人教版九级数学上册第 24章借考题实现建模 用模型巧解考题

1、借考题实现建模 用模型巧解考题 考题是命题老师集体数学智慧的结晶，是数学方法，数学思想，数学智慧的结合体，具有鲜 明的典型性，代表性，探索性，是建模创新，提升数学核心素养的高效载体。 一、试题呈现 （2019年南京）在ABC中，AB=4，C=60，AB，则BC的长的取值范围是 二、试题简析 以圆为知识背景，以弦长及其所对圆周角为条件，以特殊角为解题基础，以直径是圆中最长 的弦为依据，确定弦的一个端点取值范围，采用数形结合思想，分类思想，最值思想，建模 思想，为全面提高数学核心素养，搭建一个科学性，探索性，创新性，应用性的平台。 三、解法赏析 作ABC的外接圆O，如图1所示，作AB的垂直平分线M

2、D，交AB于点，交O于点M，根据圆的对称性，知当点C与点M重合时，AC=BC，BAC=ABC，因为C=60，所以ABC是等边三角形，所以BC=AB=4。因为BACABC，所以BCAC，所以点C一定位于点M的左侧，所以BC的最小值为4，且取不到；因为BC是O的弦，所以当BC为直径时，最长，连接OA,OB，因为C=60，根据垂径定理，圆心角与圆周角关系定理，得AOD=BOD= 3384BC=2OA=所以直径AD=2所以OA=2OD，所以，AO=，ACB=60，所以OAD=3033 83。 所以BC长的取值范围是4BC3 四、反思与建模圆周角与圆心角关系直径上的圆周角是直角；垂径定理；这是一道多知识

3、综合运用的好题： 定理；直径最长原理；同一三角形中，大角对大边原理等都是计算解题的关键仔细观察 条件，可以从中构建出如下几种计算模型： 、构造直径计算模型模型1的半O，c的对边是C，b的对边是B，a的对边是A的内接三角形，O是ABC 设abc?2R。 径为R。则 sinAsinBsinC证明： 如图2，作圆的直径CD，连接BD，则A=D，CBD是直角，在直角三角形CBD中， BCBCBCab,所以sinA=,所以CD=,所以2R=，同理可证：2R=， SinD= BsinsinACDCDsinAcbcaR2? 。：2R=，所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC。变式 CBsi

4、nsinAsinCsin 模型特点：cabR?2? 、对称 、和谐，大家都会惊叹它外在的形式之美，简 洁 CsinAsinBsin 涉及量少，只涉及三角形的一边和这边的对角的 目”1，它 给 人的美感是“悦统一 就可以大胆地用这个模型解题正弦值，外接圆的半径，应用时，只要满足上述的三个条件， 。从而大大提高解题的准确率和解题效率。这个模型贯穿了数学的建模思想2 、构造最值计算模型模型2位于上一个动点，则当点CC是优弧AB是定值，点如图3，O是ABC的外接圆，且AB 的距离最大。C到弦ABAB优弧的中点M时，ABC的面积最大；点 3、构造圆心角与圆周角计算模型模型，垂足AB上一个动点，是定值，点

5、ABC的外接圆，且ABC是优弧ABOD是，如图4O 。BODAOD=ACB=D为，则 证明请自己完成。 五、构建模型解考题 、根据模型算面积1，则3 AC=2，ACB=CDB=60O例1 （2019年宜宾）如图5，的两条相交弦AC、BD O的面积是 ，ACB=60所以A=AE的直径，交圆于点E，连接CE，因为A=BDC，解析：如图5，作圆OAC, sinAEC=所以ABC=60，因为ABC=AEC，所以AEC=60，圆的半径为4，因为 AE32 16所以O的面积是16，所以应该填=4,所以AE= 0sin60 ：构造适当的直径把已知角，已知都集中到一个直角三角形中是解的关键点评 、根据模型求最

