五年级奥数.行程.多次相遇和追及问题(B级).学生版

1、11知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“ 路程二速度 时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解.、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程;第2次相遇，共走3个全程;第3次相遇，共走5个全程;第N次相遇，共走2N-1个全程；2N注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是 2个全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每次都走 米。2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次

2、相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具一一柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以 及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。一例题精讲【例1】甲、乙两车同时从 A地出发，不停的往返行驶于A B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：

3、甲车的速度是乙车的多少倍？【解析】2倍解：如下團所示，因瀕喻次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的路程相等，即AC =,推知冲乩第一次相遇时，TA.T + ac =-AH h乙走了【巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？甲、乙两人的速度和第一次为60-6-10 （千米/时），第二次为12 （千米/时），故第二次出发后 5时相遇.设甲第一次的速度为千米/时，由两次相遇的地点相距1千米，有6x-5 （x + 1 ）= h解得咒=方或 = 即甲、乙二人的速度分别

4、为6千米/时和4千米/时“【例2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长.世意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完丄圈的路程当甲、乙第二次相遇时，甲乙2失走完1+-三色圈的路程.所以从开船到第一、二次相遇所需的时间比为1: 3,因而第二次相 2 2遏时乙行走的总路#呈为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100 3=300米.有甲*乙第二次 拥遇时，共行走（L圈-60）+300,为巴圈，所以此圆形场地的周长为480米.?【巩固】A B是圆的直径的两

5、端，甲在 A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在 D点第二次相遇.已知 C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？340【例3】甲、乙两车分别同时从 A、B两地相对开出，第一次在离 A地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇求 A B两地间的距离是多少千米？画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路銭.）：尉比米.甲车鼻;IA -“ ; BsPFx严*丰 乙车第1抚和祸第？次相遇可叹发现第一次相遇慧味着两车行了一个A. B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A. B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一

6、个A、氏两地间的距离时，甲车行了 95千米，当它 们共行三个触B两地间的距离时,甲车就行了 3个95千米*即95 x 3=285 （千米），而这2对 千米比一个觥B两地间的距离多巧 千米”可得：95 x 3-25=285-25-260（千米）.【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离4 x 3=12千米，通过画图，我怕发现甲趙7个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所 以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9- （ 3+4 ） =

7、2千米.【例4】A B两地相距2400米，甲从 A地、乙从B地同时出发，在 A、B间往返长跑。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑 240米，在30分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时A地最近？最近距离是多少米？30 x （300+240） - 2400=6. 75个全程，相遇3次，把荃程分成9份，第一次相遇，甲跑5份，第二 次相遇甲跑15份，距离J3份，第三次相遇甲跑25份距离A1份，所以第二次相遇距离A最近， 最近为 2400 -9x 3=S00 米【巩固】A B两地相距950米。甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米;乙跑步，每分钟行 150米。则甲、乙二人第一

8、次迎面相遇时距 B地最近。半小时，两人一共行走（40 + 150）x30 = 5700米、相当于6个全程，两人行程毎2个全程就会有一 次相遇，而两人的速度比15： 4,所以相同时间肉两人的行稚比为4,那么第一次相遇甲走 了全程的x2 = ,距离B亠牛全程，第二次相遇甲总行程兰距离*三个全程，第三次竺15 + 419W191919距离？个全程，所仪甲、乙两人第二次迎面相遇时距离地最近*1 Q【例5】甲、乙两车分别从 A, B两地出发，并在 A, B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是 25千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A, B两地的

9、距离。200千米.第一次相遇时，两车共走1个单程，其中乙车占-=-.第三次相遇时，两车共 15+25 S走予个单程，乙车走了（个）单程；第四次相遇时，两车共走7个单程，乙车走了 7x- = 28 8 8 8（个）单程；因为第三次、四次相遇地点相差-1 =丄（个）单程，所以冲，水两地相距S S 210丄 200 （千来）.2【巩固】 欢欢和乐乐在操场上的 A、B两点之间练习往返跑， 欢欢的速度是每秒 8米，乐乐的速度是每秒 5米。两人同时从 A点出发，到达 B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是。第二次应面相遇，两人合计跑了山个全程，速度比试& 所以欢欢跑了

10、 4 X = =2 131313全程为丄亠仝= 130米U 1叮【例6】甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为1.0米/秒和0.8米/秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？ （2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？（1 ） 250秒；（2） 4次.提示：（2）甲*乙分别游了 5个和14个单程，故迎面相遇4次.【巩固】 小明和小红两人在长 100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？第一

11、次相遇时两人共跑完了一个全程，所用时间为：斗（百斗巧=（秒）*此后，两人每相遇 一次，就要合跑2倍的跑尴长，也就是每20抄相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了1 2 x 6（） - 10 = 710 （秒）.求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次梱遇，就是相遇的总次数.列 式计算为：100 + （6+4）= JO （秒），12x60- 10）- （10 x 2） = 5 10 共相遇 35 + =36 次）.注： 解决问题的关蜒是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程悅.【例7】甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的2，二人相遇后继续行进，甲3到B地、乙到A

12、地后立即返回已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距 千米.由于甲、乙的速度比址2:3，所以在相同的时间內，两人所走的路程之比也是2:3第一次相遇 时，两人共走了一个AR的长，所以可以把AE的长看作5份*甲、乙分别走了 2份和3份；第 二次相遇时，甲、乙共走了三个AB ,乙走了 2x3 = 6份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB , 乙走了 25 = 10份.乙第二次和第三次相距1 6=4 （份）所以一份距离为：100三4=2疔（千米）， 那么A、H两地距离为：5 x 25 = 125 （千米）ii t r 亡融【巩固】 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小

