第三章向量组的线性关系与秩课堂

1、联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,1,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,2,第三讲,向量组的线性关系与秩,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,3,考试大纲要求,一）考试内容,向量的概念,向量的线性组合和线性表示,向量组的等价,向量组的线性相关性,向量组的极大无关组和秩,矩阵的秩,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,4,二）考试要求,1,理解,n,维向量的概念，向量的线性组合和线性,表示,了解,向量组等价的概念,2,理解,向量组的线性

2、相关和线性无关的定义,了,解,并会用向量组的线性相关和线性无关的有关性,质及判别法,3,理解,向量组的极大无关组和秩的概念,理解,矩阵,的秩的概念及其行列向量组的秩的关系,会,求矩阵的,秩及向量组的极大无关组和秩,本章的理论,基础,线性表示,线性相关性,极大无关组和秩,矩阵的秩,4,理解,向量组等价的概念,理解,矩阵的秩与其行,列,向量组的秩之间的关系,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,5,1,向量,由,n,个数组成的有序数组称为一个,n,维向量,这些,数为它的,分量,向量可表示成,1,2,n,aa,a,L,1,2,n,a,a,a,M,或,作为,向量,

3、它们没有,区别,但是作为,矩阵,它们是,不,同的,通常把它们分别称为,行向量,和,列向量,一、基本概念,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,6,一个,的矩阵的每一行是一个,n,维向量，称为,它的,行向量,每一列是一个,m,维向量，称为它的,列,向量,常常用矩阵的,列向量,组来写出矩阵,m,n,1,1,1,2,1,2,1,2,2,2,1,2,n,n,n,n,n,n,a,a,a,a,a,a,a,a,a,L,L,L,L,L,L,L,例如当矩阵的列向量为,时，记为,1,2,n,L,1,2,n,A,L,矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等,零向量等等,联,合,

4、班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,7,2,线性运算和线性组合,向量组的线性组合,s,2,1,设,是一组,n,维向量,是一,组数，则称,1,2,s,c,c,c,L,s,s,c,c,c,2,2,1,1,为,的,线性组合,它也是,n,维向量,s,2,1,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,8,二,线性表示,设,是一个,n,维向量组,1,2,s,L,1,n,维向量,可用,表示，即,是,的一个线性组合，也就是说存在数组,使得,1,2,s,L,1,2,s,L,1,2,s,c,c,c,L,1,1,2,2,s,s,c,c,c,L,例如,

5、c,b,a,1,1,0,0,2,0,1,0,3,0,0,1,则,1,2,3,a,b,c,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,9,又如,c,b,a,1,1,0,0,2,0,1,0,3,1,1,0,看,c,c,0,则不能表示,c=0,则,1,2,a,b,或,1,3,ab,b,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,10,问题是,判断,可否用,线性表示,表示,方式是否唯一？”这也就是问：向量方程,1,2,s,L,1,1,2,2,s,s,x,x,x,L,是否有解？解是否唯一,设,则此向量方程就是,1,2,s,A,L,A,X,反

6、过来,判别“以,为增广矩阵的线性方程组是否,有解？解是否唯一？”的问题又可转化为,是否可,以用,A,的列向量组线性表示,表示方式是否唯一,的问题,A,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,11,如果向量组,可以用,线性,表示,则矩阵,可,分解,为,矩阵,和,一个,矩阵,C,的,乘积,1,2,s,L,1,2,t,L,1,2,s,L,1,2,t,L,2,如果,n,维向量组,中的每一个都可以用,1,2,s,L,1,2,s,L,1,2,s,L,1,2,s,L,线性表示,就说向量组,可以,用,线性表示,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,

7、州,学,院,12,例如,1,1,2,2,2,3,3,3,1,2,2,3,3,则,b,1,b,2,b,3,a,1,a,2,a,3,3,3,0,0,2,2,1,0,1,一般地,C,可以这样构造,它的第,i,个列向量,就是对,i,1,2,s,L,1,2,t,L,的分解系数,称,C,为,对,1,2,s,L,的一个表示矩阵,C,不是唯一的,记号,可以表示,不可以表示,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,13,3,等价关系,如果,与,互相可,表示,s,2,1,t,2,1,t,s,2,1,2,1,就称它们,等价,记作,t,s,2,1,2,1,向量组的线性表示关系有传递

