大学物理学 第四章机械振动

1、1,第,4,章,振动,4.1,简谐振动及其描述,4.2,简谐振动的动力学方程,4.3,简谐振动的能量,4.4,简谐振动的合成,4.5,阻尼振动,受迫振动,共振,作业,2,8,10,11,12,13,14,15,16,17,2,因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的,基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流,交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运,动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描,述却与机械振动类似。因此,机械振动的研究也,为光学、电学,交流电工学、无线电技术等打下,了一定的基础,任何一种复杂的机械振动都可以看成多个简谐,振动的叠加,学习机械振动的意义,一个物理量的取值在某

2、一数值附近作来回,往复,的变化则称该物理量在振动,机械振动,物体在某一位置附近作来回往复的运动,振动在空间的传播,波动,振动,4,阅读材料,频谱分析,利用付里叶分解可将任意振动分解成若干简谐振动,S.H.V,simple harmonic vibration,的叠加,合成的逆运算,对周期性振动,T,周期,cos,2,1,0,k,k,k,t,k,A,a,t,x,T,2,k,1,基频,k,2,二次谐频,2,k,3,三次谐频,3,决定,音调,决定,音色,高次谐频,5,物理上,一般振动是多个简谐振动的合成,数学上,付氏级数,付氏积分,也可以说,S.H.V,是振动的基本模型,或说,振动的理论建立在,S.

3、H.V,的基础上,cos,2,1,0,k,k,k,t,k,A,a,t,x,4.1,简谐振动及其描述,简谐振动,物体运动时，离开平衡位置的位移,或角,位移,按余弦,或正弦,规律随时间变化,cos,0,t,A,x,速度,sin,d,d,0,t,A,t,x,v,加速度,cos,d,d,0,2,2,2,t,A,t,x,a,6,A,离开平衡位置的最大距离,圆频率,秒,内,所,作,的,全,振,动,次,数,2,单位时间内所作的全振动的次数,T,2,完成一次全振动所需的时间,T,1,初位相,周期,时刻的位相,t,t,A,简谐振动的特征参量,振幅,频率,7,1,振动曲线法,t (s,x(m,0,0.02,0.5

4、,1.0,2,2,cos,02,0,t,x,二,简谐振动的几何描述方法,8,x,x = A,cos,t,0,0,o,x,t = 0,A,t,0,t = t,A,优点,初位相直观明确,比较两个简谐振动的位相,差直观明确,2,旋转矢量法,1,2,1,2,t,t,2,A,2,1,A,1,x,0,9,o,x,A,2,A,1,A,3,1,2,1,2,t,t,1,2,k,A,2,A,3,两个振动为反相,A,1,A,2,两个振动为同相,k,2,例,一物体沿,X,轴作简谐振动，振幅,A=0.12m,周期,T=2s,当,t=0,时,物体的位移,x,0.06m,且向,X,轴正向运动,求,1,简谐振动表达式,2,t

5、,T/4,时物体的位置、速度,和加速度,3,物体从,x,0.06m,向,X,轴负方向运动，第一,次回到平衡位置所需时间,10,例,一物体沿,X,轴作简谐振动，振幅,A=0.12m,周期,T=2s,当,t=0,时,物体的位移,x,0.06m,且向,X,轴正向运动。求,1,简谐振动,表达式,2,t,T/4,时物体的位置、速度和加速度,3,物体从,x,-0.06m,向,X,轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间,解,(1,取平衡位置为坐标原点,谐振动表达式写为,cos,0,t,A,x,其中,A=0.12m, T=2s,T,2,初始条件,t,0,x,0,0.06m,可得,06,0,cos,12,0,

6、0,3,0,0,sin,0,0,A,v,3,0,3,cos,12,0,t,x,2,由,1,求得的简谐振动表达式得,3,sin,12,0,d,d,t,t,x,v,3,cos,12,0,d,d,2,t,t,v,a,在,t,T/4=0.5s,时，代入所列的表达式可求,11,3,当,x,-0.06m,时，该时刻设为,t,1,得,2,1,3,cos,1,t,3,4,3,2,3,1,t,因该时刻速度为负,向,x,轴负方向运动,应舍去,4,3,设物体在,t,2,时刻第一次回到平衡位置,x,0,相位是,3,2,2,3,3,2,t,s,83,1,2,t,因此从,x,-0.06m,处第一次回到平衡位置的时间,s,

7、83,0,1,2,t,t,t,另解：从,t,1,时刻到,t,2,时刻所对应的相差为,6,5,3,2,2,3,s,83,0,t,x,1,3,2,0,x,2,3,振幅矢量的角速度,t,3,cos,12,0,t,x,3,sin,12,0,d,d,t,t,x,v,12,例一,弹簧振子,0,d,d,2,2,2,x,t,x,2,m,k,令,0,d,d,2,2,x,m,k,t,x,d,d,2,2,t,x,m,kx,ma,f,而,整理得,x,o,x,kx,f,f,4.2,简谐振动的动力学问题,一,简谐振动实例,cos,t,A,x,解得,13,二,简谐振动特征参量的确定,A,1,由系统本身的结构确定,A,2,由

