机械工程控制基础系统的稳定性概述(ppt 46页).ppt

1、5 系统的稳定性,机械工程控制基础,5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh（劳斯）稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据 5.4 Bode（伯德）稳定判据 5.5 系统的相对稳定性,5.1 系统稳定性的初步概念,1 稳定性的概念,稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一,定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定,2 稳定的充要条件,系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征

2、根均位于左半s平面,根据系统稳定的定义，若 ,则系统是稳定的,必要性,充分性,5.1 系统稳定性的初步概念,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,避免直接求解特征根，讨论特征根的分布,1)必要条件,说明,例1,不稳定,不稳定,可能稳定,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,2) 劳斯（Routh）判据,劳斯表,劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,10,10,例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,0,例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在

3、右半平面的极点数,3) 劳斯判据特殊情况处理,某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时: 将此0改为e ， 继续运算,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,s5 s4 s3 s2 s1 s0,5,25,0,0,0,0,例4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,D(s) = (s+j5)(s-j5) (s+1) (s+1+j2) (s+1-j2) =0,D(s) = s5+3s4+12s3+20s2+35s+25,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,出现全零行时： 用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次， 用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算,列辅助方程,例

4、4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,D(s) = (s+j5)(s-j5) (s+1) (s+1+j2) (s+1-j2) =0,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,s5 s4 s3 s2 s1 s0,5,25,0,0,10,25,0,例4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,D(s) = (s+j5)(s-j5) (s+1) (s+1+j2) (s+1-j2) =0,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,例4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,D(s) = (s+j5)(s-j5) (s+1) (s

5、+1+j2) (s+1-j2) =0,计算劳斯表时,某一行各项全为零。 这表明特征方程具有对称于原点的根:系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号 相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。 其根的数目总是偶数的,这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅助方程求得,列辅助方程,S=j5,s5 s4 s3 s2 s1 s0,0,2,16 /e,0,8,2,0,列辅助方程,例5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0,e,第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定,(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,4) 劳斯判据的应用,例6 某单位反

6、馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统 能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围,解 依题意有,系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,例7 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围,解,1,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,2)当 x=2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围,当 x=2 时，进行平移变换,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,问题讨论,1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关,2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环

7、零点无关,闭环零点影响系数Ci ，只会改变动态性能,闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能,3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系,5.2 Routh（劳斯）稳定判据,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部,由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性,不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题,由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性,可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,1、Nyquist稳定判据的基本原理,1） 映射原理 Nyquis

8、t判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数 S平面上的点,将按式映射到F(S)平面上的相应点;零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,映射原理：设C为s平面上不经过F(s)的任何极点的封闭曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则当动点s顺时针在C上围绕一周时,映射到F(s)平面上的闭曲线将顺时针围绕坐标原点N 次，且有 N=z-p,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,2）特征函数F(s)与G(S)H(S)的关系,系统结构图如图所示,设,令,F(s)

9、的特点,极点 pi : 开环极点,零点 li : 闭环极点,个数相同,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,F(s)的零点就是闭环传递函数的极点。 F(s)的极点就是开环传递函数的极点,设F(s)在右半s平面有,P个极点 (开环极点,Z个零点 (闭环极点,Z=2,P=1,s 绕包围整个右半平面的奈氏路径顺时针转过一周,F(jw)绕F平面原点转过的角度jF(w)为,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,s 绕奈氏路径一周时，F(jw)包围F平面(0, j0)点的圈数，既是开环幅相曲线GH(jw)包围G平面(-1, j0)点的圈数,2、Nyq

10、uist稳定性判据(一) 当系统开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统) a) 开环系统稳定时,即p=0,如果从-+时Nyquist曲线 G(j)H(j) 不包围(-1,0j)点, N等于零, 则z=0 , 闭环系统稳定; 否则不稳定 b)开环系统不稳定时,即p 1。如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)逆时针包围(-1,0j)点N次(N0),且N=-p,则z=N+p=0,系统稳定。否则系统不稳定。 c)当Nyquist曲线G(j)H(j) 通过(-l,0j)点时,表明在s平面虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定。 * z 0 , p

11、0,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,Nyquist稳定性判据(二) 当系统开环传递函数中有极点位于S平面虚轴上时(如I型及以上系统),如系统开环频率特性G(j)H(j)在从-+变化逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于G(s)H(s)位于s右半平面的极点数p,系统闭环极点数z=N+p=0,则闭环系统稳定。否则系统不稳定,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,3、Nyquist轨迹,例1,设,不稳定,不稳定,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,例2 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性,解 依题有,不稳定,稳定,5.3

12、 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,应为,例3 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性,解 依题有,稳定,不稳定,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,含有位于,上极点和/或零点的特殊情况,变量,沿着,轴从,运动到,从,到,变量,沿着半径为,的半圆运动，再沿着正,轴从,运动到,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,即按常规方法作出由0+ 变化时的Nyquist曲线后，从G(j0)开始，以的半径顺时针补画v90 的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上,例4 已知单

13、位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性,解 依题有,稳定,不稳定,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,例5 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性,解 依题有,稳定,不稳定,5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,例6 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性,稳定,不稳定,对数稳定判据,5.4 Bode（伯德）稳定判据,5.4 Bode（伯德）稳定判据,例7 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性,不稳定,稳定,不稳定,注意问题,闭环系统不稳定,闭环系统稳定,计算错,2. 应为-，按=0图型取得的N应乘2，此时N 的最小单位为二分之一,当s平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边 绕出半径为无穷小的圆弧；G平面对应要补充大圆弧,3,5.4 Bode（伯德）稳定判据,5.5 系统的相对稳定性,时域（t,系统动态性能,稳定边界 稳定程度,频域（w,稳定程度,虚轴,阻尼比 x,到(-1,j0)的距离,1,j0,稳定裕度,开环频率指标,1 稳定裕度的定义,的几何意义,剪切频率,相角裕度,相位交界频率,幅值裕度,的物理意义,5.5 系统的相对稳定性,2 稳定裕度的计算,解法I：由幅相曲线求,1)令,试根得,5.5 系统的