新人教B版必修二第二章《平面解析几何初步》word练习题

1、第2章平面解析几何初步综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .直线3ax y 1 = 0与直线(a 23)x + y + 1 = 0垂直，则 a的值是()A . 1 或 13B . 1 或 13C. 13 或1 D . 13 或 1解析：选 D.由 3a(a 23) + ( 1)x 1 = 0,得 a= 13或 a= 1.2. 直线11: axy+ b= 0, 12 : bx y+ a= 0(a 0,0, a* b)在同一坐标系中的图形大致是图中的()解析：选C.直线11 : ax y + b= 0，斜

2、率为a,在y轴上的截距为b,设k1 = a, m1 = b.直线12 : bx y + a= 0，斜率为b,在y轴上的截距为 a,设 k2 = b, m2= a.由 A 知：因为 11 / 12, k1 = k20 , m1m20,即卩 a= b0, ba0,矛盾.由 B 知：k10m20，即卩 a0a0,矛盾.由 C 知：k1k20 , m2m10，即卩 ab0,可以成立.由 D 知：k1k20 , m20m1，即 ab0, a0b，矛盾.3. 已知点 A( 1,1)和圆C: (x 5)2+ (y 7)2 = 4，一束光线从 A经x轴反射到圆 C上的最 短路程是()A . 62 2 B .

3、8C. 46 D . 10解析：选B.点A关于x轴对称点A ( 1, 1), A 与圆心(5,7)的距离为 +=10.所求最短路程为10 2= 8.4. 圆x2 + y2= 1与圆x2 + y2= 4的位置关系是()A .相离B .相切C.相交D .内含解析：选D.圆x2+ y2 = 1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2 + y2= 4的圆心为(0,0),半径为2, 则圆心距00)及直线1: x y+ 3= 0，当直线I被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()A. 2B.2 1C. 2 2D.2 + 1解析：选B.圆心(a,2)到直线1: x y+ 3= 0的距离d = |a 2+ 3|2=

4、 |a+ 1|2,依题意|a+ 1|22 + 2322 = 4,解得 a= 2 1.6. 与直线2x + 3y 6 = 0关于点(1, 1)对称的直线是()A . 3x 2y 6= 0B. 2x + 3y + 7= 0C. 3x 2y 12= 0D. 2x + 3y + 8= 0解析：选D. 所求直线平行于直线 2x + 3y 6= 0,设所求直线方程为 2x + 3y+ c = 0,由 |2 3 + c|22 + 32= |2 3 6|22+ 32,- c= 8,或 c= 6(舍去),所求直线方程为 2x+ 3y + 8= 0.7若直线y 2 = k(x 1)与圆x2 + y2= 1相切，则

5、切线方程为()A y 2 = 34(1 x)B y 2= 34(x 1)C. x = 1 或 y 2= 34(1 x)D. x = 1 或 y 2= 34(x 1)解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分.&圆x2 + y2 2x = 3与直线y= ax+ 1的公共点有()A . 0个 B . 1个C. 2个D .随a值变化而变化解析：选C.直线y= ax+ 1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部.9.过P(5,4)作圆C: x2+ y2 2x 2y 3= 0的切线，切点分别为 A、B,四边形PACB的面 积是()A

6、 . 5 B . 10C . 15 D . 20解析：选B. 圆C的圆心为(1,1)，半径为5.二 ipci= 5-卩+4-卩=5，|PA|= |PB|= 52 52 = 25, S= 12X 25 X 5X 2= 10.10 .若直线 mx + 2ny 4= 0(m、n R, nm)始终平分圆 x2 + y2 4x 2y 4 = 0 的周长，则mn的取值范围是()A . (0,1)B . (0, 1)C . ( a, 1) D . ( a, 1)解析：选 C.圆 x2 + y2 4x 2y 4= 0 可化为(x 2)2+ (y 1)2= 9，直线 mx + 2ny 4= 0 始 终平分圆周，

7、即直线过圆心 (2,1)，所以2m + 2n 4= 0，即m+ n= 2, mn = m(2 m)= m2 + 2m = (m 1)2 + 1 1 +2+ m|32+ 42= |m 5|5 1, m v 0 或 m 10.答案：(汽 0) U (10,+ )三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 三角形 ABC的边AC , AB的高所在直线方程分别为2x 3y+ 1= 0, x + y = 0,顶点 A(1,2)，求BC边所在的直线方程.解：AC边上的高线 2x 3y + 1 = 0,所以 kAC = 32.所以AC的方程为y 2 = 32(x 1)

8、,即 3x + 2y 7 = 0,同理可求直线 AB的方程为x y+ 1 = 0.下面求直线BC的方程，由 3x + 2y 7 = 0, x+ y = 0，得顶点 C(7, 7),由 x y + 1 = 0, 2x 3y + 1 = 0,得顶点 B( 2, 1).所以 kBC = 23,直线 BC : y+ 1 = 23(x + 2),即 2x + 3y+ 7 = 0.18. 一束光线I自A( 3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆 C: x2 + y2 4x 4y + 7 =0有公共点.(1) 求反射光线通过圆心 C时，光线I所在直线的方程； 求在x轴上，反射点 M的横坐标的取值范围.解

9、：圆C的方程可化为(x 2)2 + (y 2)2= 1.(1) 圆心C关于x轴的对称点为 C (2, 2),过点A , C的直线的方程 x+ y = 0即为光线 l 所在直线的方程(2) A关于x轴的对称点为 A ( 3, 3),设过点A 的直线为y+ 3= k(x + 3).当该直线与圆 C相切时，有|2k 2+ 3k 3|1 + k2 = 1,解得k= 43或k = 34,所以过点A 的圆C的两条切线分别为 y+ 3 = 43(x + 3), y+ 3= 34(x + 3).令 y= 0，得 x1 = 34, x2 = 1, 所以在 x 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是 34, 1.1

