第四节 实对称矩阵的对角化

1、一、实对称矩阵的性质,1,2,1,2,1,2,1,2,6.4.1,A,引理,设,是实对称矩阵,的两个特征值,是对应的特征向量,若,则,与,正交,证明,1,1,1,2,2,2,1,2,A,A,A,A,A,T,对称,1,1,1,1,1,T,T,T,A,1,1,T,T,T,A,A,1,1,1,1,2,2,2,2,T,T,T,A,2,2,1,T,1,2,2,1,0,T,2,1,1,2,即,与,正交,2,1,0,T,定理,实,对称矩阵的特征值为实数,1,A,n,P,P,AP,A,n,设,为,阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,使,其中,是以,的,个特征值为对角元,素的对角矩阵,定理,6.4.1,0,0,0,A

2、,n,A,r,E,A,n,r,r,设,为,阶实对称矩阵,是,的特征方程的,重根,则矩阵,的秩为,从而对应特征值,恰有,个线性无关的特征向量,推论,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为,1,1,2,11,12,1,1,1,1,2,4,s,s,r,s,sr,T,r,r,s,r,P,P,P,AP,P,AP,diag,E,E,E,L,L,L,L,令,则,为正交阵且有,二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法,1,1,0,s,E,A,A,L,由特征方程,解得,的所有特征值,设所有的,不同的特征值为,1,2,2,0,1,2,i,i,i,i,i,ir,E,A,X,i,s,L,L,对每个,分别求出齐次线

3、性方程组,的,基础解系,设之为,1,2,1,2,3,1,2,i,i,i,i,ir,i,i,ir,i,s,L,L,L,对基础解系,进行施密特正交化和单位化,得到正交的单位向量组,解,1,2,2,2,2,4,2,4,2,E,A,由于,2,1,2,8,8,16,1,4,2,4,2,1,2,3,2,7,所以,1,2,2,2,2,4,2,4,2,A,例,1,对下列实对称矩阵，求出正交矩阵,使,得,为对角阵,AP,P,1,P,1,第一步,求,A,的特征值,2,2,7,0,i,E,A,X,A,第二步,由,求出,的正交的特征向量组,1,2,2,0,E,A,X,对,解齐次线性方程组,由,得基础解系,1,2,2,

4、2,1,0,0,1,1,2,2,2,2,4,4,2,4,4,E,A,1,2,2,0,0,0,0,0,0,1,2,对,正交化得,1,1,2,1,0,2,5,2,1,4,2,2,1,5,1,1,1,3,7,7,0,E,A,X,对,解齐次线性方程组,由,8,2,2,7,2,5,4,2,4,5,E,A,0,18,18,2,5,4,0,9,9,5,2,1,2,0,1,1,0,0,0,1,2,1,0,0,1,1,0,0,0,得基础解系,3,1,2,2,第三步,将特征向量单位化,1,1,1,2,5,2,1,1,1,1,5,5,0,0,得,2,2,2,2,2,3,5,5,1,5,4,4,5,3,3,5,1,5,3,5,3,3,3,1,3,1,1,1,2,2,3,3,2,2,3,1,2,3,2,2,1,5,3,5,3,1,4,2,3,5,3,5,2,0