利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法

1、利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角,图1,又a1a綊b1b，所以a1a綊c1d，所以a1adc1是平行四边形， 所以a1c1 ad，所以ad平面a1c1c， 同理，b1d平面a1c1c； 又因为b1dadd，所以平面adb1平面a1c1c， 所以ab1平面a1c1c. (3)由(1)知ab平面aa1c，又二面角a1abc是直二面角,反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种传统法

2、关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误 2角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角,解】(1)证明ae平面cde，cd平面cde， aecd. 在正方形abcd中，cdad,图2,adaea，cd平面ade. abcd，ab平面ade. (2)由(1)知平面ead平面abcd，取ad中点o，连接eo， eaed，eoad， eo平面abcd， 建立如图所示的空间直角坐 标系，设ab2， 则a(1，0，0)，b(1，2，0)，e(0，0，1)，

3、设m(x，y，z,利用空间向量法求二面角的方法： (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题,规范解答】取bc的中点e，ad的中点p，连接pe. 在sad中，sasda，p为ad的中点，所以spad. 又因为平面sad平面abcd，且平面sad平面abcdad， 所以，sp平面abcd.显然有pead. 如图，以p为坐标原点，pa 为

4、x轴，pe为y轴，ps为z轴建 立空间直角坐标系,反思启迪】1.当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快 2用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的,解】(1)证明sd平面abcd，sd平面sad，平面sad平面abcd， abad，ab平面sad，又de平面sad，deab,sdad，e是sa的中点，desa， absaa，de平面sab， de平面bed， 平面bed平面sab. (2)由题意知sd，ad，dc两两 垂直，以da、dc、ds所在的 直线分别

5、为x轴、y轴、z轴建立 如图所示的空间直角坐标系 dxyz，不妨设ad2，则,2013深圳模拟)如图5， 棱柱abcda1b1c1d1的所有 棱长都等于2，abc和 a1ac均为60，平面 aa1c1c平面abcd. (1)求证：bdaa1； (2)求二面角daa1c的余弦值； (3)在直线cc1上是否存在点p，使bp平面da1c1，若存在，求出点p的位置，若不存在，请说明理由,规范解答】设bd与ac交于o，则bdac，连接a1o，在aa1o中，aa12，ao1，a1ao60， a1o2aaao22aa1aocos 603， ao2a1o2aa， a1oao. 由于平面aa1c1c平面abcd， a1o平面abc