8、初始条件确定,确定,和,即由,时的位置坐标和速度,0,0,0,v,x,t,2,简谐振动的证明,0,t,2,2,2,x,d,x,d,cos,t,A,x,1,14,cos,0,A,x,sin,0,A,v,2,2,0,2,0,v,x,A,0,0,tg,x,v,t,cos,A,x,t,sin,A,v,0,t,15,1,单摆,m,mg,几种常见的简谐振动,sin,mg,M,重力的切向分力,5,3,sin,5,3,sin,t,ma,mg,sin,t,a,2,2,d,d,sin,t,m,mg,很小,小于,5,0,时,0,d,d,2,2,g,t,g,2,令,g,T,2,所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角,

9、谐振动）。重力的分力（准弹性力,0,d,d,2,2,2,t,通解为,cos,0,t,m,16,2,复摆,一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆,刚体的质心为,C,对过,O,点的转轴的,转动惯量为,I,O,C,两点间的距离为,h,令,据转动定律，得,若,角度较小时,sin,d,d,2,2,mgh,t,I,mgh,t,I,2,2,d,d,I,mgh,2,0,d,d,2,2,2,t,mgh,I,T,2,2,g,m,C,O,17,例,1,已知一弹簧振子，振幅为,频,率,为,A,0,2,0,0,0,v,A,x,t,求振动方程,3,t,cos,A,x,2,cos,0,0,A,A,x,t,0,sin,0,A,v,

10、3,3,t,cos,A,x,解,18,h,M,k,m,0,x,m,M,gh,m,v,2,0,2,2,0,2,0,v,x,A,0,0,tg,x,v,例,2,如图示，在倔强系数为,k,的弹簧下，挂一质量为,M,的托盘,质量为,m,的物体由距盘底高,h,处自由下落与盘做完全非弹性碰撞,而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为,t,0,时刻，求振动方程,x,第几象限,k,mg,g,k,M,k,m,M,x,0,解,关键是求振幅和初位相，取碰后,m,M,整体振动,的平衡位置位坐标原点，向下为,x,轴正方向，则,初始条件为,19,例,3,已知某简谐振动的曲线如图所示,试写出该振动的位移与时间的关系,解,简谐振动

11、的方程为,x,A,cos,t,其中,A,6.0,10,2,m,当,t,0,时,x,0,A,2,由曲线可知,当,t,0,时,切线的斜率大于零,因此速度,v,0,0,所以,3,当,t,1s,时,x,0,由曲线可知,当,t,1s,时,切线的斜率,小于零,因此,v,0,所以,3,2,可得,2,3=5,6,简谐振动,的方程为,2,5,6.0,10,cos,m,6,3,x,t,由曲线可知,当,t,1s,时,位,移由正值变为负值,旋转,矢量应该处于,2,的位置,亦可知,3,2,t,s,0,6,x,cm,3,1,x,O,3,2,3,t,0,t,1s,20,简谐振动的能量,以水平弹簧振子为例,1,动能,4.3,

12、简谐振动的能量,sin,2,1,2,1,0,2,2,2,2,t,A,m,mv,E,K,0,2,1,m,in,2,m,ax,k,k,E,kA,E,2,4,1,1,kA,dt,E,T,E,T,t,t,k,k,sin,2,1,0,2,2,t,kA,cos,2,1,2,1,0,2,2,2,t,kA,kx,E,P,2,势能,情况同动能,p,p,p,E,E,E,m,in,m,ax,系统总的机械能,2,2,1,kA,E,E,E,p,k,简谐振动系统机械能守恒,sin,0,t,A,v,m,k,21,谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线,2,2,1,kA,E,P,E,k,E,E,0,t,t,A,x,cos

13、,0,t,x,2,4,1,kA,E,E,p,k,22,简谐振动的动力学解法,1,由分析受力出发,由牛顿定律列方程,2,由分析能量出发,将能量守恒式对,t,求导,例,弹簧竖直放置时物体的振动,m,0,l,0,x,x,x,o,弹簧原长,挂,m,后伸长,某时刻,m,位置,f,伸,长,受弹力,平衡位置,k,解：求平衡位置,mg,kx,0,k,mg,x,0,以平衡位置,O,为原点,kx,kx,kx,mg,x,x,k,mg,F,0,0,因此,此振动为简谐振动,23,如果振动系统除去本身,恢复力之外还有其它恒,力作用。振动系统仍作,简谐振动。以振动系统,在恒力作用下的平衡位,置为原点，则可按常规,立刻写出简

