山西省太原市小店区高三数学5月模块诊断试题文

1、高三第二学期5月模块诊断数学试题（文）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 +i1. 设复数z2（ i为虚数单位），则z的虚部是（）（1 +i ）A. 1B. 1C. -iD. i2. 已知集合 A .2x 二.x2=3,x R, B 二1,m，若 A 二 B，则 m 的值为（）A. 3 B . -1C. _1 或 3D. 3 或.23. 若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63,则判断框中的 整数M的值是（）A.5 B.6 B.7 D.84. 如右下图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几

2、何体的8正视图（等腰直角三角形）和侧视图 ，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）3ABCD5. 一个样本a , 3, 5, 7的平均数是b，且a , b分别是数列？2n6 nN*的第2项和第4项，则这个样本的方差是（）A. 3B.4C.5D.66. 以下判断正确的个数是（） 相关系数r,r值越小，变量之间的相关性越强 命题“存在xR,x_x-1：0 ”的否定是“不存在 xR,xx-1_0”. “ Pq ”为真是“ 一P ”为假的必要不充分条件. 若回归直线的斜率估计值是 1.23 ,样本点的中心为（4,5 ），则回归直线方程是y二1.23x 0.08 .A. 4 B. 2 C. 3

3、 D. 12427.已知函数f x，贝U y = f x的图象大致为()x In x 18.已知正方体ABCDABiCQi的棱长为i, E是棱DiCi的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF /平面AiBCi,则动点F的轨迹所形成的区域面积是(C. 口 D . . 2249.在直角. ABC 中，.BCA =90 , CA =CB =1 ,AB边上的点且AP二 AB， 若CP-AB_ PAP，B则实数的最大值是().210.数列an前n项和是& ,且满足a1 = 3, a2k二 8a2k J，a2k 11 *a2k(kN ),则S50的值为()2A. 3(825 -1)B . 9(82

4、5 -1) C.3(425 -1) D . 9(425 -1)a ln x11.已知函数f(x)aR的图象与直线x一个零点时，实数t的取值范围是(x -2y =0相切，当函数g(x)二f (f(x) -1恰有A.0 B. 0,1 1 C. 0,1 D. ：iqO2 2 2 212. 已知双曲线1:02VM a 0,b 0的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆-2:T十1的离心率为e,直线MN过F2与双曲线交于M , N两点，若 cosRMN =cosZFF2M ,斗e，则双曲F1N 线-1的两条渐近线的倾斜角分别为()A. 30 和 150 B. 45 和 135 C. 60 和 120D.15

5、和 165第n卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答 题纸上）13. 已知角:-的终边上一点的坐标为-sin25 ,cos25 ,则角的最小正值为 .14 甲乙两人做报数游戏，其规则是：从 1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报 1个数，最多 可以连续报6个（如第一个人先报“ 1 , 2”，则另一个人可以有“ 3”，“ 3, 4”，“ 3, 4, 5,6, 7, 8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是.x - y 2 _ 0| 15. 过平面区域y 2 一0 内一点P作圆O : x2 y 1的两条切 线，切点分别

6、为 A,B，记x y 2 _0-APB二：，当最大时，点P坐标为.16. 设函数 f x 二ax bxcx，其中 c a 0 , c b 0 .若a , b , c是厶ABC的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号） ,1 , f x 0 ； XoR，使ax0 , b* , c*不能构成一个三角形的三条边长； 若 ABC为直角三角形，对于N* , f 2n 0恒成立. 若 ABC为钝角三角形，则x 1,2，使f xc =0 ；三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满 分12分） 在ABC中a2 b2 c2 二ac ab

7、 be.（1）证明： ABC是正三角形；（2）如图，点 D在边BC的延长线上，且AD = 7，求 si n N BAD 的值.18. （本小题满分12分） 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将 800人按001,002 , , , 800进行编号.(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号;(下面摘取了第7行到第9行)K4 43 17 S3 3163 01 63 7S 5933 21 12 34 2957 24 55 06 8816 95 56 67 1978 M 56 07

8、77 W 74 47 679? 10 50 7 ! 7552 42 07 44 3S21 76 33 50 2512 86 73 58 0715 51 00 竹 4283 92 12 06 7644 39 52 3U 7999 66 02 79 M(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有 20 1842 .若在该样本中，数学成绩优秀率是30%求a,b的值:人数优齐I优72059186A - -斗&在地理成绩及格的学生中，已知a _11,b 一7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少

