导数微积分公式

1、 导数、微分、积分公式总结 【导数】 （1）（u v） u v （2）（u v） uv u v （记忆方法：u v u v ，分别在“u”上、“v”上加） （3）（c u） c u（把常数提前） uv u v （4） （ v 0 ） v2 【关于微分】 左边：d打头 右边：dx置后 再去掉导数符号即可 【微分】 设函数u（x），v（x）皆可微，则有： （1）d（u v） du dv （2）d（u v） duv udv duv udv （3）d （ v 0 ） v2 （5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy f（u）（x） dx 其中y f（u），u （x） （6）反函数的导数： 1 f1

2、（y） f（x） 其中， f（x） 0 【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c） 0 （2）x的次幂： 1 【】 【 1】 （3）指数类： 【x】 【x】 lna （其中a 0 ，a 1） 【x】 【x】 （4）对数类： 1 1 log log （其中a 0 ，a 1） a x a xlna 1 （lnx） x （5）正弦余弦类： （sinx） cosx （cosx） sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC 0 （2）x的次幂： 【】 【 1】 d dx （3）指数类： 【x】 【x】 d lnadx （其中a 0 ，a 1） 【x】 【x

3、】 d dx （4）对数类： 1 1 dlog log dx （其中a 0 ，a 1） a x a xlna 2 1 dlnx dx x （5）正弦余弦类： dsinx cosxdx dcosx sinxdx 【导数】 ）其他三角函数： （6 1 sec2x （tanx） cos2x 1 （cotx） csc2x sin2x （secx） secxtanx （cscx） cscxcotx （7）反三角函数： （arcsinx） （1 x 1） / 1x2 （arccosx） （1 x 1） / 1x2 （ arctanx） x2 1 （arccotx） 1x2 【微分】 （6）其他三角函数：

4、1 dtanx sec2xdx cos2x 3 1 dcotx csc2xdx sin2x dsecx secxtanxdx dcscx cscxcotx dx （7）反三角函数： darcsinx dx （1 x 1） / 1x2 darccosx dx （1 x 1） / 1x2 darctanx dx x2 1 darccotx dx 1x2 导数的应用（一） 中值定理 特殊形式 【拉格朗日中值定理】【罗尔定理】 【拉格朗日中值定理】 如果函数y f（x）满足： （1）在闭区间a ，b上连续； （2）在开区间（a ，b）上可导。 则：在（a ，b）内至少存在一点（ a b ），使得 f（

5、b） f（a） f（） b a 【罗尔定理】 如果函数y f（x）满足： （1）在闭区间a ，b上连续； （2）在开区间（a ，b）上可导； （3）在区间端点的函数值相等，即f（a） f（b）。 则：在（a ，b）内至少存在一点（ a b ），使得f（）0。 4 导数的应用（二） 求单调性、极值（辅助作图） 【单调性】 （1）如果x （a ，b）时，恒有f（x） 0 ， 则f（x）在（a ，b）内单调增加； （2）如果x （a ，b）时，恒有f（x） 0 ， 则f（x）在（a ，b）内单调减少。 【极值】 若函数f（x）在点x?处可导，且f（x）在x?处取得 极值，则f（x?） 0 。 导数的

6、应用（三） 曲线的凹向与拐点（辅助作图 ） 【凹向】 设函数y f（x）在区间（a ，b）内具有二阶导数， （1）若当x（a ，b）时，恒有f（x） 0 ， 则曲线y f（x）在区间（a ，b）内上凹； （2）若当x（a ，b）时，恒有f（x） 0 ， 则曲线y f（x）在区间（a ，b）内下凹。 【拐点】 曲线上凹与下凹的分界点。 第一类：常数的积分 C 0dx 的积分）1 C （ dx x C kx kdx 次幂的积分 第二类：x的 】 1 1 【 【】 （1） C x dx x 1 【注意：绝对值】第三类：倒数的积分 1 ） （dx ln|x| C x 0 x 第四类：指数的积分 】 【x x】 1 【 a 1），（a 0 Ca dx a lna 【x】 【x】 e dx e C 第五类：三角函数的积分 sinxdx cosx C cosxdx sinx C 5 tanxdx ln|cosx| C 【选记】 cotxdx ln|sinx| C 【选记】 sec2x