一元二次方程根与系数的关系(韦达定理

1、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)一元二次 方程的求 根公式韦达定理应用求代数式的值求待定系数构造方程解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解【内容分析韦达定理:对于一元二次方程ax2bx c 0(a0)，如果方程有两个实数根Xi,X2，那么X1x2说明：(1)bc,X1X2aa定理成立的条件(2)注意公式重x1X20-的负号与b的符号的区别a根系关系的三大用处(1 )计算对称式的值例若X1, X2是方程2x20070的两个根，试求下列各式的值:2(1) Xi1-X1-；(为5)(X2X25)；| XiX2 | 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:2X2X2(X1X2

2、)2C11为 X2/、2/、2,2X1X2 , (X1 X2)(X1 X2)4X1X2 ,X1X2X1X2|X1X2 I.(X1X2)24X1X2 , X1X22X12X2X1X2(X1X2),33X2(X1X2)33X1X2(X1 X2)等等.韦达定理体现了整体思想.【课堂练习】1设Xi, X2是方程2X2 6x+ 3 = 0的两根，则X12+ X22的值为 2. 已知 Xi, X2是方程 2x 7x + 4 = 0 的两根，则 Xi + X2 =, Xi X2=(Xi X2) 2 =2i3. 已知方程2x 3x+k=0的两根之差为 2空，贝U k=;4. 若方程 x +(a 2)x 3=0

3、的两根是i和一3,贝U a= ;m的值2 25. 若关于x的方程x +2(m i)x+4m =0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么为 ；丄 丄XiX26. 设xi,X2是方程2x2 6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (i)x i2X2+XiX227 .已知Xi和X2是方程2x2 3x i=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值:iiXix2(2)构造新方程理论：以两个数例 解方程组 x+y=5xy=6为根的一元二次方程是(3 )定性判断字母系数的取值范围的两根，第例一个三角形的两边长是方程三边长为2,求k的取值范围。【典型例题】1例1已知关于x的方程x2 (k 1)x -k

4、2 1 0，根据下列条件，分别求出k的值.4(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根XX2满足|捲| x .求待定字母的值，务必要注意方程有两实10的两个实数根.说明：根据一元二次方程两实根满足的条件， 根的条件，即所求的字母应满足0 .I成立？若存在，求出k的值;例2已知x1, x2是一元二次方程 4kx2 4kx k(1)是否存在实数k，使(2x1 x)(x-i 2x2)若不存在，请您说明理由.x-i x2求使一1- 2的值为整数的实数 k的整数值.x2 x1说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明 存在，否则即不存在.(2)本题综合性较强，要学会

5、对为整数的分析方法.4一元二次方程根与系数的关系练习题A 组2 _1一元二次方程（1 k）x 2x 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k 2B . k 2,且k 1C.k 2D .k 2,且 k 12 .若X1,X2是方程22x 6x 30的两个根,则1 1的值为（)x-ix2A. 2B.2C.1D .9223.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于 0点，且OA、OB的长分别是关于 X的方程x2（2 m 1）x m230的根，则m等于（）A.3B . 5C . 5或3D .5或 34 .若t是一元二.次方程 axbxc0 (a0）的根，则判别式b24ac和完全平方式

6、M (2atb）2的关系是（)A.M1B .MC .MD .大小关系不能确定5 .若实数ab，且a, b满足a28a50,b2 8b50，则代数式a11的a 1b1值为（）A .20B . 2C . 2或20D .2或206.如果方程（bc)x2 (ca)x(ab)0的两根相等，则a,b, c之间的关系是7 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2 8x 7 0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 .&若方程2x2 （k 1）x k 30的两根之差为1，则k的值是 .2 29. 设x1, x2是方程xpx q 0的两实根，x1 1,x2 1是关于x的方程x qx p 0的两实根，则

7、p = , q = .210. 已知实数 a,b,c满足 a 6 b,c ab 9，则 a = , b = , c = .11. 对于二次三项式 x2 10x 36，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10.您是否同意他的看法？请您说明理由.4m12.若n 0，关于x的方程x2 (m 2n)x mn 0有两个相等的的正实数根，求一的4n值.13.已知关于x的一元二次方程 x2(4m1)x 2m 10 .(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；、 1 1 1(2) 若方程的两根为 xX2，且满足，求m的值.x1 x2221214.已知关于x的方程x2 (k 1)x -k2 1 0的两根是一个矩形两边的长.4(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值.21已知关于X的方程(k 1)x(2 k 3)x k 10有两个不相等的实数根 Xi,X2 .(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由.2.已知关于x的方程x23x m 0的两个实数根的平方和等