离散傅里叶变换(DFT)

1、3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT,一. 引言,3.1 离散傅里叶变换的定义,我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换(DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理中也起着核心作用,二. 四种信号傅里叶表示,1) 周期为T的连续时间周期信号,时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱

2、,2) 连续时间非周期信号,时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱,3)离散非周期信号,时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱,4) 周期为N 的离散周期信号,时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱,四种傅立叶变换,时域,频域,1. 连续非周期 连续非周期() FT 2. 连续周期 离散非周期 () FS 3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT 4. 离散周期 离散周期 DFS,切实理解四种FT之间的对应关系,三. 离散付里叶级数(DFS,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散

3、傅里叶变换(DFT,周期序列,因为周期序列不满足条件： 。因此它的DTFT不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示,1)DFS定义,正变换,反变换,一般记,2)周期序列的离散傅里叶级数推导,由,可以展成傅里叶级数,将上式两边乘以 ， 并对n在一个周期N上求和得,令k=m,令,依同样方法可推出,所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列,3)周期序列的傅里叶变换表示,因为周期序列不满足条件： 。因此它的DTFT不存在。但是，通过引入奇异函数其DTFT可以用公式表示,四. 离散付里叶变换,周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因而

4、它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT,1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓,2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓,3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。 （前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列,具体而言，即,1)周期序列的主值区间与主值序列,对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n,x(n)与 的关系可描述为,数学表示,表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算,7

5、,n,0,N-1,定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间,2)从DFS到离散傅里叶变换,如果x(n)的长度为N， 且 ， 则可写出 的离散傅里叶级数表示为,从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行,因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义,有限长序列隐含着周期性,3)离散傅里叶变换的矩阵方程,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT,设变换区间N=8， 则,解：DFT定义式为,设变换区间N=16， 则,比较上面二式可得关系式,4)DFT和Z变换的关系,序列x(n)的N点DFT是

6、 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样,序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在0，2上的N点等间隔采样,图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e j)的关系,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,一. 基本概念,1. 序列的圆周移位,序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为,圆周移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区,循环移位过程,circshift(a,0,-1,图 3.2.1 循环移位过程示意图,2. 序列的圆周卷积,设 和 是两个具有相同长度N的有限长序列(若不等，对序列补零使其为N点， )，定义圆周卷积,圆周卷积过程,圆周卷

7、积的矩阵表示,循环右移,圆周卷积与线性卷积比较,有限长序列x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN2-1 则线性卷积为,N(Nmax(N1,N2)点圆周卷积为,序列的N点圆周卷积是序列线性卷积(以N为周期)周期延拓序列的主值序列。故，当NN1+N2-1时，线性卷积与圆周卷积相同,图 3.4.2 线性卷积与圆周卷积,3. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,有限长共轭对称序列和共轭反对称序列分别定义为,当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到,图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即,将上式中的n换成

8、N-n， 并取复共轭得,1)式减(2)式,(1)式加(2)式，并整理得,二. 线性性质,设x1(n)，x2(n)是长度为N的有限长序列。它们的N点DFT分别为,三. 时域圆周移位定理,证明,四. 频域圆周移位定理,设 和 是两个具有相同长度N的有限长序列,五.时域圆周卷积定理,证明,六.频域循环卷积定理,七.复共轭序列的DFT,八.DFT的共轭对称性,如果x(n)的DFT为X(k),则x(n)的实部和虚部(包括j)的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j,设x(n)为实序列， X(k)=DFTx(n)

9、。则有,2)若x(n)= x(N-n)，则 X(k)= X(N-k,3)若x(n)= -x(N-n)，则 X(k)= -X(N-k,对实序列进行DFT时，利用以上性质可减少运算量，提高运算效率,九、Parseval定理,证明,1) X(k)= X*(N-k,则,表明：一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT,3.3 频率域采样,一. 引言,1)能否由频域离散采样X(k)恢复序列x(n),2)能否由频域抽样X(k)恢复原频率函数或X(z),3)若

10、能恢复其条件是什么,与时域采样相类比，我们提出以下几个问题,4)如何推导内插恢复公式,若要回答这些问题，首先让我们回想下时域样定理确定采样频率的方法,1)计算时域采样信号的频谱,2)分析时域采样信号频谱与原信号频谱关系（以采样频率周期延拓,3)从而确定采样频率与被采样信号频谱这间关系，得到时域采样定理,二. 频域采样后能不失真恢复原序列的条件,设 的长度为 （没有限制,欲恢复原信号，即,频域采样序列的离散付立叶逆变换,由该式可知： 是原序列 的周期延拓，然后取主值,结论：若序列长度为M，频域采样点数（或DFT 的长度）为N，且MN，会产生时域混叠频域采样后不能不失真地恢复原序列,利用频域采样X

11、(k)表示X(z,三. 内插公式,称为内插函数,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT,3.4 DFT的应用举例,一. 引言,DFT的应用使数字信号处理可以在频域进行，由于DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以DFT作为连续FT的近似为基础,二、用DFT计算线性卷积,1)DFT计算循环卷积

