广东省广州市普通高中学校高三数学考模拟试题

1、高考高三数学3月月考模拟试题01满分150分.用时120分钟-、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 .命题“ X R , x2 4x 5 0 ”的否定是A. Tx R , x 4x 50B. Tx R , x 4x 5 0c. -x R , x 4x 50D. -x R , x 4x 527?S= S + ii =i +2D . 144结束 .输出s(注：框图中的赋值符号“”也可以写成或“.”)7.若函数 y 二 cos x - -N 的一个对称中心是（H.6，0，则的最小值为& 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示若

2、一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 部分，则截面的面积为八1A.B4厂9C.D41 : 7的上、下两49 .已知 0 ： a : 1, 0 : x y ： 1，且 loga xJoga y = 1，那么 xy 的取值范围是A.0, a2B.0, alC.0,丄D.0, -4aa10. 某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：模块模块选择的学生人数模块模块选择的学生人数A28A与B11B26A与C12C26B与C13则三个模块都选择的学生人数是A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题：本大题共

3、 5小题，考生作答 4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11. 如图3, 个等腰直角三角形的直角边长为2,分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）.若在此三角形内随机取一点 P，则点P落在区域M内的概率为 .12. 已知为锐角，且cs 二=-，贝U sin 二.I 4丿5图313. 数列an的项是由1或2构成，且首项为1，在第k个1和第k 1个1之间有2k-1个2,即数列an为：1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2,2, 1 ,记数列a.的前 n 项和为 & ,则 S?。=（二）选做题（1415题

4、，考生只能从中选做一题）14. （几何证明选讲选做题）1在厶ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上,且满足BE =丄BD，延长AE交3BC于点F ,BF则的值为FC15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点 Ail,，点P是曲线：、sinJ -4cosd上任一点，设点P到直I 2丿线Tcosv 1-0的距离为d，贝y PA d的最小值为 .三、解答题：本大题共 6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了 8

5、名学生的视力数据.其中高三（1） 班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2） 已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8 若从这六 个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.17. （本小题满分12分）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB =

6、 80 m , BC = 70 m ,CA - 50 m .假定A、B、C、O四点在同一平面上.（1）求/ BAC的大小；（2）求点O到直线BC的距离.18.（本小题满分14分）如图4,在三棱锥 P -ABC 中，.PAB 二.PAC 二.ACB(1)求证：平面PBC _平面PAC ；(2)若PA = 1 , AB=2，当三棱锥P - ABC的体积最大时,求BC的长.AP-3 -19.（本小题满分14分）f 1在等差数列 af中，印&2=5, a7，记数列的前n项和为Sn J an an 1 I(1) 求数列GJ的通项公式；(2) 是否存在正整数 m、n，且1 =： m ：, n，使得S、Sm

7、、Sn成等比数列？若存在,求出所有符合条件的 m、n的值；若不存在，请说明理由.20 (本小题满分14分)已知函数 f(x)=x2-2alnx a R且a = 0 .(1 )若f(x)在定义域上为增函数，求实数a的取值范围;(2)求函数f (x)在区间1,2上的最小值.21 .(本小题满分14分)经过点F 0,1且与直线y - -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称，过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线I，使直线I与轨迹M在点D处的切线平行，设直线I与轨迹M交于点B、C .(1) 求轨迹M的方程；(2) 证明： BAD =/CAD ;(3)若点D到直线AB的

8、距离等于AD，且 ABC的面积为20,求直线BC的方程.2-7 -、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分.其中1415题是选做题，考生只能选做一题.第13题第一个空2分，第二个空3分.11 .1 一一121013. 36; 398114115. 、24三、解答题：本大题共 6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题 满分12分)解：（1）高三文科（1 ）班抽取的8名学生视力的平均值为4.4 2 4.6 2 4.8 2 4.9 5.14.7 .8据此估计

9、高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7 .,3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8 ,所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有4.3,4.4 ,4.3,4.5 ,4.3,4.6 ,4.3,4.7 ,4.3,4.8 ,4.4,4.5,4.4,4.6 ,4.4,4.7,4.4,4.8 ,4.5,4.6,4.5,4.7,4.5 ,4.8 ,0.2 的有 4.3,4.5 , 4.3,4.6 ,4.6, 4.7 ,4.6,4.8 ,4.7 ,4.8 ,共 15 种情形.,7 分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于4.3,4.

10、7 ,4.3,4.8 ,4.4,4.6 ,4.4,4.7 ,4.4 ,4.8 , 4.5 ,4.7 ,4.5,4.8 ,4.6,4.8 ,共10种.,10 分10 2所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为二三.,12分15 31217. （本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分 分）解：（1）在厶 ABC 中，因为 AB = 80 m , BC = 70 m , CA = 50 m ,由余弦定理得cos BAC 二AB2 AC2 -BC22 AB AC802502 -70212 80 502n因为.BAC ABC的内角，所以.BAC

11、 . ,4分3（2）方法1:因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等,所以点O ABC外接圆的圆心.,5分设外接圆的半径为 R,BC心ABC中，由正弦定理得sBCAs,因为BC =70,由（1）知A=：3所以sin A二所以 2R=70140 3，即R严3,333过点0作边BC的垂线，垂足为 D，”,在厶 OBD 中，, BD =32C匹卫=35 ,一 2所以 OD = “OB2 -BD2 二-35211分所以点O到直线BC的距离为 空3 m . ,12分3方法2：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等, 所以点O ABC外接圆的圆心.，”,，”，5分连结OB , OC ,过点O作边