14、谐振动的微,分方程或振动表达式,在本例中,0,d,d,2,2,x,m,k,t,x,cos,t,A,x,m,0,l,0,x,x,x,o,弹簧原长,挂,m,后伸长,某时刻,m,位置,f,伸,长,受弹力,平衡位置,k,24,例：一质量为,m,的物体从倾角为,的光滑斜面顶点处由静,止滑下，滑行,后远后与质量为,M,的物体发生完全非弹性,碰撞,M,与倔强系数为,k,的弹簧相连，碰前,M,静止于斜面,求：运动方程,m,M,k,解,1,取,m,与,M,碰撞连在一起,后的平衡位置为坐标原点,设此时弹簧在,m,与,M,的压,缩下退了,x,0,x,0,原,长,M,m,x,0,坐标系如图,0,X,0,sin,kx,

15、g,M,m,kx,t,x,M,m,2,2,d,d,以振动系统在恒力作用下的平衡位置,为原点，则可按常规立刻写出简谐振,动的微分方程或振动表达式,kx,x,x,k,g,M,m,t,x,M,m,sin,d,d,0,2,2,25,例：一质量为,m,的物体从倾角为,的光滑斜面顶点处由静,止滑下，滑行,后远后与质量为,M,的物体发生完全非弹性,碰撞,M,与倔强系数为,k,的弹簧相连，碰前,M,静止于斜面,求：运动方程,kx,t,x,M,m,2,2,d,d,M,m,k,以碰撞时作为,记时起点,动量守恒,sin,2,0,g,M,m,m,v,初位置,sin,0,g,k,m,x,0,0,2,0,2,0,x,v,

16、tg,v,x,A,cos,t,A,x,A,和,0,由初始条件确定,26,C,kx,v,M,m,2,2,2,1,2,1,0,d,d,kx,t,v,M,m,0,d,d,2,2,kx,t,x,M,m,解,2,取平衡位置,x,0,为,系统势能,的零点,系统机械能守恒，有,简谐振动的动力学解法,2,由分析能量出发,将能量守恒式对,t,求导,M,m,k,27,解：平衡时,0,点为坐标原,点。物体运动到,x,处时,速度为,v,设此时弹簧的长度为,L,d,d,v,L,l,t,x,L,l,速度为,弹簧、物体的动能分别为,2,0,2,1,6,1,d,2,1,v,v,m,L,l,l,L,m,E,L,K,2,2,2,

17、1,v,M,E,K,例：劲度系数为,k,质量为,m,的均匀弹簧,一端固定，另一端,系一质量为,M,的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其,运动,m,M,前提,弹簧各等长小段变形,相同，位移是线性规律,弹簧元,d,l,的质量,l,L,m,m,d,d,位移为,x,L,l,x,X,M,0,v,d,l,l,28,系统弹性势能为,系统机械能守恒，有,将上式对时间求导,整理后可得,因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微运动时,弹簧振子的运动可视为是简谐运动,常数,常数,2,2,kx,E,P,2,2,2,2,1,6,1,2,1,kx,m,M,v,v,2,2,2,1,3,2,1,kx,m,M,v,0,d,d

18、,3,kx,t,m,M,v,0,3,d,d,2,2,x,m,M,k,t,x,2,k,m,M,T,3,2,2,29,4.4,简谐振动的合成,1,同方向同频率的两个简谐振动的合成,分振动,x,1,A,1,cos,t,10,x,2,A,2,cos,t,20,合振动,x,x,1,x,2,x,A,cos,t,0,合振动是简谐振动,其频率仍为,两个同方向同频率,简谐振动的合成仍,是简谐振动。合振,动的频率与分振动,的频率相同,30,cos,1,1,1,t,A,x,cos,2,2,2,t,A,x,A,1,A,2,A,1,x,A,1,x,A,2,x,A,1,2,o,x,2,2,1,x,x,x,cos,t,A,

19、cos,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,A,A,A,A,A,y,A,2,y,A,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,cos,cos,sin,sin,tg,A,A,A,A,A,A,A,A,x,x,y,y,o,x,1,A,2,A,n,A,A,1,2,A,一,同直线上,同频率简谐振动的合成,31,两种特殊情况,1,若两分振动同相,20,10,2,k,k,0,1,2,2,若两分振动反相,20,10,2,k,1,k,0,1,2,如,A,1,A,2,则,A,0,则,A,A,1,A,2,两分振动相互加强,则,A,A,1,A,2,两分振动相互减弱,cos,2,10,20,2,1,2,2

