数学概念教学

1、3.2,数学概念的教学,一、数学概念概述,二、数学概念学习的心理过程,三、数学概念教学的策略,四、数学概念教学案例分析,一、数学概念概述,1,数学概念的意义,数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方,面的本质属性的思维形式。因此它反映的是一类具有共,同属性的事物的全体,2,数学概念的特征,1,抽象性,数学概念排除具体的物质形式，抽象出内在的、本,质的属性。这种抽象可以脱离具体的实物模型，在已有,的数学概念基础上进行多级的抽象。如从函数连续,函数可微函数，这是一个函数概念的多级的抽象,随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度会越来,越高，充分表现出了数学概念的抽象化特征,2,符号化,数学概

2、念往往使用特定的数学符号来表示,数学符号反映了概念的本质属性，这样数学概念,的表现形式简明、准确，而且使数学概念可以在,符号体系这种纯形式化中得以抽象和发展,3,系统性,在一个特定的数学体系中，数学概念之问往,往存在着某种逻辑关系。数学概念的逻辑关系又,使得数学概念系统化，进而公理化,4,简明化,数学概念具有具体与抽象的统一性，一些数学,概念借助于数学符号语言，就能够使得一类事,物的本质特性可以用某些简明的形式展示出来,例如，“水库的容量与水深之间的关系”和,物体在匀速直线运动中，路程与时间的关,系”，这两个不同的问题都可以抽象为函数概,念，统一用,y=f(x,表示,二、数学概念学习的心理过程

3、,数学概念的获得,意味着要求学生掌握一类事,物在数量关系和空间形式方面的共同本质属,性，并能在不同的情境中辨别其本质和非本,质属性，且能列举出该数学概念的例证,学生,获得数学概念的三种方式,概念的形成,概念的同化、概念的顺应,其中以概念形成,和概念同化两种方式最为常用,一）数学概念的形成,1,概念形成,是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一,类事物的共同本质属性的过程。这是一种发现学习的过程,2,概念的形成过程包括以下七个阶段,1,辨别各种刺激模式,这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或,事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。无论,哪种，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨

4、认,根据事物的外部特征进行概括,例如，要形成平行线的概念，先让学生辨认实际生活,中的一些实例，如铁轨、门框的左右两条边、黑板的上下,两条边等,2,分化出各种刺激模式的属性,为了找出该类刺激模式的本质属性，就需要对具体刺,激模式的各种属性进行分化,例如铁轨的材质是铁的，它可以看成两条直线，有向,两边无限延伸的趋势，两边无限时不相交等属性。门框的,左右两条边、黑板的上下两条边也各有自己的属性,3,类化共同属性,把从具体刺激模式中分化出来的各种属性进行比较,找出共同的属性,比如从铁轨、门框的左右两条边、黑板的上下两条边,类化出来的属性有：可以抽象地看成两条直线；两直线是,平行的；两直线之间的距离处处

5、相等；两直线没有交点,两直线可以向两边无限延伸等,4,抽象本质属性,提出共同本质属性的假设。共同属性并不都是本质属性,因此，在找出各个刺激模式的共同本质属性的同时，提出它,们的共同本质属性的各种假设,两条彼此距离处处相等的直线是平行线,没有交点的两条直线是平行线,同一平面内的两条不相交的直线是平行线,5,检验假设，确认本质属性,在特定的情境中检验假设，确认本质属性。经检验不是,不是,是,在否定某些共同属性不是本质属性时，主要应用的是变式,也就是举反例,6,概括，形成概念,验证假设后，把本质属性从具体的刺激模式中抽象,提炼出来，推广到一切同类事物，概括形成概念，并,用定义表示,两直线平行的本质属

6、性是“同一平面内两直线不相交,这时就可以给平行线下准确的定义：同一平面内两条,不相交的直线叫平行线,7,用形式化的符号表示新概念,直线,a,与直线,b,平行表示为a b,3,概念形成的心理过程,二）数学概念的同化,1,概念同化,概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的,一种概念学习形式,是指利用学生认知结构中的原有概念，以,定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性的,过程。这是一个接受学习的过程,2,概念的同化方式学习新概念必须具备三个条件,1,学习者必须具备“我要学”的动力,2,新概念必须有逻辑意义,3,学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所,需要的基础,这种学习的关键是要把握好新概念与原有概念

