简谐振动、振动合成

1、振动波动篇,振 动 (Oscillation,前言：振动和波动是物理中的重要领域,一、简谐振动,振动:一个物理量随时间作周期性变化,简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动都是简谐振动的线性迭加,定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化，这类运动称简谐振动,速度与加速度也都是周期变化的,二、简谐振动的速度、加速度,1、振幅A,物体离开平衡位置的最大距离,2、周期 T,单位：米，m,物体完成一次全振动所用的时间,单位：秒，s,频率v,1秒内物体完成全振动的次数,单位：赫兹，Hz,或曰,物体的运动状态完全重复一次所用的时间,三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相

2、位,3、圆频率,每隔周期T物体的运动状态复原,2秒内的振动次数 (单位：1/S或rad./S,4、相位与初相,t + )是t 时刻的相位,t时刻的相位反映t时刻的振动状态,由x =Acos(t +,初相(initial phase)是t = 0时刻的相位,t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不 一定是开始运动的时刻,反映t = 0时刻的振动状态(x0，0,要熟记典型 值所对应的振动情况和振动 曲线(如图,弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线,5、振幅与初相的确定,初始条件,有,2+(/)2,有,五、相位差,相位差-相位之差,对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差,= (t + 2)

3、- (t + 1,= 2 - 1,1.相位差和初相差,2.同相和反相,当 = 2k， ( k = 0,1,2,)，两振动步调相同，称同相,当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,)，两振动步调相反，称反相,3.领先和落后,若 = 2-1 0,则x2比x1较早达到正最大，称x2比x1领先(或x1比x2落后,领先、落后以 的相位角(或以 T/2的时间间隔)来判断,思考：在上图中，x1与x2两振动谁领先,1.在平衡位置附近来回振动。 2.受回复力作用,特点,1.弹簧质量不计,1.符合简谐振动的条件,2. 弹簧的振动,2.所有弹力都集中在弹簧上,3.质量集中于物体上,4.不计摩擦,弹簧振子,振动

4、位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量,回复力,3.振动位移,建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处,一维振动,令,有,简谐振动微分方程,其中A为振幅，为圆频率，为初相位,圆频率,只与弹簧振子性质有关,单位：rad/s,解微分方程,1.圆频率,2.周 期,3.频 率,均是作简谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,6.振动曲线,质量集中于小球上，不计悬线质量,取逆时针为 张角正向，以悬点为轴，只有重力产生力矩,”表示力矩与 张角方向相反,单摆,当,时,令,谐振动微分方程,周期,频率,与质量无关,圆频率,简谐振动的能量,简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交替变化,一、谐振动的

5、动能,Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化,二、谐振动的势能,机械能守恒，谐振过程保守力作功,谐振能量与振幅的平方成正比,三、谐振动的能量,旋转矢量,将物理模型转变成数学模型,矢量 A 以角速度 逆时针作匀速圆周运动,研究端点 M 在 x 轴上投影点的运动,初相,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,一、旋转矢量,1. M 点在 x 轴上投影点的运动,为简谐振动,2. M 点的运动速度,在 x 轴上投影速度,3. M 点的加速度,在x轴上投影加速度,M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程,M点速度在x轴投影，为谐振动的速度,M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度,结论,A,谐振动

6、,旋转矢量,t,T,振幅,初相,相位,圆频率,谐振动周期,半径,初始角坐标,角坐标,角速度,圆周运动周期,二、物理模型与数学模型比较,1.初始条件,三、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相,2.初始条件,取,3.初始条件,4.初始条件,取,1、 直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位 即 表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图 可直观地显示该综量,分析解析式,可知,用图代替了文字的叙述,如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零,质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,质点过平衡位置向负方向运动,同样,注意到,向正方向运动,或,或,由图看

7、出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2、方便地比较振动步调,位移与加速度,称两振动反相,若,3、方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动 求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间,解：设 t 时刻到达末态 由已知画出t = 0 时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为 因为,得,繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得,简谐振动的合成 （Superposition of Harmonic Oscillation,引,质

8、点同时参与两个振动，研究两个同方向同频率的振动合成,振动合成,分振动,合成后仍为谐振动，角速度不变,一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差的两个谐振动的合成,结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率的简谐振动,旋转矢量法求合振动,当,时（同相,合振动振幅最大,注意,当,时（反相,合振动振幅最小,若,合振动初相随振幅大者,适用于：两个分振动等振幅时,分振动,合振动,例,和差化积求合振动,由分振动曲线求合振动,例：两同方向、同频率谐振动合成,求：合成谐振动方程,解：合成后不变,合振动方程,1、解析法：先将x1,x2合成，再与x3合成,合成后仍为谐振动,2、矢量合成法：x1,x2，x3 首

9、尾相接,二、多个同方向、同频率谐振动合成,三、在垂直方向上的两个谐振动的合成,3256 图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同(a)、(b)、(c)三个振动系统的w2（w为固有角频率）值之比为 (A) 21 (B) 124 (C) 221 (D) 112,B,3557 一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点已知周期为T，振幅为A (1) 若t = 0时质点过x = 0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为 x =_ (2) 若t = 0时质点处于 处且向x轴负方向运动，则振动方程为 x =_,3562 图中所画的是两

10、个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (B) (C) (D) 0,B,5190 一质点同时参与了三个简谐振动，它 们的振动方程分别为 其合成运动的运动方程为x = _,0,3838 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为 (SI) 则其合成振动的振幅为_，初相为_,110-2 m,p/6,3271 一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为 _,5311 一质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是 (A) T/4 (B) T/2 (C) T (D) 2 T (E)4T,B,3270 一简谐振动曲线如图所示则振动周期是 (A)