20、,2,1,A,A,A,A,A,两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种,现象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义,32,3,同方向不同频率的两个简谐振动的合成,拍,两个简谐振动的频率,1,和,2,很接近，且,1,2,两个简谐振动合成得,2,cos,2,cos,2,0,1,2,1,2,t,t,A,x,x,x,1,x,2,合振动可视为,角频率为,1,2,2,振幅为,2Acos,2,1,t,2,的准简谐振动,随时间变化很慢可,看作合振动的振幅,随时间变化较快可,看作作谐振动的部分,cos,cos,0,2,2,0,1,1,t,A,x,t,A,x,33,1,A,o,X,1,2,A,2,A,同一直线上

21、,不同频率简谐振动合成,旋转矢量,几何法分析,cos,2,2,2,2,t,A,x,cos,1,1,1,1,t,A,x,重合,2,1,A,A,A,2,1,A,A,A,反向,1,2,1,2,1,2,2,2,T,1,2,1,2,2,1,T,拍,合振动忽强忽弱的现象,34,5,6,1,拍频,单位时间内强弱变化,的次数,2,1,好拍频.swf,35,两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式,消时间参数，得,cos,10,1,t,A,x,sin,cos,2,10,20,2,10,20,2,1,2,2,2,2,1,2,A,y,A,x,A,y,A,x,cos,20,2,t,A,y,合运动一般是在,2,A,1,x

22、,向,2,A,2,y,向,范围内,的一个椭圆,椭圆的性质,方位、长短轴、左右旋,在,A,1,A,2,确定之后,主要决定于,20,10,4,相互垂直的简谐振动的合成,36,1,20,10,0,两个分振动同相位，得,x,A,A,y,1,2,在任一时刻离开坐标原点位移为,cos,2,2,2,1,t,A,A,s,2,20,10,两个分运动反相位，得,x,A,A,y,1,2,几种特殊情况,sin,cos,2,10,20,2,10,20,2,1,2,2,2,2,1,2,A,y,A,x,A,y,A,x,37,3,20,10,2,得,1,2,2,2,2,1,2,A,y,A,x,4,20,10,3,2,仍然得,

23、1,2,2,2,2,1,2,A,y,A,x,这是坐标轴为主轴的椭圆,质点的轨迹是顺时针旋转,与,3,相同，只是质点的轨,迹沿逆时针旋转,38,几种特殊情况,10,20,0,2,4,3,4,5,2,3,4,7,4,39,方向垂直的不同频率的简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,可看作两频率相等而,随,t,缓慢变化，合运动轨迹将按,上页图依次缓慢变化,轨迹称为李萨如图形,两振动的频率成整数比,t,1,2,0,4,2,3,10,20,y,x,40,无阻尼自由振动,物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无,阻尼自由振动,阻尼振动,物体在弹性力（或准弹性力）和,阻力,作用下产生的运,动称阻尼振动,

24、4.5,阻尼振动,受迫振动,共振,阻尼振动的种类,在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过,程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种,一种是由于介质对振,动物体的摩擦阻力，使振,动系统的能量,逐渐变为热,运动的能量,而造成能量损,失。这称,摩擦阻尼,另一种是由于振动物体引起,邻近质点振动，使振动系统的能,量逐渐向四周辐射出去,转变为,波动的能量,而造成系统能量损,失。这称,辐射阻尼,41,阻尼振动,dt,dx,v,f,r,弹性力和上述阻力作用下的微分方程,在流体,液体、气体,中运动的物体，当物体速度较小时,阻力,速度,阻力系数,t,x,kx,t,x,m,d,d,d,d,2,2,m,2,2,0

25、,m,k,令,称,0,为振动系统的固有角频率，称,为阻尼因子,0,2,2,0,2,2,x,dt,dx,dt,x,d,42,1,2,0,2,阻尼较小时,此方程的解,2,2,0,cos,0,t,Ae,t,x,t,这种情况称为,欠阻尼,0,2,2,0,2,2,x,dt,dx,dt,x,d,由初始条件决定,A,和初相位,0,设,0,0,0,d,d,0,0,v,t,t,x,x,x,t,即有,0,0,0,0,0,cos,sin,cos,A,A,A,x,v,2,2,0,0,2,0,x,x,A,v,0,0,0,0,x,x,tg,v,43,欠阻尼下,1,振幅特点,振幅,A,t,A,e,t,cos,0,t,Ae,t,x,t,振幅随,t,衰减,2,周期特点,严,格,讲,阻,尼,振,动,不,是周期性振动,更不是,简谐振动,因为位移,x,t,不是,t,的周期函数,但阻尼振动有某种,重复性,2,0,2,2,阻尼较大时，方程的解,t,t,e,e,t,x,C,C,2,1,2,0,2,2,0,2,其中,C,1,C,2,是积分常数，由初始条件,来决定，这种情况称为,过阻尼,无振动发生,44,t,e,t,C,C,t,x,2,1,3,如果,2,0,2,方程的解,无振动发生,C