立体几何答案

1、立体几何一、基础知识回顾：1. 给出下列四个推理：若点 A 平面，则直线 AB 平面；若 A、B、 C 三点可以确定一个平面，则点 B直线 AC；若经过A、 B、 C 三点的平面有无数个，则A、 B、C 三点共线；若直线AB平面，直线 AB平面，则与是同一个平面. 在以上推理中，正确的有3个 .2. 下列命题：四边相等的四边形的菱形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则该四边形是圆内接四边形；在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条； 四条直线两两平行，无三线共面，它们可确定6个平面；空间四边形的内角和一定是360；有两边和它们的夹角对应相等的两

2、个三角形全等.其中正确的命题个数是2.3. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1 的正方形和 4 个边长为1 的正三角形组成，2。则该多面体的体积是64. ABC 的边 AB=5 ，BC=3 ，AC=4 ，设分别以此三边为轴，把ABC 旋转一周，所得旋转体的体积为V AB ，V BC，V AC ，则它们的大小关系是V BC.V ACV AB5. 已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子 (无上盖 )，上口放着一个半径为 5cm 的钢球， 则球心到盒底的距离为10cm.D6. 如图， A, B, C , D 为空间四点，在ABC 中， AB 2, AC BC2 .A等边三角形 ADB 以

3、 AB 为轴运动 . 当 CD =_ 2 _时， CD面 ABC .BC7. 关于直线 m、 n 和平面 、 有以下四个命题： 当 m，n， 时， mn， 当 mn， m，n时， 当= m，mn 时， n且n， 当 mn，= m 时， n或 n 。其中假命题的序号是.8. 已知 P 为四面体S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点，且点P 与顶点 S 的距离等于点P 到底面 ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点 P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是DA. 圆或椭圆B. 椭圆或双曲线C. 双曲线或抛物线D. 抛物线或椭圆二、例题精讲：例 1. 如下图，两个全等的正方形ABCD 和 A

4、BEF 所在平面相交于AB，M AC，N FB 且 AM=FN，求证：MN 平面 BCE.证：在 BC 上取点 P，使CPCMMPCM=,连结 MP ，则 MP/AB, 且=CBCAABCA在 BE 上取点 Q，使 BQ = BN ,连结 MQ ，则 NQ/FE, 且 NQ = BNBEBFFEBF连结 PQCMBNMPNQCA=BF,AM-FNCM=BN=CABFABFEMP=NQMP/AB,NQ/FE.AB/FEMP/NQMNQP是平行四边形MN/PQ又 MN 面 BCE,PQ 面 BECMN 平面 BCE.AFDMNBQEPC例 2. 如图，四边形 ABCD 为矩形， BC 上平面 AB

5、E ，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE.(1)求证： AE BE；(2)设点 M 为线段 AB 的中点，点 N 为线段 CE 的中点求证： MN 平面 DAE C(1)BF平面 ACE,AE面 ACEDBF AENFBC 面 ABE,AE面 ABEABC AEMB又BFBC=B,BF面 BCE,BC面 BCEAE面 BCEEBE面 BCEAE BE(2) 取 QE 中点 P，连结 PA,PN在 EDC 中EP=PD,EN=NCPN /1DC2AM=1AB,AB / DC2PN / AMMNPA 是平行四边形MN/PAMN面 DAEPA面 DAEMN 平面 DAE例 3如图，已知空间四

6、边形ABCD 中，ABC AC, ADBD ， E 是 AB 的中点求证：（ 1） AB平面 CDE；E（2）平面 CDE 平面 ABC （3）若 G 为ADC 的重心 , 试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF/ 平面 CDEC（ 1）在CAB中，BC=AC,AE=EBCEBAB在DAB中，=,AE=EBDEABAD BDCEDE=E,CE面 CDE,DE面 CDEDAB平面 CDE（ 2）由（ 1）知 AB面 CDE又 AB 面 ABC平面 CDE 平面 ABC（3）结论： F 是 AE的三等分点（距点2E 较近）即 AF= AE3理由：连结 AG并延长交 DC于 H，连结 FG，E

