决战2021年中考数学复习知识点过关梳理练习：《圆的综合》（四）

1、决战2021年中考数学复习知识点过关梳理练习：圆的综合（四）1如图1，bc是o的直径，点a是o上的动点，adbc，垂足为d，弧ab弧ae，射线be分别交射线ad、ac于点f、g（1）当点a、e在直径bc两侧时，判断afg的形状，并说明理由；连接ce，求证：bdcd+ce；（2）若o的直径bc5，ce，求cd的长2已知：ab是o的弦，cd是o的直径，ab与cd相交于点e，连接ac、bc，acbc（1）如图1，求证：abcd；（2）如图2，过点e作efbc，交bo的延长线于点f，连接cf，求证：aecf；（3）如图3，在（2）的条件下，deoe，点g在ob的延长线上，连接dg，dgfcef，dg2

2、0，fg23，求ab的长3如图，o是abd的外接圆，ab为直径，点c是弧ad的中点，连接oc，bc分别交ad于点f，e（1）求证：abd2c（2）若ab10，bc8，求bd的长4如图，已知o是abc的外接圆，直径ad与bc垂直，垂足为点e（1）求证：abcacb；（2）连接ob，cd，若ob，cd5，求ce的长5如图，点d是等边三角形abc外接圆的上一点（与点a，c不重合），cead交bd于点e（1）求证：cde是等边三角形；（2）求证：adbe；（3）如果ad2，cd4，求ac的长6abe内接于o，c在劣弧ab上，连co交ab于d，连bo，cobe（1）如图1，求证：coab；（2）如图2，

3、bo平分abe，求证：abbe；（3）如图3，在（2）条件下，点p在oc延长线上，连pb，etab于t，p2aet，et18，op25，求o半径的长7如图，四边形abcd内接于o，连接ac、bd相交于点e（1）如图1，若acbd，求证：aede；（2）如图2，若acbd，连接oc，求证：ocdacb8如图，在o中的内接四边形abcd中，abad，e为弧ad上一点（1）若c110，求bad和e的度数；（2）若ec，求证：abd为等边三角形9如图，在rtabc中，acb90，点d在ac边上，以ad为直径作o交ab于点e，连接ce，且cbce（1）求证：ce是o的切线；（2）若cd2，ab4，求o的

4、半径10如图，abc内接于以ab为直径的o中，且点e是abc的内心，ae的延长线与bc交于点f，与o交于点d，o的切线pd交ab的延长线于点p（1）试判断bde的形状，并给予证明；（2）若apd30，be2，求ae的长参考答案1（1）解：等腰三角形，理由如下；bc为o的直径，bac90，abe+agb90，adbc，adc90，acd+dac90，弧ae弧ab，abeacd，dacagb，fafg，fag是等腰三角形；证明：在cb上截取dhcd，连接ah、ae，如图1所示：adbc，ahac，ahcach，弧ab弧ae，aebabe，aeab，ahc+ach+hac180，abe+aeb+ba

5、e180，acbaeb，hacbae，caehab，aceahb（sas），cehb，bddh+hb，bdcd+ce；（2）解：分两种情况：当点a、e在直径bc两侧时，如图1所示：由（1）得：bdcd+cecd+，bd+cdbc5，cd+cd5，解得：cd；当点a、e在直径bc同侧时，在cb上截取dhbd，连接ah、ae，如图2所示：弧ab弧ae，aceachaeb，abae，adbc，abc+bad90，badhad，bc是o的直径，becbac90，abc+acb90，badacb，ahcadh+had90+had，aecbec+aeb，ahcaec，在ahc和aec中，ahcaec（aa

6、s），chce，dhbd（bcch）（5），cdch+dh；综上所述，cd的长为或2解：（1）如图1，acbc，aobo，coco，aocboc（sss），acobco，ceab，即abcd；（2）如图2，coob，ocbobc，efbc，ofeobc，oefocb，ofeoef，oeof，bfbo+ofco+oece，而bcbc，cbfbce，cebbfc（sas），cebcfb90，ebfc，而aebe，aecf；（3）过点d作dmfg于点m，omdcfb90，cofmod，ocod，cfodmo（aas），dmcf，又gefbfbcbce，dmgcfb90，fcbmdg（aas），bcd