6、值2 上P为OO2例（2019?广元）如图6，ABC是的内接三角形，且AB是O的直径，点 6的动点，且BPC=60，O的半径为，则点P到AC距离的最大值是 的距离最大，P到ACOOM，过O作AC于M，延长MO交于P，则此时，点6解析：如图 的半径为OMAC，A=BPC=60，O6，距离的最大值且点P到AC=PM，因为3333AC，所以PM=OP+OM=6+3到，所以点所以OP=OA=6，所以OM=POA63 2233 ，所以答案为6+3距离的最大值是6+3这是圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，点评： 垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用。此法也是用于

7、在拱形中计算最值。 3、根据模型探索角之间的关系式 。OA，连接D于点BCOD，O内接于ABC，已知锐角三角形7年杭州）如图2019（3例 1OA。当OA=1时，求ABC面积的最大值。 OD=（1）若BAC=60，求证： 2（2）点E在线段OA上，OE=OD。连接DE，设ABC=mOED。ACB=nOED（m，n是正数）。若ABCACB，求证：m-n+2=0。 BAC=60，B0D=COD=，ODBC，所以OB=OC（1）证明：如图7，连接OB，OC，因为解析：11 。OB= 所以OBD=30，所以OD=OA 22，由OA=1ABC的面积最大。因为O，D在同一直线上时，三角形根据模型2，可知当

8、点A， 333131 331+=，所以ABC的最大面积为：知，=。，最大高为BC=2BD= 42222）第二问是本题的最大靓点，特点有二，一是提供了一题多解的平台，为提升数学素养（2 提供机遇；二是提供了探索引申、推广的平台，为数学创新思维搭建平台。 ：圆心角中心法解法1 OED=nx，ACB=nOED=ODE=x，因为ABC=mOED=mx因为OE=OD，所以 EOD=180，OED+ODE+AOB=2nx，DOC=180-mx-nx，因为所以AOC=2mx, 。=180，整理，得 m-n+2=0所以x+x+2mx+180-mx-nx0，36把圆周角同一转化为对应的圆心角；巧用圆心角的和为点

9、评：这种解法有四个特点：最后是在指定三角形中三是用垂径定理确定解题需要角的表达式；表达未知圆心角的度数； 使用三角形内角和定理，这是等式的基础。 ：直角三角形两锐角互余法解法21 -nx，-2nx=90BAF=9得连接BCEO，交于点F，OB，根据题意，DOF=2x，0延长8如图， 2 m-n+2=0。0OFD=90，所以2x+ mx+9-nx=90，所以中，在直角三角形DOFDOF+ 也为问题得解提供新思延长法构造直角三角形，点评：为直角三角形两锐角互余创造条件， 路，值得熟练掌握。 ：构造平行线法解法3，所以，所以OE:OA=OD:OFF，连接AF,BF,CF，因为OE=OD,OA=OF如

10、图9，延长OD交圆于点 ，CAF=BAO+OAFDEAF，所以OED=OAF=x，根据垂径定理，得BAF=1 。0-nx，整理，得所以m-n+2=0（180-mx-nx）=x+9 2 ：利用平行线分线段成比例定理，把等角外移，借助垂径定理，构造角的平分线，利用点评 奇思异想，彰显数学智慧。角的和为基本等量关系构造等式，实现解题目标,在这里的意义是什么？去掉这个条件，你能得到怎样的结论？于是，得ACBABC条件 到如下引申： OA。，ODBC于点D，连接7如图，已知锐角三角形ABC内接于O 1 面积的最大值。OA。当OA=1时，求ABC（1）若BAC=60，求证：OD= 2。是正数），nOED。ACB=nOED（mABC=m连接OA）（2点E在线段上，OE=OD。DE，设 |m-n|=2。求证： 请自己利用分来的思想完成引申的证明吧！并能使不同的人尽可能找到成有多途径解决方案的问题，一道好的考题题，往往是宽入口，通过一多解，一题多构模型的数学问3功的体验，更好地体现考试的信度和效度的问题。题解决意