12、,可用上式计算循环卷积。从另一方面看,所以，可按下面的计算框图从频域计算循环卷积,图 3.4.1 用DFT计算循环卷积,很多情况下 需要计算两个序列的线性卷积， 为了提高运算速度， 希望用DFT(FFT)计算。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 什么时候循环卷积与线性卷积相等呢,循环卷积与线性卷积相等条件：L M+N-1。所以，如果取L = M+N-1，则可用DFT（FFT）计算线性卷积。计算框图如下,图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图,2)DFT计算线性卷积,2)长序列的分段卷积,没有全部进入，如何实现卷积，全部进入再卷积，又如何保证实时实现,数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号

13、进来后，经处理后马上输出出去。然而,较短（FIR：长度在2050之间）， 可能很长，也不适宜直接卷积,另外,解决方法：分段卷积,设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则,重叠相加法,分段卷积重叠,分段卷积相加,图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图,三、用DFT对信号进行谱分析,1. 用DFT对连续信号进行谱分析,若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽。若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长,按采样定理采样时，以上两种情况的采样序列均应无限长，不满足DFT条件,所以，对频谱很宽的信号一般用预滤波法滤除幅度较小的高频成分。对持续时间很长的信号只好截取有限

14、点进行DFT,所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，近似程序与信号带宽、采样频率和截取长度有关,实际上从工程角度，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的,假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。以下分析连续信号频谱特性的DFT近似,设xa(t)持续时间为Tp， 最高频率为fc。其傅立叶变换为,共采样N点，则Tp=NT。并对表示Xa(jf)的积分作零阶近似(t=nT, dt=T)得,对X(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点,采样间隔为F,同理，由,可推出,连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T来近似,栅栏效应：DFT逼近连续时

15、间信号的傅里叶变换,其频谱将不再是连续函数。只能看到N个离散采样点的谱特性,由以上分析可以看出利用DFT对连续信号进行谱分析，最主要的两个问题就是：1、谱分析范围；2、频率分辨率,1)谱分析范围,指信号的最高频率fc，受采样定理限制。 fc fs/2,2)频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率,指将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力，用频率采样间隔F描述。 F = fs/N（矩形窗情况,3)谱分析参数确定,N不变，要提高频率分辨率，必须降低fs，会导致谱分析范围减小。同时T增大，因NT=Tp，故Tp增大,fs不变，要提高频率分辨率，必须增加N。因NT=Tp，T=1/ fs，故Tp必须增加,因此，

16、若要增加频率分辨率必须增加信号记录时间Tp,频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度； 也可定义为将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力,时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度,希望：窗函数的“宽度”越小越好,窗口在时域无穷大，在频域无穷小,时域加窗后，窗口由时域窗长决定。在频域，窗口由主瓣宽度决定，主瓣宽度决定频率分辨率（物理分辨率）。距离小于主瓣宽度的两个频率无法区分开,例,试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度,在本例中，最小的,即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于500，从DFT的角度看，若令N=512，则,下图，N分别等于256和512，可见，N=256 时无法分辨三个谱峰,例

17、 3.4.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大的采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点N和最小的记录时间是多少,解,谱分辨率增加一倍，F=5Hz,2. 用DFT对序列进行谱分析,序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在0,2上的N点等间隔采样。因此序列的傅立叶变换可利用DFT来计算,DFT是由周期序列DFS取主值区间得到的一种变换。因此，DFT可用于周期序列的谱结构分析,DFT进行谱分析的步骤,DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运

18、算，有快速算法，且二者是“相通”的,DFT实现连续信号谱分析的过程,3. 用DFT进行谱分析的误差问题,1) 混叠现象,2) 栅栏效应,3) 截断效应,周期延拓,1) 混叠现象,实际应用中，通常取fs=(35) fh种。对fs确定情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率fs /2的频率成分，以免发生频谱混叠现象,如果采样频率fs小于连续信号最高频率fh，会在=处发生频谱混叠现象，对于模拟频率，即在fs /2附近发生频谱混叠现象,用DFT对连续信号进行谱分析，首先要按采样定理对其采样,2) 栅栏效应,N点 DFT是在频率区间0，2上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间频谱函数值是不

19、知道的,用DFT计算频谱, 就如通过一个栅栏观看信号的频谱情况，仅得到栅栏缝隙中看到的频谱函数值,由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量,可以采用在原序列尾部补零的方法改变DFT变换区间长度，使原来漏掉的频谱分量被检测出来,补零的方法能使栅栏效应得到改善（计算分辨率提高），但不能改变频率分辨率（物理分辨率），即原来无法分开的两个频率，并不能通过补零而分开,3) 截断效应,序列可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时必须截短成有限长序列,截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差别对谱分析的影响主要有,泄漏，原来谱分量为零的地方出现了谱分量,谱间干扰，由于窗旁瓣的存在，引起不同频率分量间的干扰,增加矩形窗的窗长N，可使其主瓣变窄，提高频率分辨率，