8、性,即如果向量组,1,2,s,L,1,2,t,L,1,2,r,L,1,2,s,L,1,2,t,L,可以用,线性表示,而,可以用,线性表示,则,可以用,1,2,r,L,线性表示,等价关系也有传递性,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,14,三,向量组的线性相关性,1,意义和定义,从三个方面看线性相关性,如果向量组,中有向量可以用其它的,s,1,个向量线性表示,就说,线性相关,1,2,s,L,1,2,s,L,如果向量组,中每个向量都不可以用其,它的,s-1,个向量线性表示,就说,线性无关,1,2,s,L,1,2,s,L,0,0,1,1,a,0,1,0,2,a

9、,1,0,0,3,a,如,线性无关,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,15,两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例,如,1,23,1,2,3,a,a,a,a,b,b,b,b,1,12,23,3,b,c,a,bc,a,bc,a,线性相关,不妨设,即,b,ca,0,0,1,1,a,0,1,0,2,a,1,0,0,3,a,1,0,1,4,a,线性相关,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,16,2,定义,设,是,n,维向量组,如果存在不,全为,0,的一组数,使得,s,2,1,s,c,c,c,2,1,0,2,2,1,1,

10、s,s,c,c,c,则说,线性相关,否则就说它们线性无关,1,2,s,L,说明,意义和定义是一致的,比如设,不为,0,则,s,c,1,1,2,1,2,1,s,s,s,s,s,s,c,c,c,c,c,c,L,当向量组中只有一个向量,s=1,时,它相关,无关,就,是它是,不是,零向量,线性无关即要使得,必须,全为,0,1,2,s,L,s,c,c,c,2,1,0,2,2,1,1,s,s,c,c,c,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,17,0,2,2,1,1,s,s,c,c,c,3,线性相关还是无关”就是向量方程,s,2,1,有没有非零解,如果令,则,1,2,

11、s,A,L,线性相关,无关,齐次方程组,AX=0,有,非零解,无非零解,只有零解,1,2,s,L,n,个,n,维向量,线性相关,1,2,n,L,1,2,0,n,L,n,个,n,维向量,线性无关,1,2,n,L,1,2,0,n,L,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,18,与线性相关性有关的性质,线性相关,至少有一个,可以用其,他向量线性表示,1,2,s,L,i,线性无关向量组的每个部分组都无关,当向量的个数,s,大于维数,n,时,一定线,性相关,1,2,s,L,例如若,无关，则,一定无关,5,4,3,2,1,4,2,1,如果,无关，而,相关，则,s,2,

12、1,2,1,s,s,2,1,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,19,当,时，表示方式唯一,无,关。（有唯一解,s,1,s,1,如果,可以用,线性表示，并且,t,s,则,线性相关,1,2,t,L,s,2,1,1,2,t,L,推论,如果两个线性无关的向量组互相等价，则它,们包含的向量个数相等,1,2,0,s,L,表示方式不唯一,有无穷解,相关,s,1,1,2,0,s,L,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,20,A,线性相关,C,线性相关,D,线性无关,例,1,设,线性无关，而,线,性相关,C,是任一常数，则,3,2

13、,1,3,2,1,c,3,2,1,B,线性无关,c,3,2,1,c,3,2,1,c,3,2,1,D,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,21,例,2,07,设向量组,线性无关，则下列向,量组线性相关的是,A,B,C,D,1,2,3,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,2,2,2,1,2,2,3,3,1,2,2,2,A,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,22,四、向量组的,极大无关组,和,秩,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,23,1,定

14、义,的一个部分组,称为它的一个,极大,无关组,如果满足,s,2,1,I,i,线性无关,ii,再扩大就相关,I,I,就称,I,为,的一个,极大无关组,称,I,中所包,含向量的个数为,的,秩,记作,s,2,1,s,2,1,1,2,s,r,L,条件,ii,可换为：任何,都可用,线性表示。也就,是,与,等价,i,I,I,s,2,1,如果,每个元素都是零向量，则规定其,秩为,0,s,2,1,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,24,由定义可以看出，如果,则,1,2,s,r,k,L,i,的每个含有,多于,k,个向量的部分组,相,关,1,2,s,L,ii,的每个含有,

