数列复习(一)

1、【点 】 想与 是由已知 未知的两种有效的思 方法， 察 是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关 是通 分析、比 、 想、 、 得 与 序数的一般 律，从而求得通 .【 式 1 】如下表定 函数f(x) ：x 1 2 3 4 5f(x) 5 4 3 1 2 于数列 an ，a1=4 ， an=f(an-1)，n=2,3,4 ， a2 008 的 是 ()a.1 b.2 c.3 d.4【解析】 a1=4 ， a2=1 ， a3=5 ，a4=2 ， a5=4 ，可得 an+4=an.所以 a2 008=a4=2，故 b. 型二 用 an=求数列通 【例 2 】已知数列 an 的前 n 和 sn ，

2、分 求其通 公式：(1)sn=3n-2;(2)sn=18(an+2)2 (an0).【解析】 (1) 当 n=1 ， a1=s1=31-2=1，当 n 2 时， an=sn-sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1 ，又 a1=1 不适合上式，故 an=(2) 当 n=1时， a1=s1=18(a1+2)2，解得 a1=2 ，当 n 2 时， an=sn-sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2，所以 (an-2)2-(an-1+2)2=0，所以 (an+an-1)(an-an-1-4)=0，又 an0 ，所以 an-an-1=4 ，可知 an 为等差数列，公差为 4

3、，所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)?4=4n-2 ，a1=2 也适合上式，故an=4n-2.【点拨】本例的关键是应用an= 求数列的通项，特别要注意验证a1 的值是否满足“n 2 ”的一般性通项公式.【变式训练2 】已知 a1=1 ，an=n(an+1-an)(n n*) ，则数列 an 的通项公式是()a.2n-1 b.(n+1n)n-1 c.n2 d.n【解析】由an=n(an+1-an)? an+1an=n+1n.所以 an=anan-1an-1an-2a2a1=nn-1n-1n-232 21=n ，故 d. 型三利用 推关系求数列的通 【例 3 】已知在数列an 中 a1

4、=1 ，求 足下列条件的数列的通 公式：(1)an+1=an1+2an;(2)an+1=2an+2n+1.【解析】 (1) 因 于一切n n* ， an 0，因此由 an+1=an1+2an得 1an+1=1an+2，即 1an+1-1an=2.所以 1an 是等差数列，1an=1a1+(n-1)?2=2n-1，即 an=12n-1.(2) 根据已知条件得an+12n+1=an2n+1，即 an+12n+1-an2n=1.所以数列 an2n 是等差数列， an2n=12+(n-1)=2n-12，即 an=(2n-1)?2n-1.【点 】通 公式及 推关系是 出数列的常用方法，尤其是后者，可以通

5、 一步的 算，将其 行 化，构造新数列求通 ， 而可以求得所求数列的通 公式.【 式 3 】 an 是首 1 的正 数列，且(n+1) ?a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3，)，求 an.【解析】因 数列an 是首 1 的正 数列，所以 anan+10 ，所以 (n+1)an+1an-nanan+1+1=0，令 an+1an=t，所以 (n+1)t2+t-n=0，所以 (n+1)t-n(t+1)=0，得 t=nn+1 或 t=-1( 舍去 )，即 an+1an=nn+1.所以 a2a1 ?a3a2 ?a4a3 ?a5a4 ? ?anan-1=12?23 ?34 ?45 ?

6、?n-1n ，所以 an=1n. 提高1. 出数列的前几 求通 ，常用特征分析法与化 法，所求通 不唯一.2.由 sn 求 an ，要分n=1 和 n 2 两种情况 .3. 出 sn 与 an 的 推关系，要求an ，常用思路是：一是利用sn-sn-1=an(n2) 转化 an 的 推关系，再求其通 公式;二是 化 sn 的 推关系，先求出sn 与 n 之 的关系，再求an.6.2等差数列典例精析 型一等差数列的判定与基本运算【例 1 】已知数列 an 前 n 和 sn=n2-9n.(1) 求 ： an 等差数列 ;(2) 数列 |an| 的前 n 和 tn ，求 tn 的表达式 .【解析】

7、(1) 明： n=1 ， a1=s1=-8，当 n 2 ， an=sn-sn-1=n2-9n-(n-1)2-9(n-1)=2n-10，当 n=1 ，也适合 式，所以an=2n-10 (n n*).当 n 2 ， an-an-1=2 ，所以 an 等差数列 .(2) 因 n 5 ， an 0 ， n 6 ， an0.所以当 n 5 ， tn=-sn=9n-n2，当 n 6 ， tn=a1+a2+a5+a6+an=-a1-a2-a5+a6+a7+an=sn-2s5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40，所以，【点 】根据定 法判断数列 等差数列，灵活运用求和公式 .【 式 1 】已知等差数列

8、an 的前 n 和 sn ，且 s21=42 ，若 bn=， 数列bn()a.是等差数列，但不是等比数列b. 是等比数列，但不是等差数列c.既是等差数列，又是等比数列d. 既不是等差数列，又不是等比数列【解析】本 考 了两 常 数列，特 是等差数列的性 .根据条件找出等差数列an 的首 与公差之 的关系从而确定数列bn 的通 是解决 的突破口.an 是等差数列， s21=21a1+21202d=42.所以 a1+10d=2，即 a11=2. 所以 bn= =22-(2a?11)=20=1，即数列bn 是非 0 常数列，既是等差数列又是等比数列.答案 c. 型二公式的 用【例 2 】 等差数列a

9、n 的前 n 和 sn ，已知 a3=12 ， s120 ， s130， s13=13a1+13(13-1)d20，即由 a3=12 ，得 a1=12-2d.将分 代入式，得所以 -247(2) 方法一：由 da2a3 a12a13 ，因此，若在 1 n 12 中存在自然数 n ，使得 an0 ，an+10，s13=13a70， a70 ， a70 ，故在 s1 ， s2 ， s12 中， s6 的 最大 .方法二：由da2a3a12a13，因此，若在1 n 12 中存在自然数n ，使得 an0 ，an+10 ， a2 008 ， a2 009是方程的两个根， sn 是数列 an 的前 n 的和，那么 足条件sn0 ，所以 a2 0080.当x2-3x-5=0 n=.