奥数：1-2-3等差数列应用题

1、等差数列应用题目tM怔 例题精讲【例1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7,项数=（150-17） +1=20【答案】20【例2】 一个队列按照每排 2, 4, 6, 8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例 1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的

2、两个数配对，可配成 25对.所以 2 4 696 98 100 = （ 2+100） 25=103 25= 2550（方法二）根据 123.98 99 105050，从这个和中减去 13 5 7 . 99的和，就可得出此题的结果，这样从反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫.【答案】2550【例3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有 5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有 9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？

3、由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式一一第门项=首项+公差（n-1）,所以，第102项=3+2（102-1） = 205；由 项数=（末项-首项尸公差十1”，999所处的项数是： （9993）2+1 =996 斗 2 +1 =498+1 =499【答案】499【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层.问最下面一层有多少根 ？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型

4、】解答【解析】将每层圆木根数写出来，依次是：5, 6, 7, 8, 9, 10 ,可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1,项数是28求的是第28项我们可以用通项公式直接计算.解：an =印（n 1） d=5 （28 -1） 132（根）故最下面的一层有 32根.【答案】32【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比其上面一层多 4块砖，已知最下层 2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少 块？【解析】项数=（2106-2）韶+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）吃=1054，数列和=中间项X项数=10

5、54 527=555458，所以中间一层有 1054块砖，这堆砖共有 555458块。【答案】555458【例4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】（方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3,末项为10,项数为8由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：（3/0 8“2=：52 （根）（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关 键（如图）这个槽内的钢管共有 8层，每层都有3 10

6、 =13 （根），所以槽内钢管的总数为：（3 10） 8 = 104（根）.取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104十2 =52 （根）【答案】52【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多 2个座位，最后一排有 70个座位，这个剧院一共有多 少个座位？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】第一排座位数：70 -2 （20 -1）=32 （个），一共有座位：（32 70） 20“2=1020 （个）.【答案】1020【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有 12个座位，第三排有14个座位，最后一排他们数了一下，一共有 210个座

7、位，思考一下，剧院中间一 排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、 容易知道，是一个等差数列.210是第n （210 - 10 “ 2仁1（排,中间一排就是第（101 1） 2 =51排，那么中间一排有： 10 （51-1 2 =110 （个）座位.根据刚刚学过的中项定理，这个剧场一共有：110 101=11110（块）.【答案】11110【例5】一辆双层公共汽车有 66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上 三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？

8、【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】通过尝试可得：12 311 （1 11） 11亠2 = 66，即第11站后，车上坐满乘客.记住自然数110的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数.【答案】11【例6】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下.问：时钟一昼夜打多少下？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：(12 3 (I 12)12 (1 12) 12 “2 12 =78 12 =90 (下),所以一昼夜时钟一共敲打：90疋2 =180 (下

9、)【答案】180例 7】 已知：a =1 399 101, 2 4 | 98 100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大多少？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】(方法一)计算： a(1 101 51-、2 =2601, b(2 100)50“2 =2550，所以 a 比 b 大，大 2601 -2550 =51 .(方法二)通过观察，a中的加数从第二个数起依次比b中的加数大1,所以a比b大，a b =1(32) +(5 4) +”)+(9998)+(101100)= 51【答案】51【例8】 小明进行加法珠算练习，用12-3| ，当加到某个数时，和是1000.在验算时发

10、现重复加了一个数，这个数是多少？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【关键词】第十一届，迎春杯【解析】通过尝试可以得到1 2 - | 44 (1 44) 44“ 2=990 .于是，重复计算的数是 1000 990 =10 .【答案】10【例9】 编号为1 9的9个盒子里共放有 351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖.如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答.由等差数列求和公式和=(首项十末项)项数子2 ”，可得：末项=和汉2+项数首

11、项.则第9个盒子中糖果的粒数为：351 2 “9-11=67 (粒)题目所求即公差 =(67-11)+(9-1) = 56 + 8=7 (粒)，则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖.【答案】7【巩固】例题中已知如果改为 3号盒子里放了 23粒糖呢？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】等差数列有个规律：首项末项二第2项倒数第2项 第3项倒数第3项，所以我们可以得到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n项，则和=(第a项+第n-a+1项)n “2,则倒数第3个盒子即第(9-3,1)个盒子中糖果的粒数为：351 2“ 9-23 =55 (粒)题目所求即公差 =(55-23)耳(7