15、k,个,向量的,无关,部分组,一定是,极大无关,组,1,2,s,L,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,25,秩有以下,性质,无关,s,2,1,1,2,s,r,s,L,1,2,1,2,1,s,s,s,r,r,L,L,L,1,1,1,1,1,t,s,s,t,s,r,r,L,L,L,L,L,1,1,t,s,r,r,L,L,t,s,1,1,1,1,1,1,s,s,t,t,r,r,r,L,L,L,L,向量组的秩的计算方法,阶梯形矩阵,B,行,s,2,1,1,s,r,B,L,的非零行数,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,2

16、6,阶梯形矩阵,4,1,0,2,0,0,1,2,5,1,0,0,0,2,3,0,0,0,0,0,如果有零行，则都在下面,各非零行的第一个非,0,元素的列号自上而下严格单,调上升。（或各行左边连续出现,0,的个数自上而下严,格,单调上升,直到全为,0,台角,各非零行第一个非,0,元素所在位置,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,27,简单阶梯形矩阵,最简形矩阵,1,台角位置的元素都为,1,是特殊的阶梯形矩阵,特点,为,2,台角正上方的元素都为,0,每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和,简单阶梯形矩阵,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,

17、大,学,广,州,学,院,28,0,0,0,0,0,2,3,1,0,0,0,1,5,2,1,0,0,2,0,1,4,0,0,0,0,0,3,2,0,0,0,1,5,2,1,0,0,2,0,1,4,19,4,1,0,0,3,4,0,2,0,2,13,13,0,1,2,0,0,1,2,0,2,2,3,3,0,0,0,1,0,0,0,1,2,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,3,1,0,0,0,2,13,0,2,1,0,8,19,0,2,1,0,1,一个矩阵用,行初等变换,化得的,阶梯形矩阵不是唯一的,化出,的,简单阶梯形矩阵是唯一的,联,合,班,线,性,代,数,教,

18、案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,29,例,3,03,四,给定向量组,a1=(1,0,2,a2=(1,1,3,a3=(1,-1,a+2,和,b1=(1,2, a+3,b2=( 2,1 ,a+6,b3=(2,1,a+4,当,a,为何值时,和,等价,a,为何值时,和,不等价,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,30,例,4,06,设,均为,n,维列向量,A,为,矩,阵，下列选项正确的是,A,若,线性相关，则,线性相关,B,若,线性相关，则,线性无关,C,若,线性无关，则,线性相关,D,若,线性无关，则,线性无关,1,2,s,L,m,n,1,2,s,

19、L,1,2,s,L,1,2,s,L,1,2,s,L,1,2,s,A,A,A,L,1,2,s,A,A,A,L,1,2,s,A,A,A,L,1,2,s,A,A,A,L,A,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,31,例,5,05,已知,线性相关，并且,求,1,1,1,2,a,a,1,2,a,1,2,3,1,2,3,4,a,1,a,1,2,a,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,32,例,6,10,设,若由,形,成的向量组的秩为，则,a,1,1,2,2,0,1,1,0,1,2,1,3,2,1,3,2,1,_,a,6,联,合

20、,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,33,3,有相同线性关系的向量组,两个向量组若有相同个数的向量,s,s,2,1,2,1,并且向量方程,0,2,2,1,1,s,s,x,x,x,0,2,2,1,1,s,s,x,x,x,同解,则称它们有,相同的线性关系,例如，当,A,经过,初等行变换,化为,B,时,A,的列向,量和,B,的列向量组有,相同线性关系,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,34,它们,对应的部分组,有一样的线性相关性,的对应部分组是,4,2,1,4,2,1,当两个向量组有,相同的线性关,系时,12,12,s,s,

21、L,L,若,相关，有不全为,0,的,使得,4,2,1,4,2,1,c,c,c,0,4,4,2,2,1,1,c,c,c,即,是,的解,从而也是,的解，则有,0,0,0,4,2,1,c,c,c,0,2,2,1,1,s,s,x,x,x,0,2,2,1,1,s,s,x,x,x,0,4,4,2,2,1,1,c,c,c,1,2,4,也相关,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,35,极大无关组相对应，从而,秩相等,有相同的内在,线性表示关系,如,4,2,1,3,4,2,1,3,2,3,2,3,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,

