为 或写作张量表达式 上述公式即为各向同性弹性材料

4、的广义胡克（hooke）定理，l，m称为拉梅（lam）弹性常数。 如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应力分量均应为零。根据各向同性材料的本构关系的后三式可见，此时所有的切应变分量也为零。 根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点， 应力主方向和应变主方向是一致的。 因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于各向同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。 设体积应力为, 将拉梅公式的前三式相加，可得上式称为体积应变的胡克定理。如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数e，n，g表示胡克定律，有 这里e为弹性模量，又称为杨氏模量；g为切变

5、弹性模量；v为横向变形系数，简称泊松比。 工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为， 由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此 各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量e，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量g。其余的弹性常数可以通过上述公式计算得到。4.5 各向同性弹性体的应变能学习思路: 本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。 如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。 将本构关系表达式代入应变能函数公式，则可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。由于泊松比n 恒小于1，所以应变能函数是恒大于零的。这就是说，单位体积的应变能总是正的。学习要点： 1. 各向同性弹性体应变能。弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。 根据应变能函数表达式， 对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变能。 将本构关系表达式代入上式，则可以写作应变分量