7、,之间的关系。要求教师必须了解学生对原有概念掌,握的情况。原有概念越牢固、越清晰，新概念的同,化也就越容易,3,概念同化的五个阶段,1,揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号,一次函数”的定义：函数,y=kx+b,其中,k,bR, k 0,2,对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种,特例，突出概念的本质特征,可讨论的一次函数特例是,y=kx,y=x,y,x,等。要,突出函数表达式中，自变量,x,的次数为一次这个关键特征,3,使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把,新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念,把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较,认识一次函数与这些相关概念的

8、联系与区别,0,k,4,用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念,与已有认知结构中的相关概念分化,可举,y=x,1,y,x+b,y=0,y=1,y,x,y,ay=x+3 ( a,0 )，并要求学生指出相应的,k,b,各是多少。学生往往拿不定主意,y=0,到底是不是,一次函数，而,y=x,1,中的,b=1,等等。这一阶段可以防止,和纠正类似错误的发生,5,把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概,念融会贯通，组成一个整体,x,2,4,概念同化的心理过程,阅读,定义,以旧观念来,明确定义的,内涵和外延,区分和,联系新旧,概念,概念形成与同化的关系,概念形成是以学生的直接经验为基础的，用归纳的方,式

9、抽象概括一类数学对象的本质属性，达到对概念的,理解。而概念同化是以学生的间接经验为基础的，以,数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用去理解,概念,它们不是相互独立存在的。概念的形成教学形式比较,耗费时间，但是有利于培养学生的观察、发现问题的,能力；概念的同化教学形式节约时间，利于培养学生,的抽象和逻辑思维能力。因此，在教学中这两种形式,的教学应该结合起来综合应用，取长补短、互相补充,三）数学概念的顺应,概念的顺应，是指当原有的认知结构不能同化新概念,时，就要调整或改变原有的认知结构，以便概括新概,念,例如，对于刚刚进入初中的学生，由于在小学阶段长,期接触的是算术数，在日常生活中也习惯于使用算

10、术,数，他们原有的数概念的认知结构难以吸收和固定正,负数概念，因此，必须调整或改变原有的认知结构,以便同化正、负数的概念,具体做法是,1,通过概念形成的方式帮助学生建立新观念：“现实,世界中存在着大量的具有相反意义的量。,2,通过提出问题使学生体会到：要清楚地区分这两种,不同的量，揭示它们之间的关系，只有算术数是不够,的,3,指出，如果把其中的一种量规定为正的，那么另一,种量就是负的。前者用,算术数)”来表示，后者用,算术数)” 来表示，由此就引出了正、负数的概,念,三、数学概念教学的策略,数学概念的教学过程大致分为,概念的引人、概念的理,解和概念的运用,三个阶段,一,概念的引入,1,根据概念

11、的定义形式引入,1,如果概念是以,属概念加种差的形式,给出，那么这一,类概念一般按,概念同化的方式,引入。此时，教师应着,重讲解定义中的属概念和种差，使学生明确，新概念,既具有属概念的一切属性，又具有自身所特有的关键,属性,种差,2,在以,属概念加种差的形式,定义的概念中，有些概念,的,属概念的内涵很少，外延很大，而种差较为抽象,学,生,同化有困难,这时，教师应该避开抽象内涵的讲解,从概念的外延人手,选择概念形成的方式,来引人,例如，等比数列的概念：“如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫,做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。”如果学,生的认知水平较高，那

12、么可以按概念同化的方式来引入,但如果学生的认知水平较低，那么可以按概念形成的方,式来引入,3,对于,以发生式定义,即以被定义概念所反映的对象产,生或形成的过程为种差的定义,的概念，应该按,概念同,化的方式,来引入,此时教师讲课的重点不只是讲解定义的种差，还要,通过实验演示其发生过程，让学生具体操作，体验其形,成过程，以帮助学生把握概念的关键属性,如椭圆、圆、平角、周角、抛物线、双曲线等，都可以,按这种方式来引入,4,对于,形式定义,的概念，一般按,概念同化,的方,式来引入。教师应强调抓住定义的模型，任何突,破模型的形式都不是定义本身,在形式定义中，对于规定定义要讲清两点：一是,规定的必要性,即