12、BC的垂线，垂足为 D ,6分由（1）知.BAC =-,3所以.BOC二-3所以 ZBOD.,3BC 70在 Rt BOD 中，BD35 ,2 2AOCBD所以OD二BDtan _ BOD35353tan 60311分12分所以点O到直线BC的距离为18. (本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分 14分)(1)证明：因为.PAB 二 PAC =90，所以 PA _ AB , PA _ AC . ,1 分因为 AB AC =A，所以 PA_ 平面 ABC . ,2 分因为 BC 平面 ABC，所以 BC _ PA . ,3 分5分因为

13、.ACB =90，所以 BC _CA因为PA CA=A，所以 BC _ 平面 PAC .,因为BC 平面PBC，所以平面PBC _平面PAC .,(2)所以方法1：由已知及（1）所证可知,PA是三棱锥P - ABC的高.”，”,PA_平面ABC ,因为PA =1, AB=2，设 BC = x 0 ： x ： 2 ,所以 AC 八 AB2 - BC2 二、22 -x2 . 4-x21因为 Vp _ABCSAABC PA3.4_x2 ,6_ 1-62 21 x 4 x -X当且仅当x2 = 4 - x2，即x二2时等号成立.所以当三棱锥P - ABC的体积最大时，BC =2 .方法2:由已知及（1

14、）所证可知， 所以PA是三棱锥P - ABC的高.”，”,PA _平面ABC因为 NACB =90 :设 NABC 0e I 2丿6分10分11分12分13分14分则 BC 二 AB cos t - 2cos 二,AC 二 AB sin)- 2sin.,11BC AC 2cos 2sin)- sin 2二.,221Sa abc PA3_Sin2日. ,3兀所以Saabc因为0 ：2e =-410分11分-9 -9分12分13分BC = . 2 .,14分15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 53此时 BC =2cos 24所以当三棱锥

15、P 一 ABC的体积最大时,-13 -（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识,19.等，本小题满分14分）考查运算求解能力和推理论证能力解：（1）设等差数列？an?的公差为d，因为a 92 T 即 291 d T a3 =7.a1 - 2d =7.解得a1 =1,d = 3.所以an = an -1 d = 1 3 n -1 = 3n -2.an =3n -2 (n N*).,1(2)因为-anan 比1 1(3n- 2j3n+1) 3(3 n-2 3n+1 丿所以数列I 9n 9n 1 I的前n项和亠丄anananan 11 1 1Sn -aa2a 2 9393843 .3n -5

16、3n -23 .3n -2 3n 1U -111 13.43 4 73 7 10假设存在正整数 m、n，且1 ： m ： n，使得、Sm、Sn成等比数列,则 S/=SSn.,3m 11 n4 3n 14m22-3m 6m 1因为 n . 0 ,所以-3m2 6m 10.即 3m2 -6m 1 ： 0 .因为所以 1 ： m 1213: 3 .3因为，所以 m = 2 .,此时4 m2n 216 .,-3m +6m +1所以存在满足题意的正整数m、n 二16 . ，”，”，14分12分13分n ,且只有一组解，即m=2 ,20. （本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分

17、类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分 14分）2解：（1）因为函数 f（x）=x -2a l nx ,所以函数f （x）的定义域为（0,：）.,2a且 f （x） = 2x .,x若f（x）在定义域上是增函数，2a则f （x） =2x0在（0,七）上恒成立.x2即 a 一 x 在 （0, ：） 上a兰0y ）由已知a = 0 ,所以实数a的取值范围为-：，0 .,1分2分，,3 分恒 成 立， 所 以4分5分（2）若a : 0，由（1 ）知，函数f （x）二x2 -2aIn x在区间1,2上为增函数.所以函数f（x）在区间1,2上的最小值为f（1） = 1.,6分若a . 0,由于f(x)4

18、=2x “ Xxx所以函数f(x)在区间 0,1 a上为减函数，在区间 2,= 上为增函数7 分(i)若、.a 乞1，即 0 : a 乞1 时，1,2 朽，：,函数f(x) =x2 -2alnx在区间1,2上为增函数，所以函数f(x)在1,2的最小值为f(1)=1 .9分(ii) 若 1 :：乞 2，即 1 :： a 乞 4时，函数f(x)=x2-2al nx在区间1八5为减函数，在 為,2上为增函数，所 以函 数 f(x)在 区 间 1,2上 的 最小值为f a =a aln a . ,11 分(iii) 若.a2，即a 4 时,1,2二0,1 a ,函数f (x)在区间1,2上为减函数，所

19、以函数f (x)在1,2的最小值为f(2)=4-2aln2 .,13分综上所述，当a乞1且a=0时，函数f (x)在区间1,2上的最小值为f(1) = 1.当1 ： a _ 4时，函数f (x)在区间1,2的最小值为f 、a =a-al na .当 a 4时，函数 f(x)在区间1 ,上的最小值为f ( 2 =)- a 2 ,14 分21. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分)解：(1) 方法 1: 设动圆Jx2 十(y _1 $ =|y 十1圆心为 x,y , 依题意得1分整理，得x2 =4y .

20、所以轨迹M的方程为x2 =4y.P到定直线y = -1的方法2：设动圆圆心为P，依题意得点P到定点F 0,1的距离和点距离相等,根据抛物线的定义可知，动点 P的轨迹是抛物线.且其中定点F 0,1为焦点，定直线y = -1为准线.所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x? =4y.2 1 2 1(2)由(1)得 x = 4y，即 y x ,则 y x .42设点D x0,-x02,由导数的几何意义知，直线I的斜率为I 4丿kBC1一尹。.由题意知点I12X。，一 X。4设点12 12XX2则 kBC = 44x1 x2X1x21xo，42即 X1 - X2 =2x。.，,，,，4 分因为kAc二1212X1Xo44X1XoX112 12X2Xo4 24 0 _ X2 - X。X2Xo4X1 -c_4+xoAX1 X2 B=4二XoOXo-17 -k- -kc. ，6 分所以.BAD =/CAD