12、-=32 + 4=8 (粒)，则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖.【答案】8【例10】小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得 60元；小高第一个月得到500元工资，以后每月多得 45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】小王：1000+60X (12-1) =1660，( 1000+1660) X12吃=15960小高：500+45X (12-1) =995，(500+995) 12+2=8970，15960-8970=6990即一年后两人所得工资总数相差6990元。【答案】6990【巩固】王芳大学毕业找

13、工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算，王芳应聘 公司工作收入更高。【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，决赛【解析】 甲公司五年之内王芳得到的收入为：10000 11000 12000 13000 - 14000 =60000(元).乙公司五年之内王芳得到的收入为：10000 5 300 600 900 1200川 300 9=50000 30045=63500(元).所以，王芳应聘乙公司工作收入更高.【答案】635

14、00【例11】在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656,且第一名的分数超过了 90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】他们的平均分为656弋=8282+1、82+2、82+3都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1 X2=2、2 X2=4、3 X 2=6若第四名为82+仁83分，则第一名为83+ （4-1） X2=89分，不符合题意，舍；若第四名为82+2=84分，则第一名为 84+ （4-1）用=96分，不符合题意；若第四名为82+3=85分，则第一名为85+ （4-

15、1） X5=103分，不符合题意。因此，第四名为 84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分【答案】88【例12】若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新 排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子.共有多少个盒子？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的.我们设除了空盒子以外一共有n个盒子小明回来查看时，原来那个空盒子现在不空了，但是小明却没有发现有

16、人动过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子这样，原 来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子.原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装一个棋子来代替它，那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的棋子依次是0, 1,2,3, n 根据这个等差数列的和等于 50多，通过尝试求出当n = 10时， 12 3 （ 0= ）110 1-=满足题意，其余均不满足这样，只能是n =10,即共有11个盒子.【答案】11 【例13】某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂

17、还剩工人250人.如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有 多少人.【考点】等差数列应用题【关键词】第九届，迎春杯，决赛解析】260人工作31天，工作量是【难度】3星【题型】解答260 31 =8060 （个）工作日假设每天从总厂派到分厂a个工人,第一天派去分厂的 第二天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为a个工人在总厂的工作量为0个工作日; a个工作日;第三天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为2a个工作日;第31天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为 30a个工作日.从而有：9455 =0 a 2a 3a 30a

18、 80609455 -8060 =a（12 3 |l丨 30）1395 =a （1 30） 30一：一2 =465a求得a =3 那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有3汉31 =93 （人）【答案】93【例14】右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有8层，问：最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图形由多少根火柴棍摆成？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答层12345678小三角形柴数3691215182124【解析】最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:由上表看出，各层的小

19、三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列. 最大三角形面积为：（1 3 | 15 12（1 -15） 8- 2 12 =768（平方厘米）. 火柴棍的数目为：3 6 924 =（3 24 8“2=108（根）.【答案】768108 【巩固】如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列.已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别【考点】等差数列应用题【题型】解答是100, 200, 300 .求所有结点上数的总和.【关键词】走美杯【解析】如下图，各结点上放置的数如图所示从100到300这条直线上的各数的平均数是2

20、00，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200 所以 21个数的平均数是200，总和为200 21 =4200 .100120- 140140160 180/ / 八160一180200220【答案】4200【巩固】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形, 角形，如果这个大的等边三角形的底边放用这样的等边三角形， 按图所示铺满一个大的等边三10根火柴，那么一共要放多少根火柴？【考点】等差数列应用题（向上的三角形2个,【解析】如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形向下的三角形1个）看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形.这10层三角形每层所需火柴数就是构成

21、上图中所有阴影三角形的边数和自上而下依次为：3,6, 9,3 10 它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10.求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即3 6 9 I 30 (3 30) 10“ 2 =33 5=165(根)所以，一共要放165根火柴【答案】165【例15】盒子里放有编号19的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取 3个，如果从第二次起每 次取出的球的编号的和都比上一次的多9,那么他第一次取的三个球的编号为 .【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛【解析】根据题意知道这九个小球的编号和为：12.9=45，