13、为什么要规定；二是,规定的合,理性,即这样规定的道理,5,对于那些处于,概念体系中起着基础作用和核,心作用的形式定义的概念,如正、负数和复数,由于学生缺乏适当的、用于同化的观念，也缺,乏属于直接经验的、用于概括的例证，因此,这一类概念应按,概念顺应,的方式来引入,事实上，数学概念的定义形式不限于以上几种,这些概念的引入应具体问题具体分析,2,根据学生认知的心理特点引入,概念学习是有意义的学习，根据有意义学习的条件，学,习者必须具备有意义学习的心向。要做到这一点，除了,激发外在动机的手段之外，教师应根据学生认知的心理,特点，充分激发学生的内在动机。因此,在引入新概念,时，若能注意引入方式的趣味性

14、，就会收到良好的教学,效果,例如，等速螺线概念的引入,用“一尺之棰，日取其半，万世不竭”来引入数列极限,的概念,二面角的平面角”概念的引入,二,概念的理解,1,加强对概念的解剖分析,数学概念是借助于数学语言符号来表达的，具有高度的概,括性。教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭,示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理,解概念的本质属性,例如对于点到直线的距离这一概念，要突出“线段的长,和“垂线段”这一组本质属性，教学时抓住这些关键性的,词语，结合具体图形，准确地分析和讲解,平行线的定义中，“在同一平面内”就是关键词语，教学,中应突出强调,对数定义中，限制条件,a,0,且a1也

15、是定义的重要组成部,分，它保证对数的存在性和唯一性，要向学生交待清楚,2,利用变式，突出概念的本质属性,变式是指概念例证在非本质属性方面的变化。利用变式的目,的是通过非本质属性的变化来突出本质属性，使获得的概念,更精确、更稳定,在讲解“直角三角形”的概念时，教师应呈现各种直角三角,形的变式，以突出直角三角形的本质属性,有一个内角是,直角,为了使学生全面理解无理数的概念，教师可以呈,现下面的各种变式,3,注意概念的对比和直观化,数学中有许多概念是平行相关的，如果能将它们有机地联,系在一起进行,类比,就可以收到由此及彼、温故知新的效,果。如：分数和分式、方程和不等式、数列极限和函数极,限、平面几何

16、与立体几何等概念的类比,有些数学概念之间，联系紧密,种差较小，形式相似,容,易被学生混淆。对这些概念，要让学生,比较它们的内涵和,外延,在比较中加以鉴别，澄清模糊,任一直线和平面所成的角”与“任一斜线和平面所成的,角”，两者的范围不同,教材一般都是从正面阐述概念，这容易使学生形成思维定势,妨碍对概念的深刻理解。因此，教师应注意引导学生从正反,两方面去认识概念。比如,可以利用若干反例，让学生从反面,去认识概念的内涵和外延,例如，学生对两个函数相等的概,念比较模糊，总以为定义域相等和值域相等的两个函数是相,等的。教师可举反例,但它们的对应法则不同，因此，它们是两个不同的函数,数学概念通常是经过多层

17、次的抽象概括而得来的，它往往,脱离了具体的原型。对这类比较抽象的概念，应引导学生,借助于直观图形，将概念具体化、形象化。例如，为使学,生弄清函数“最值”和“极值,概念的区别，教师应通,过具体的图像来进行讲解,4,注意概念体系的建构,在数学概念教学中，不但要使学生掌握单个的概念,而且还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认知,结构,建立章节或学科的概念网络体系,使概念纵横,贯通，有助于学生深化对概念的理解,例如，在学完了一般四边形和特殊四边形的相关概念,之后，应引导学生将所学的概念整理为概念网络系统,5,注意概念产生的背景,为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念,关键的问题是不仅要让学生知道一节

18、课学习的,内容，更要让学生知道为什么要学这个内容,由“知其然”发展到“知其所以然”。长此以,往，学生就会逐渐在学习过程中自己给自己提,出下一步要研究什么问题，发展自我探求知识,的能力,三）概念的运用,概念教学的目的主要是使学生深刻地理解概念,牢固地掌握概念，灵活地运用概念。因此，在,学生获得概念之后，就要在实践中运用概念,在实践中运用概念的过程，实质上是概念具体,化的过程，而概念的具体化有助于学生对概念,的深刻理解和牢固地掌握概念,例如，学生学习椭圆的概念之后，教师可以提出下,面的三道思考题，以巩固和加深对椭圆概念的理解,四、数学概念教学案例分析,对于数学概念的教学，全日制义务教育数学课,程标准,2011,版,和普通高中数学课程标准,实验）都强调了,数学概念的理解，要了解概,念产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思,想和方法，以及和其它数学知识之间的联系,教师应当如何在课堂中贯彻这样的教学理念呢,案例讨论与分析：数列的概念,案例启示,代数概