9、的概率.19.(本小题满分12 分)等腰 ABC的底边AB = 6. 6，高CD =3，点E是线段BD上异于点B, D13BEF求 V(x)的动点点F在BC边上，且EF _ AB .现沿EF将 折起到.PEF的位置，使PE _ AE .(1) 证明EF 平面PAE ;(2) 记BE = x , V (x)表示四棱锥P - ACFE的体积， 的最值. 20.(本小题满分12分)已知M 4,0 , N 1,0，曲线C上的任意一点P满足：MN MP =6 PN .(1) 求点P的轨迹方程；(2) 过点N 1,0的直线与曲线C交于A , B两点，交y轴于H点，设HA W1AN , HB二爲BN ,试问

10、1 2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由21.(本小题满分12分)已知函数f(x) =1 nxx .In x(1) 证明：对任意的 x!,x2 (0, ：)，都有 | f (Xi)|-；X2(2) 设m n 0 ,比较f(m) m(f(n)n)与的大小，并说明理由.m nm+ n22. 以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为=4cos二，曲线M的直角坐标方程为 x-2y，2=0 ( x 0 ).(1) 以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线 M的参数方程；(2) 设曲线C与曲线M的两个交点为 A , B，求直线OA

11、与直线OB的斜率之和.1123. (1)若不等式x-m xy.数学试题(文理)答案2 +i1. 设复数z = 1 . i 2 ( i为虚数单位)，则z的虚部是(A )A. -1B. 1C. -iD. i2. 已知集合 A =. 2x - x - 3, x 三 R?, B - 1,m，若 A B，则 m 的值为(A)A. 3 BC. _1 或 3D. 3 或.23若按如右图所示的程序框图运行后，输出的结果是63,则判断框中的整数M的值是(B )A.5 B.6 B.7 D.84.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，8且该几何体的体积为，则该几

12、何体的俯视图可以是(3(A)(B)(C)(D)兀11二 1A. + B .C .+ D2 32_3435.（文）一个样本a ,3,5,7的平均数是b，且a ,5.(理)定积分 J0(G_x +x )dx = ( C )兀 14 _ 3b分别是数列 ST nN*的第2项和第4项,则这个样本的方差是（C ）D.6A.3B.4C.56.以下判断正确的个数是（ B ）相关系数r, r值越小，变量之间的相关性越强 命题存在x R, x2 x-V 0 ”的否定是不存在 x R,x2 x-1 _ 0 ”. “ P q ”为真是“ 一P ”为假的必要不充分条件. 若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心

13、为（4,5 ），则回归直线方程是 y二1.23x 0.08 .A. 4 B. 2 C. 3 D. 1【答案】B【解析】关系数r值越小，变量之间的相关性越弱，故错误；命题“存在xe R,x2 +x-1c0 ”的否定是“任意 x R,x2 x-1 _0”，故错误；“ P q ”为真时，“ 一P ”为假不一定成立， 故“ p q ”为真是“ 一p ”为假的不充分条件，“ 一卩”为假时，“ p ”为真，“ p q ”为真， 故“ p q ”为真是“ p ”为假的必要条件，故“ p q ”为真是“ p ”为假的必要不充分条件，故正确；若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为 （4,5）,贝U a

14、 =5 - 1.23 4=0.08，则回归直线方程是 y =1.23x 0.08 ,故正确；故选 B.7.已知函数(A)(C)1 2A.解析：取特殊值x ,e,e ,即可排除BCD选项；法二：求导研究单调性可得；法三：利用常见 e结论，由于In x ex1(x 0,x式1)，可排除bd xt 1时，f(x)T比，可排除C.8.已知正方体ABCD - A1B1CiD1的棱长为1, E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF/平面ABG,则动点F的轨迹所形成的区域面积是( C )A.9 B .3 C.D .28249.在直角 ABC中，.BCA =90 , CA =CB =1,

15、 P为AB边上的点且 AP = AB，若CP_ PA-PB，则实数的最大值是(C )A.2 .2C. 110.数列a*前n项和是Sn，且满足a1 =3, a2k二8a2k,a2k 1#a2k(k N*)，则 S50的值为A. 3(825 -1) B . 9(825 -1) C. 3(425 -1) D . 9(425 -1)a In x11. 已知函数f(x)a，R的图象与直线x-2y=0相切，当函数g(x)二f (f (x) -1恰有x一个零点时，实数t的取值范围是(A )A.0 B. 0,1 1 C. 0,1 D.2 2 2 212. 12.已知双曲线 ：%每刊玄0,b 0的左、右焦点分别