22、若想每次去球都比上一次的多9,则从数论角度来看本题就是将45拆三个数字和，并且三个数字和的公差为9,所以第一次取球为45 -9 -9 2亠3 =6，所以第一次去的 3个求的编号为：1、2、3.【答案】1、2、3.【例16】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】用x表示小明少加的那个数，1997 x = (1 n n“2 , (1 - n n =3994 2x，两个相邻的自然数的积比3994大一些，因为(1 n n和n2比较接近，可以先找 399

23、4附近的平方数，最明显的要 数3600 = 60 60 ,而后试算两个相邻自然数的乘积61 62=3782,62 63 =3906, 63 64 = 4032 ,所以n =63,正确的和是2016,少加的数为：20161997 =19 .【答案】19【例17】黑板上写有从1开始的一些连续奇数:1, 3, 5, 7, 9,擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是 【考点】等差数列应用题【难度】3星【关键词】2004年，走美杯【解析】1, 3, 5, 7, (2n -1),这n个奇数之和等于【答案】172008，那么擦去的奇数是.【题型】解答n2, 45 =2025 ,擦去的奇数是 2025-2

24、008 = 17 .【巩固】小明住在一条胡同里一天，他算了算这条小胡同的门牌号码他发现，除掉他自己家的不算，其余各门牌号码之和正好是100.请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家的门牌号码是多少？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：170=55，所以和在100附近的应该为114、或115,1 214=105，小明家门牌号为 5，共有14户人家；1十2+川+14+15=120，小明家门牌号为 20,不再115的范围，所以不符合题意.【答案】共有14户人家；门牌号为 5【例18】小丸子玩投

25、放石子游戏，从 A出发走1米放1枚石子，第二次走 4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此规律最后走到 B处放下35枚石子.问从A到 B路程有多远？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】先计算投放了多少次由题意依次投放石子数构成的数列是：1 , 3, 5, 7, 35.这是一个等差数列，其中首项 a1 =1，公差 d =2，末项 an = 35，那么 n = (an - a) d 1 = (35 -1) 2 T =18 ； 再看投放石子每次走的路程依次组成的数列：1,4, 7, 10,这又是一个等差数列， 其中首项 盯=1 ,公差d=3 , 项数n

26、=1 8 末项an= a，( n) 1( 1弋 1 一 3，其2和为Sn,(印) n2 ( 1 )5 2 亠1之 2米)477【答案】477【例19】如图，把边长为1的小正方形叠成 金字塔形”图，其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？【考点】等差数列应用题【题型】解答【解析】由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1， d = 2，a. =15，所以n =(151 -2+1=8，所以，白色方格数是：1十2+3+|十8 = (1+8)汇82=36黑色方格数是：12 3 山 7 (17 7 -：- 2 = 28 .【答案】

27、2810行为止【巩固】有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形照这样摆下去，到第 一共用了 根火柴棒.【解析】横向：1行：1 1根;2 行：1 3根；3 行：1 3 5 5 根;10 行：13 517 19 19纵向：1行：2根；2行：2 4根；3行：2 4 6根；10行：2 4 III 20根总共有(13 5 (川7 19 19 (2 4 6 川 20( 1 19 10亠 2 19 (2 20) 10“ 2 =100191 1(根).【答案】22912个时，白色三角形有【例20】如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列当两种三角形的数量相差个.【考点】等差数列应用题【难度】3暑4

28、题【题型】解答【关键词】2008年，第九届，中环杯，初赛【解析】根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1 , 2 , 3 , 4，排列，所以第12个图形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1 2 311 =66(个).【答案】66888,但她重复【例21】木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是计算了其中一个数字问：木木重复计算了哪个数字？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】用x表示木木多加的那个数，888 _X (1 n n-：-2 , (1 n n =1776 _2x ,两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，1600=40 40，试算：40 41=1640 ,41 42=1722，42 43=1806，所以 n =41，所以x =(1776 -41 42)亠2 =27 .【答案】27【巩固】奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米已知去时用了 4天，回来时用了 3天问：学校距离百花山多少千米？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮助解题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是