7、HG 是ADC 的重心AG2=3AH2AF2AFAGAF=AE 即=3AE=3AEAHFG/EHFG 面 CDE,EH面 CDEFG/面 CDE, 即 GF/ 面 CDE例 4. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M、 N 分别是 AB、AC 的中点， G 是 DF 上的一动点 . （1）求证： GN AC;（2）当 FG=GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP/平面 FMC , 并给出证明 .（1）由三视图可知，ABCD为正方形FDA为等腰三角形且FDAECB连结BD,FBN 为FDAC 中点AD,FDN 必在 DC.ADBD 上且为DC=D,ADBD中点面 ABCDDC面

8、ABCDAD面ABCDAC面ABCDFDAC又BDAC,FDBD=D,FD面FDBACGN面面FDBFDBGNAC（ 2）结论： P 即为点 A理由：取 FC 中点 H ，连结 HG,HM,GAGH 分别为 FD,FC 中点 GH / 1DC12AM=GH / AMAB,AB / DC2GHMA 为平行四边形GA/HMGA面 FMC,HM面 FMCGA/ 面 FMC P 点即为 A 点例 5. 如图所示，等腰 ABC 的底边 AB6 6 ，高 CD3 ，点 E 是线段 BD 上异于点 B，D 的动点，点 F 在 BC 边上，且 EF AB ，现沿 EF 将 BEF 折起到 PEF 的位置，使

9、PE AE ，记 BEx ， V( x) 表示四棱锥 PACFE 的体积（ 1）求 V (x) 的表达式；（ 2）当 x 为何值时， V ( x) 取得最大值？（ 3）当 V (x) 取得最大值时，在线段 AC 上取一点 M，使得 AM42 ，求证： MF 平面 APE .PDEABFC（1）（翻折不改变“”）EFAB 即 BEEFPEEFPEAE,EFAE=EEF面 ACFE,AE面 ACFEPE面 ACFEPE 为四棱锥P-ACFE 的高1V(X)=S ACFE ? PE3BE=XPE=BE=X在 BDC 中CD DB,FEDBCD/DB,FEDBCD/FEEFBE=BDDCXXEF= B

10、E ? DC=6? 3=BD36S ACFE =S ABC -S BEF1? CD-1= ABBE ? EF22= 1 ? 6 6 ? 3- 1X ? X= 9 6 -X 222626V(X)=1( 96 - X 2) ? X326= 36 X-6X336E 在 BD上0x36V(X)=36 X6X 3 (0x 3 6 )36(2) V (X)=3 6 -6X2,0x 3 612令 V (X)=0 得 X=6(X= -6 舍去 )列表X(0,6)63 6 )(6,V (X)+0V(X)极大值当 X=6 时， V(X) 取得最大值（3） AC=AD 2DC 263 = 3 7CM=AC-AM=3

11、 6 -42CM3 7 -426CA=7=1-33在 BDC 中， BE=6,DE=DB-BE= 3 6 -6EF/DCCFDE3 6 - 66CB=1-DB3 63CMCF=CACBMF/AB即 MF/AMMF面 APE,AE面 APEMF/ 面 APE三、课后巩固练习：1 D、E 分别是三棱锥PABC的侧面 PAB，PBC的重心， AC=a，则 DE的长为1ADa.2F2. 边长为 a 的正方形的直观图的面积为2 a2.4BCE3. 如图， E、 F 分别为正方形ABCD 的边 BC， CD 的中点，沿图中虚线将边长为2 的正方形折起来，围成一个正三棱锥，则此三棱锥的体积是134.一圆柱形

12、铁管的高是底面半径的5 倍，其全面积为 12，同一段铁丝在铁管上缠绕4 圈，使得铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线上，则铁丝的最短长度为25 6425.已知直线 l平面，直线 m平面，则下列四个命题：/l m ；l / m ； l / m； lm/其中正确命题的序号是_ _.6 设 , , 为两两不重合的平面，l mn 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若,，则/；若若/， l，则 l /；若其中正确命题的序号为./,m /,n，则 mn ；mn, m /,n，则/7.给出下列关于互不相同的直线m,n, l 和平面 ,的四个命题：（1） m, lA,点Am, 则 l与 m 不共面；（2）

13、l 、 m 是异面直线， l /, m/,且n l , nm, 则n；（3）若 l,m,lm 点A,l / , m /，则 /；（4）若 l /,m /, /,则l / m其中真命题是（1）（2）（3）（填序号）8.用平行于四面体 ABCD一组对棱 AC和 BD的平面截此四面体得一四边形 MNPQ.( ) 求证： MNPQ是平行四边形 .( ) 若 AC BD，能截得菱形吗 ?如何截 ?( ) 在什么情况下，可以截得一个矩形?( ) 在什么情况下，能截得一个正方形吗?如何截 ?( ) 若 ACBDa，求证：平行四边形MNPQ的周长一定 .( ) 若 ACa，BDb，AC和 BD所成的角为，求四