16、为F1、F2，椭圆-2: -1的F1MF1Na b86离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于 M , N两点，若cos FMN二cos. FF 2M双曲线-1的两条渐近线的倾斜角分别为 (C )A. 30 和150B. 45 和 135 C. 60 和 120D.15 和 165第n卷(共90 分)、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知角的终边上一点的坐标为-sin25 ,cos 25 ,则角的最小正值为11514 甲乙两人做报数游戏，其规则是：从 1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（

17、如第一个人先报“ 1，2”，则另一个人可以有“ 3”，“ 3, 4”，“ 3，4，5,6, 7, 8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是1,2x - y 2 _ 0I15.过平面区域 y2 _0 内一点P作圆O ： x2 y2 =1的两条切线，切点分别为 A, B，记x y 2 _0 APB ，当最大时，点P坐标为 _ （-1,-1）16.设函数 f x =ax bx-cx，其中 c a 0 , c b 0.若a , b , c是厶ABC的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号） -x 三 |.,1 , f x j, 0

18、 ； X0R，使ax0 , bx0，cx0不能构成一个三角形的三条边长; 若 ABC为直角三角形，对于 -N , f 2n 亠0恒成立. 若 ABC为钝角三角形，则x1,2，使f x0 =0 ;17.在. ABC 中，角 A ,B, C的对边分别为a, b, c,a2 b2 c2 二 ac ab be.BC = 2CD ,（1） 证明：.=ABC是正三角形；（2）如图，点D的边BC的延长线上，且AD = . 7，求 sin _ BAD 的值.【答案】（1）详见解析；（2）.14【解析】试题分析：（1）利用配方法，可得 a = b =c，即三边长相等，得证正三角形；（2）首先在 ACD中应用余弦

19、定理求出边长AC,CD，从而得BD长，再在 ABD中应用正弦定理可得sin BAD 解析：（1 ）由他W “于m：込.:汁脸魏，得I J 彳；，所以打-方=，所以a = h -c,即A4/C是正三角形.因为是等边三角形，小I,所以.1所以在中, 由余弦定理可得：心：宀江疔仝肘. r r =100 100 100 100 100 100 1259所以该公司一台 A型车，一台B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为,4分125(n)设X为A型挖掘机出租的天数，则 X的分布列为X1234567P0.00.100.300.350.150.030.0256分5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

20、5 5八设Y为B型挖掘机出租的天数，则 Y的分布列为Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.058分5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5-*八E(X) =1 0.05 2 0.10 3 0.30 4 0.35 5 0.15 6 0.03 7 0.02=3.62E(Y) =1 0.14 2 0.20 3 0.20 4 0.16 5 0.15 6 0.10 7 0.05=3.48,10 分一台A类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.62天，一台辆B类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的挖掘机更加合理.,12分19.(文)(本小

21、题满分12分)等腰. ABC的底边AB =6.6，高CD =3，点E是线段BD上异于点B, D的动点.点F在BC边上，且EF _ AB .现沿EF将B：BEF折起到 PEF的位置，使 PE _ AE .(I )证明EF -平面PAE ;(H)记BE =x , V(x)表示四棱锥P - ACFE的体积，求V(x)的最值。19.解：(I) EF _ AB, BEF 二.PEF =90，故 EF _ PE，而 AB 一 PE 二 E ,(n) PE _ AE, PE _ EF , PE所以EF _平面PAE .-平面ABC，即PE为四棱锥P - ACFE的高.由高线 CD 及 EFAB 得 EF C

22、D , BDEFCD 由题意知3*6車 EFx36Sacfe 二Sabc _SBEi 6 3-1121而 P， V(x)SACFE(0 ： x ： 3、6)当 x =6 时 V(x)max =V(6)=12、619.(理)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点， DC垂直于半圆O所在1的平面，DC / EB , DC =EB , AB =4 , tan EAB4(1) 证明：平面ADE _平面ACD ;(2) 当三棱锥C ADE体积最大时，求二面角 D _AE B的余弦值19.解：(1)因为AB是直径，所以BC _AC，因为CD _平面ABC，所以CD _ BC ,因为 C

23、D AC =C，所以 BC _平面 ACD，因为 CD / BE , CD =BE ,所以四边形BCDE是平行四边形，所以 BC / DE，所以DE _平面ACD ,因为DE 平面ADE，所以平面 ADE _平面ACD .(2)因为 DC 平面 ABC , DC / BE ,所以BE_平面由(1 )知1ABC, BEAB，在RtABE 中，EB=AB tan EAB厂1,Vc _ade -Ve _acd=-Sa acdDE =- -AC CD DE =丄AC BC -AC2 BC2-332612122AB当且仅当AB =BC =2 2时，等号成立如图所示，建立空间直角坐标系，则D 0,0,1