7、g20，gmbf，fmbg，则fobg，设fox，则bg2x，则bf232x，cobo233x，cf2bc2bf2202（232x）2，cf2co2fo2（233x）2x2，即202（232x）2（233x）2x2，解得x（舍去）或，cf12，则ab2ae2cf243（1）证明：c是的中点，abccbd，点f是ad的中点，oboc，abcc，abccbdc，abdabc+cbd2c；（2）解：连接ac，ab为o的直径，acb90，ac6，c是的中点，ocad，oa2of2af2ac2cf2，52of262（5of）2，of1.4，又o是ab的中点，f是ad的中点，of是abd的中位线，bd2o

8、f2.84（1）证明：adbc，abcacb；（2）解：连接oc，如图，设oex，则deodoex，在rtoec中，ce2oc2oe2（）2x2，在rtcde中，ce2cd2de252（x）2，（）2x252（x）2，解得x，ce5（1）证明：abc为等边三角形，bacacb60，bdcbac60，adbacb60，cead，decadb60，dcedecbdc60，cde为等边三角形；（2）证明：abc和cde为等边三角形，bcac，cecd，bce+aceacd+ace60，bceacd，在bce和acb中，bceacd（sas），bead；（3）解：过点c作cfad于f，cdfabc60

9、，dcf30，dfcd2，af4，cf2cd2df2422212，ac6（1）证明：如图1中，连接aoaob2e，cobe，aocboc，oaob，ocab（2）证明：如图2中，连接oa，oeoaoboe，oaboba，oebobe，ob平分abe，aboebo，oaboeb，aboebo（aas），abeb（3）解：如图3中，过点a作akpb于k，ahbe于hocab，aebbod，abbe，baeaeb，etab，atebdo90，eat+aet90，bod+obd90，aetobdobe，bpc2aet，abe2obe，bpoabe，pbd+bpd90，pbd+abe90，pbe90，a

10、kbp，ahbe，akbahbkbe90，四边形akbh是矩形，ahbk，bop+abo90，pbo+ebo90，aboebo，pobpbo，popb25，babe，etab，ahbe，ahet18，bkah18，pb25，pkpbbk7，op垂直平分线段ab，papb25，akp90，ak24，ab30，adbd15，pd20，odoppd25205，ob5o的半径为57证明：（1）acbd，即+，adbcad，aede；（2）作直径cf，连接df，如图2，acbd，aed90，ade+cad90，acbade，fcad，acb+f90，cf为直径，cdf90，f+fcd90，acbfcd，

11、即ocdacb8解：（1）四边形abcd内接于o，bad+c180，c110，bad70，abad，abdadb55，四边形abde内接于o，abd+e180，e125（2）四边形abcd是o的内接四边形，bad+c180，四边形abde是o的内接四边形，abd+e180，又ec，badabd，adbd，abad，adbdad，abd为等边三角形9（1）证明：如图，连接oe，de，acb90，a+b90，ad是o的直径，aeddeb90，dec+ceb90，cebc，bceb，adec，oeod，oedode，a+ade90，dec+oed90，即oec90，oeceoe是o的半径，ce是o的切线；（2）解：在rtabc中，acb90，cd2，ab4，bcce，设o的半径为r，则odoer，ocr+2，ac2r+2，ac2+bc2ab2，（2r+2）2+bc2（4）2，在rtoec中，oec90，oe2+ce2oc2，r2+bc2（r+2）2，bc2（r+2）2r2，（2r+2）2+（r+2）2r2（4）2，解得r3，或r6（舍去）o的半径为310解：（1）bde为等腰直角三角形，证明如下：如图，点e是abc的内心