14、边形MNPQ面积的最大值( )AC/ 面MNPQ ， AC面ADC ， 面MNPQ面ADC=PQ AC/PQ 同理 AC/MN PQ/MN 同理 MQ/NP MNPQ 是平行四边形（线 /面线/ 交线）( )能， M 、 N 、Q、P 分别为 AB 、BC、 DC、 DA 中点( )ACBD( )AC=BD 且 ACBD ， M 、N 、P、 Q 为 AB 、 BC、DC、DA 中点( )设 DQ =t，则AQ =1-tPQ=tAC=ta ， MQ= （ 1-t ）BD= （ 1-t ）aCMNPQ =2（ PQ+MQ ）=2a 为定值DAAD( )设DQAQ=t ，则=1-tDAADS=PQ

15、? MQ? Sin =ta ?（ 1-t ）b ? SinMNPQ=t（ 1-t ） abSin=-(t-1 ) 2+ 1 abSin2 4当 t= 1 时，（ SMNPQ） min= 1 abSin249. 如图， M , N , K 分别是正方体ABCD A1B1C1 D1 的棱 AB,CD ,C1D1 的中点D（1）求证： AN /平面 A1 MK ；（ 2）求证：平面 A1 B1 C平面 A1MK 1KC1（1）连结 KN 1，则 KN / AA 1AB1KNAA 1 是平行四边形1AN/ A 1KAN 面 A1MK ， A 1K面 A1 MKAN / 平面 A1 MKDNC（ 2）设

16、 A 1C KM=0 ，连结 BC1A 1K 2= A 1D 1+D 1K 2 ，A 1K 2=A 1A 2 +AM 2A 1D1= A 1D 1， D1 K=AAMBA 1K 2 =A 1M 2，即A 1K= A 1 MABCDA1 B1C1 D1 是、是正方体0 为 KM 中点A 1OKMK C1=1C1 D1 ，MB=1 AB， C1 D1/ AB22K C1 / MBK C1BM 为平行四边形BC1/KMB 1C BC1BC1KMAOB 1CA O=C ，B1 C面 A 1B 1C，面 A 1B 1C11KM面 A 1B 1CKM面 A 1MK面 A 1B 1C面 A 1MK10. 如

17、图，在直三棱柱 ABCA1 B1C1 中，E、FA BA C分别是1、 1的中点，点 D 在 B1C1 上， A1DB1C。求证：（ 1）EF平面 ABC ；（2）平面 A1 FD平面 BB1C1C .（1）在A 1BC 中A 1E =EB, A 1F=FCEF/BCEF面 ABC,BC面 ABCEF平面 ABC（ 2） 直三棱柱BB 1面 A 1B 1C1A 1D面 A1 B1 C1、BB 1A1 D 即 A 1DBB 1又A 1DBC， B CBB1=B111CB1 C 面 BBC， B 1B面 BB1 C11C1A 1D面 BBC1C1A 1D面 A 1FD平面 A1 FD平面 BB1C

18、1C11. 如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C1 中， AC=BC ，点 D 是 AB 的中点（ I ）求证： CD平面 A1 ABB 1；（ II ）求证： AC 1/ 平面 CDB 1（ I ） AC=BC ， AD=DBCDAB直三棱柱B 1B 面 ABCCD面 ABCCD B1 B又 AB B 1B=BABA 1ABB 1B 1BA 1ABB 1CD平面 A1 ABB 1（ II ）连结 BC 交 B1 C 于 H ，连结 DHBD=DA ，BH=HC 1DH/A C1A C1面 CDB 1DB面 CDB 1A C1/ 面 CDB 112. 如图，在三棱锥 P ABC中， PAB是等边三角形， PAC= PBC=90 o （1）证明： ABPC（2）若 PC 4，且平面 PAC 平面 PBC ，求三棱锥 PABC 体积。（1）PA=PB，OPAC= PBC=90，PC=PCRtPBCRtPACCB=CA取 AB中点 D，连结 PD，CD则 PDAB ，CDAB又PDCD=D ， PD面 PDC，CDC 面 PDCAB面 PDCPC面