10、9. 已知圆 x2 y2 2x 4y m= 0.(1) 此方程表示圆,求 m 的取值范围；(2) 若(1)中的圆与直线 x + 2y 4 = 0相交于 M、N两点，且 0M丄0N(0为坐标原点)，求m 的值；(3) 在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.解： (1)方程 x2y2 2x 4ym= 0,可化为(x 1)2(y 2)2= 5 m,此方程表示圆，/ 5 m0，即 mv5.(2) x2 y2 2x 4ym= 0, x2y 4= 0,消去 x 得(4 2y)2 + y2 2X (4 2y) 4y + m = 0, 化简得 5y216ym8= 0.设 M(x1 , y1), N(

11、x2 , y2)，贝Uy1 + y2 = 165, y1y2 = m+ 85. 由 OM 丄 ON 得 y1y2 + x1x2 = 0即 y1y2(42y1)(42y2)=0， 16 8(y1 + y2)+ 5y1y2 = 0.将两式代入上式得16 8X 165+ 5X m+ 85= 0,解之得 m= 85.(3) 由 m= 85，代入 5y216y+ m+ 8= 0，化简整理得 25y2 80y+ 48= 0，解得 y1 = 125，y2= 45. x1 = 4 2y1 = 45，x2= 4 2y2= 125. M 45，125，N125，45， MN的中点C的坐标为45, 85.又 |MN

12、| = 125+ 452 + 45 1252 = 855,所求圆的半径为 455.所求圆的方程为 x452+ y852= 165.20. 已知圆O: x2 + y2 = 1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a, b)向圆O引切线PQ,切点为 Q, |PQ|=|PA成立，如图.(1)求 a、 b 间关系；求|PQ的最小值；以P为圆心作圆，使它与圆 O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 解：(1)连接OQ、OP，则 OQP为直角三角形，又 |PQ|= |PA|,所以 |OP|2=|OQ|2+ |PQ|2=1 + |PA|2,所以 a2 + b2= 1 + (a 2)2 + (b-1)2,

13、故 2a+ b 3= 0.由知，P在直线1: 2x+ y 3= 0上，所以|PQ|min= |PA|min，为A到直线l的距离， 所以 |PQ|min= |2X 2 + 1 3|22+ 12= 255.(或由 |PQ|2= |OP|2 1 = a2 + b2 1 = a2+ 9 12a+ 4a2 1 = 5a2 12a+ 8 = 5(a 1.2)2 + 0.8, 得 |PQ|min = 255.)以P为圆心的圆与圆 O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线I的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与I垂直的直线I与I的交点P0,所以 r = 322 + 12 1=

14、355 1,又 l: x 2y= 0,联立 l: 2x + y 3 = 0 得 P0(65, 35).所以所求圆的方程为 (x 65)2 + (y 35)2 = (355 1)2.21有一圆与直线1: 4x 3y + 6= 0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程. 解:法一：由题意可设所求的方程为(x 3)2 + (y 6)2 +入(4x 3y+ 6) = 0,又因为此圆过点 (5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得 入=1，所以所求圆的方程为x2+ y2 10x 9y + 39=0.法二：设圆的方程为 (x a)2+ (y b)2 = r2,则圆心为C(a, b)，由

15、|CA| =|CB|, CA丄I，得3耳2+6b?= r2 , 5耳2+2 b2= r2 , b 6a 3X43= 1，解得 a= 5, b = 92, r2= 254. 所以所求圆的方程为(x 5)2 + (y 92)2 = 254.法三：设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F= 0,由CA丄I, A(3,6) , B(5,2)在圆上，得32 + 62 + 3D + 6E + F= 0, 52 + 22+ 5D + 2E + F = 0, E2 6 D2 3 X 43= 1，解得 D = 10 , E= 9, F= 39.所以所求圆的方程为 x2 + y2 10x 9y+

16、39= 0.法四：设圆心为C,则CA丄I，又设AC与圆的另一交点为 P,则CA的方程为y 6= 34(x 3),即 3x + 4y 33= 0.又因为 kAB = 6 23 5 = 2,所以kBP = 12,所以直线BP的方程为x 2y 1 = 0.解方程组 3x+ 4y 33= 0, x 2y 1= 0,得 x= 7, y = 3.所以 P(7,3).所以圆心为AP的中点(5, 92)，半径为|AC| = 52.所以所求圆的方程为(x 5)2 + (y 92)2 = 254.22.如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆 C1: (x + 3)2 + (y 1)2 = 4和圆C2: (x 4)2

17、 +(y 5)2 = 4.(1) 若直线I过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23,求直线I的方程；(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线I1和I2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线I1被圆C1截得的弦长与直线I2被C2截得的弦长相等.试求所 有满足条件的点 P的坐标.解：由于直线x= 4与圆C1不相交，所以直线I的斜率存在设直线 I的方程为y = k(x 4)，圆C1的圆心到直线I的距离为d，因为圆C1被直线I截得的弦长为23,所以d= 22 -32 = 1.由点到直线的距离公式得d = |1 34| 1 + k2,从而 k(24k + 7) = 0,即 k = 0 或 k = 724,所以直线I的方程为y = 0或7x + 24y 28 = 0.设点P(a, b)满足条件，不妨设直线 I1的方程为y b = k(x a), k 0,则直线I2的方程 为y b = 1k(x a).因为圆C1和C2的半径相等，且圆 C1被直线I1截得的弦长与圆 C2 被直线I2截得的弦长相等，所以圆 C1的圆心到直线I1的距离和圆C2的圆心到直线I2的 距离相等，即|13 4 b|1 + k2 = |5+ 丽 b|