22、36,例,7,设,1,2,3,2,1,2,3,1,1,5,3,0,1,4,3,T,T,T,4,5,1,0,2,1,1,2,9,8,T,T,求,找出一个极大无关组,并将其余向量用线性无关组表示,1,2,3,4,5,r,2,1,0,1,1,1,1,1,0,2,2,5,4,2,9,3,3,3,1,8,A,极大无关组,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,4,1,3,4,1,2,5,1,3,5,或,或,或,1,1,1,0,2,0,3,2,1,3,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,B,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,37,2,1,0,1,1,1

23、,1,1,0,2,1,1,1,0,2,0,3,2,1,3,2,5,4,2,9,0,0,0,1,2,3,3,3,1,8,0,0,0,0,0,A,B,1,5,1,0,0,3,3,2,1,0,1,0,3,3,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,B,C,3,1,2,1,2,3,3,5,1,2,4,5,1,2,3,3,3,1,2,1,2,3,3,5,1,2,4,5,1,2,3,3,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,38,例,8,11,1,2,3,1,0,1,0,1,1,1,3,5,T,T,T,不能由,1,2,3,1,1,1,2,3,1,3,5,T,T,T,a

24、,线性表示,1,求,a,2,将,由,线性表出,1,2,3,1,2,3,1,a,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,39,五、矩阵的秩,1,定义,一个矩阵,A,的,行,向量组的秩和,列,向量组的,秩相,等,称此数为矩阵,A,的秩,记作,r(A,在,m,n,矩阵,A,中，任取,k,行,k,列,位于这些行列交叉处的,个元素，不改变它们在,A,中所处的位置次序而得的,k,阶行列式，称为矩阵,A,的,k,阶子式,k,m,k,n,2,k,设在矩阵,A,中有一个不等于,0,的,r,阶子式,D,且,所有,r+1,阶子式（如果存在的话）全等于,0,那么,D,称为矩阵,A,

25、的,最高阶非零子,式，数,r,称为矩阵,A,的,秩,记作,r(A,并规定,零矩阵的秩等于,0,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,40,1,0,3,1,2,1,3,0,2,1,2,1,7,2,5,4,2,14,0,10,A,行,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,3,1,3,3,0,2,1,3,0,1,1,0,3,0,2,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,C,行,A,的,行,向量组的,秩,C,的,行,向量组的,秩,C,的,列,向量组的,秩,A,的列向量组的,秩,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,

26、州,学,院,41,2,矩阵的秩的简单,性质,n,m,A,r,min,0,0,0,A,A,r,若矩阵,A,为,m,n,矩阵，则,m,A,r,如果,则,A,行满秩,如果,则,A,列满秩,n,A,r,对于,n,阶矩阵,A,如果,则,A,满秩,n,A,r,A,满秩,的行（列）向量组,线性无关,A,0,A,A,可逆,只有零解,唯一,解,0,A,x,Ax,命题,初等变换,保持,矩阵的,秩,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,42,3,矩阵秩的,性质,A,r,A,r,T,时,0,c,A,r,cA,r,B,r,A,r,B,A,r,B,r,A,r,AB,r,min,A,可

27、逆时,B,r,AB,r,B,可逆时,A,r,AB,r,B,r,AB,r,A,B,A,B,1,AB,r,B,r,A,可逆时,于是,B,r,AB,r,证,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,43,例,9,99,设,A,是,m,n,矩阵,B,是,n,m,矩阵，则,A,当,时,B,当,时,C,当,时,D,当,时,m,n,n,m,0,A,B,0,AB,0,AB,m,n,n,m,0,A,B,B,例,10,08,数一,设,为,3,维列向量，矩阵,证明,秩,若,线性相关，则,T,T,A,2,r,A,2,r,A,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,

28、广,州,学,院,44,若,则,A,的列数,B,的行,数,A,B,O,r,A,r,B,n,矩阵的,等价,两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称,它们,等价,矩阵的,等价,的充分必要条件为它们,类,型相同,秩相等,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,理,工,大,学,广,州,学,院,45,例,11,04,设,A,B,为满足,AB=O,的任意两个非零矩阵,则必有,A)A,的列向量组线性相关,B,的行向量组线性相关,B)A,的列向量组线性相关,B,的列向量组线性相关,C)A,的行向量组线性相关,B,的行向量组线性相关,D)A,的行向量组线性相关,B,的列向量组线性相关,A,联,合,班,线,性,代,数,教,案,华,南,