24、, E 0,2.2,1 , A 2.2,0,0 , B 0,22,0 .则 AB 二-2 .2,2 . 2,0 , BE =0,0,1 , DE = 0,2 . 2,0 , DA = 2 . 2,0, 1 .设平面DAE的一个法向量为 m =X1, %忆，则 n1D0，即 23。，0，取1，则1,0,2.2 ,n1 DA =02 2洛一乙=0设平面 ABE的一个法向量为 n：X2,y2,Z2 ,n2 BE =0 Z2 = 0 则-，即 一 一n2 AB =0 2 - 2x2 2 2y = 0Z2 =0，取 X2 =1，贝y n2 =(1,1,0 卜cos :： n 1, n2=ni n2 n1

25、 n219 、2.面角D - AE - B的余弦值为20.已知M (4,0 ), N (1,0 )，曲线C上的任意一点p满足：MN MP =6 PN(1)求点P的轨迹方程；(2)过点N 1,0的直线与曲线C交于A， B两点，交y轴于H点，设HA二為an， HB ._2bn，试问2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由20.解：(1 )设 P x, y，则 MN =3,0，MP = x4,y， PN = 1 x, y，2 MN MP=6PNx(x4 )+0xy =6j(x1 2 +y2 ,2 2化简得，y 1为所求点P的轨迹方程43(2)设 A 为， , B x2,y2

26、 .当直线l与x轴不重合时，设直线I的方程为x=my1 m=0 ,f 1 (则 H 0,-一，从而 HA 二 x,y!IEIF 1 I 、1 r，1| x1,y! + |=人(一x , y1 ), y1 = 21 y1入二1 +,I mJmmy,AN = 1 - X1,-屮,由 HA = 1 AN 得1同理由 HB =2BN 得-2,一：佝 2 =2my2丄+丄my1 my2 丿=2丄/ y2.my2x =my 亠由 x2 y2，得 4 3m2 y2 6my -9 =0. /. y1 y2,14 3m43y1 y2-94 3m2 代入式得12 =2 丄 A 准=2 Z =8 ,m如 y23 3

27、3由HA8=I；1AN , HB = 2BN，得-1, 2 - -2w2 =33综上，81 2为定值3当直线I与x轴重合时，A -2,0 , B 2,0 , H 0,0 .21.(文)已知函数 f(x)=lnx-x .In x2(1) 证明：对任意的 X1,X2 (0：)，都有| f (xj|-；x2(2) 设m7,比较f(m) m (f(n) n)与2m 2的大小，并说明理由.m nm + n1 _x21.(1)因为f (x)，故f(x)在(0,1)上是增加的，在(1厂：)上是减少的xf (x) max = f (1) = I n1 - 1 - -1 ,| f (x) |min 二 1In

28、x 、1 -In x设 G(x)，则 G (x)xx1故G(x)在(0,e)上是增加的，在(e, ：)上是减少的，故 G(x)max二G(e) 1 , e为，X2(0八：)恒成立In x2G(x)max | f (x) |min .所以 1 f(x1)l 一 对任意的 x2f(m) f(n) mn In m Inn 1 ln(2)m_n n mnm n且 m2n21 1=X n n m,m nm-1m n o m -1 o，故只需比较 |n m 与一 nn n 十mm n的大小,t1t(t1)令t(t 1)，设G小t vlnt_ nt十-tt2 1 ,则G(t)m-t311“)t1 2 2t

29、(t 1)2 2t(t 1)2 2t(t 1)因为t 1，所以G(t)0,所以函数G(t)在(1j：)上是增加的，故G(t) G(1) = 0.所以G(t) 0对任意t 1恒成立.即In nm-1m _n_n m-J-m n从而有 f(m) (f(n) nr_m_.mnm+n21. (理)已知函数 f x =exsi n x - cosx , g x =xcosx、；2ex,(其中e是自然对数的底数)(1)X20,i使得不等式f X1产g X2 -m成立，试求实数m的取值范围(2)若 x -1，求证：f x -g x 0.21.解：(1)因为不等式f捲 g x2 -m 等价于f为 m - g X2 ,所以xix 1 cosx，由于sinx20，x 10，只要证x1cosxF面证明x . -1时，不等式cosx厂sinx .2成立，2，（X+