苏教版(理科数学)推理与证明单元测试

1、名校名 推荐提升 (36)推理与 明一、 1. 若 a,b,c是不全相等的 数, 求 :a 2+b2+c2ab+bc+ca. 明 程如下 :因 a,b,c r, 所以 a2+b2 2ab,b 2+c2 2bc,c 2+a2 2ac,又因 a,b,c 不全相等 ,所以以上三式至少有一个“=”不成立 ,所以将以上三式相加得2(a222+b +c )2(ab+bc+ac),所以 a2+b2+c2ab+bc+ca. 此 法是 (b) 中 . 资 源 库(a) 分析法(b) 合法(c) 分析法与 合法并用(d) 反 法解析 : 由已知条件入手 明 成立, 足 合法的定 . 故 b.2.(2016 南模

2、) 比平面内“垂直于同一条直 的两条直 互相平行”的性 , 可得出空 内的下列 ( d)垂直于同一个平面的两条直 互相平行;垂直于同一条直 的两条直 互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行;垂直于同一条直 的两个平面互相平行.(a) (b)(c) (d) 解析 : 垂直于同一个平面的两条直 互相平行, 正确 .垂直于同一条直 的两条直 不一定平行, 也可能是相交直 、异面直 , 故不正确 .垂直于同一个平面的两个平面不一定平行, 也可能是相交平面 , 如 角 , 故不正确 .垂直于同一条直 的两个平面互相平行,正确 .3. 按照 1 图 3的 律 , 第 10 个 中 点的个数 (b )

3、(a)36(b)40(c)44(d)52解析 : 因 根据 形 , 第一个 有 4 个点 , 第二个 有 8 个点 , 第三个 有 12 个点 , , 所以第 10 个 有 10 4=40 个点 , 故 b.4. 在 abc中, 不等式+ +成立 ; 在四 形 abcd中 , 不等式+ + 成立 ; 在五 形 abcde中,+ + + 成立 . 猜想在 n 形中 , 成立的不等式 (c)(a)+1名校名 推荐(b) + + (c) + + (d) + + 解析 : 通 察 不等式左 多 形的各个内角的倒数之和, 右 的分子 数的平方,分母 多 形的内角和, 而 n 形的内角和 (n-2) ,

4、故猜想在n 形中成立的不等式 + +, 故选 c.5. 用反 法 明命 “ f(x)=x 3+3|x-a|(a r) 数 , 方程 f(x)=0 至少有一个 根” 时 ,正确的假 是 (a)(a) 方程 f(x) 没有 根(b) 方程 f(x)=0至多有一个 根(c) 方程 f(x)=0至多有两个 根(d) 方程 f(x)=0恰好有两个 根解析 : 由反 法 明命 的格式和步 , 可知 方程f(x)=0没有 根 , 故 a.6. 设 x,y, 0, 三个数 +,+,+(c)(a) 都大于 2 (b) 至少有一个大于 2(c) 至少有一个不小于2(d) 至少有一个不大于2解析 : 假 三个数都小

5、于2,则+2 ， f(8) 5，f(16)3. 察上10 n 正整数， f(n) 1 23n22述 果，按照上面 律，可推 f(128).解析： 察 f(2)3，f(4)2 ，f(8) 5，f(16)3 可知，等式及不等式右 的数构成首 3，公2221319差 的等差数列，故f(128) 6 .22229答案： 23 x4 x1 的解”有如下解 思路： 3 x4 x11.“求方程 ()( )f( x) ( ) () ， f( x)在 r 上 5555减，且 f(2) 1，所以原方程有唯一解x 2. 比上述解 思路，方程x6 x2 (x 2)3 (x2)的解集 3名校名 推荐3 x， f(x)是

6、奇函数，且 增函数，由方程6232解析： 令 f( x) xx x (x 2) x 2得 f(x )f(x 2)，故 x2x 2，解得 x 1,2，所以方程的解集 1,2 答案： 1,212 察下列等式：11 2 3 n 2n(n1)；111 3 6 2n(n 1)6n(n 1)( n2)；111 4 10 6n(n 1)(n2) 24n(n 1)(n 2)(n 3)；可以推 ， 1 5 15 1.24n(n1)(n2)(n3) 11解析：根据式子中的 律可知，等式右 5 43 2 1n(n 1)( n2)( n3)( n4) 120n(n1)( n2)( n 3)(n4) 1答案：n(n1)

7、( n 2)( n 3)(n 4)三、解答 10(2017 西运城山4 月模 改 )宋元 期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉 中提出了一个“茭草形段” ：“今有茭草六百八十束，欲令落一形( 同 )之， 底子几何？”他在 一 中探 了“ ”中的落一形 (“落一形”即是指 上一束，下一 3 束，再下一 6 束， )成三角 的堆 ，故也称三角 ，如 ，表示从上往下第二 开始的每 茭草束数，求本 中三角 倒数第二 茭草 束数 多少？解析 由 意得，从上往下第n 茭草束数 12 3 nn n1，2n n 1 680，1 3 6 21111即 26n n1 2n 1 2n n 1 6n(n 1)(n

8、2) 680，n(n 1)(n 2) 15 16 17，n 15.4名校名 推荐故倒数第二层为第14 层，该层茭草总束数为14 15 105.2答案 10513已知函数y f(x)满足：对任意a， b r， a b，都有 af(a) bf(b)af(b) bf(a) ，试证明： f(x)为 r 上的单调递增函数证明 设任意 x1， x2 r，取 x1 x1f(x2) x2 f(x1) ，x1 f(x1) f(x2) x2f(x2) f(x1)0 ， f( x2) f(x1)(x2 x1)0，x10 ，即 f(x2 )f(x1)y f( x)为 r 上的单调递增函数14 abc 的内角 a， b， c 所对的边分别为a，b， c.(1)若 a， b， c 成等差数列，证明：sina sinc 2sin(ac)；(2)若 a， b， c 成等比数列，求cosb 的最小值解 (1) 证明： a，b， c 成等差数列， ac 2b.由正弦定理得sinasinc 2sinb.sinb