13、王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追上也算作相遇），则甲、乙两地的距离 为千米.由于两人同时出发相向而行所以第一次相遇一定是理面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以 两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可資黝同向追及.如杲第二次相遇为迎面相遇，如下图所示、两人第一次在A处相遇，第二次在占处相遇+由于 第一次相遇时两人含走1个全程，小王走了 3千*;从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个 全程，所以这期间小王走了 3x2 = 6千来，由于B之间的距离也是3千米，所以直与乙地的 距离为（6-3）+ 2 = 1.5千米，甲、乙两地的距离为6

14、 + 1.5 = 7.5千米；李乙如杲第二次相遇为同向追及,如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走.小李 走到甲地后返回，在B处進上小玉.在这个过程中，小玉走了3 = 3千米，小李走了 6 + 3 = 9千 米，两人的速度比为3汕=1：3.所以第一次相遇时小李也走了 9千米，甲、乙两地的距离为 9 + 312 千米.所以甲*乙两地的距离为7.5千氷或12千氷.【例8】A, B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于 A B两地之间，都是到达一地之后立即返回， 乙车较甲车快。设两辆车同时从 A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？第一次

15、相遇，甲乙总共走齊2个全程篥二次相遇，甲乙总共走了 4个全程，乙比甲快，相遇又 在P点，所以可获根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个 P点，路程正好是第一次的路程.所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了 2份乙走了 4份* 第二次相遇，乙正好走了 1份到B地，又返回走了 1份.这样根据总结：2个全程里乙走了（54Q 3） *4=180 x 4=720 千米，乙总共7 720 3=2160 千米*F#1 I 儿 4* A tai f 4 tF -I.b【巩固】 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千

16、米处第一次相遇，在离乙村 2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地 点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？【解析】錘示意图如下.王王第二眈相遇两人已決同走了甲，匸两林距离的3倍,因此张走了3, 5 * 3 - 1Q. 5 （千米）”从图上可看出，第二次相遇处爲乙村2千采一因此，甲*乙两村E巨离是10. 5-2 - 8. 5 （千来）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的蹲程一第四次相遇时，两人已共同走了两村 距蛊（3 + 2 + 2）倍的打程.其中张走了3+ 5 x 7 = 24. 5 （千米人24” 5=8. 5 十紡 5 + 7. 5 （千米）, 就知道第四次相遇处，离乙村8.

17、 5-7. 5=1 (千米).答：第四次相遇地点翦乙村I千米.【例9】A, B两地间有条公路，甲从 A地出发步行到 B地，乙骑摩托车从 B地出发不停顿地往返于 A, B 两地之间。他们同时出发，80分后两人第一次相遇，100分后乙第一次超过甲。问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？4次.提示：如下图所示，C, D点分别为乙第一次遇到和趨过甲的地点。甲从A到（:用了盹分， 到D用了 100分，乙从C到A又到D用了 20分*可见乙20分走了甲180分走的路，即己的速 度是甲的9倍.B20IlI90分【巩固】 电子玩具车 A与B在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。已知A比B的速度快50%

18、，根据推算，第20072007次相遇点与第20082008次相遇点相距58厘米，轨道长厘米。A ,占两车速度比为(1 + 50%):1 = 3:2第20072007次相遇点的位置在：3 x (2x lOO?2007 - I) = 5(modl0)；第 20083次相遇点的位置在：3 x (2 x 200Sim - 1) - 3(mod 10),所以这条轨道长58(5 - 3) x 5 = 145 (厘米)【例10】A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在 A、B两地间往返锻炼.乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近(从后面追

19、上也算作相遇)？最近距离是多少？甲、内.两人共行了(150 60) 30 600= x +米，相当于6个全程又300米，由图可知，第分钟相遇时距离A地最近，此时两人共走了 3个全程，即1000 x 3-3000千米用时3000 ( 150+60 )=100/7 分钟，甲行T 60 * 100/7=6000/7 米，【巩固】A、B两地相距950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时. 甲步行，每分钟走40米; 乙跑步，每分钟行 150米则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近？半小时内，两人一共行走(4。十150 x 30 =5700轧 相当于6个全程，两人每合走2个全程就会有一次相遇，所哄两

20、人共有3次相遇，而两人的速度比为40 : 150= 4 : 15,所以相同A兄时间内两人的行程比为4 ：15,那么第一次相遇甲走了全程的 x2=,距离B地11/1915 + 419个全程；第二次相遇甲走了个全程，距离B地3/19个全程；第三次相遇甲走了 24/19个全程，距离B地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近*【例11】A、B两地相距950m，甲、乙两人同时从 A地出发，往返 A、B两地跑步90分钟.甲跑步的 速度是每分钟40m ;乙跑步的速度是每分钟 150m 在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问 在第几次相遇时他们离 B点的距离最近？950-*-(150 +

21、40) = 5 (分钟*甲、乙两人合走一个全程需要5分钟，每合走2个全程相遇一次， 所以总共相遇90-(5x 2) = 9次.而甲每10分钟走40x JO= 400 ( ni)并且与乙相遇一次，因为 950x3-400x7 =50 ( m )也就是峑甲*乙两人第？次相遇时甲离应地50 m为最小.庇第7次相 遇时他们离占点距离最近.【巩固】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在 A、B两地间往返锻炼甲每分钟跑300米，乙每分钟跑 240米，在30分钟后停止运动甲、乙两人第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少？第二次，800米【例12】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一

22、时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中均要航行七天七夜试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约 开来的轮船？【解析】这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国數学家柳卡斯图姆给出的一牛非常直观巧妙的解法. 他先画了如下一幅图；这是一张运行图在平面上画两条平行线，叹一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约.那么， 从哙佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示*图中的每条线段分别表示毎条船 的运行情况.粗线表示从瞪佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮 船相遇的情况从图中可以看出某天中年从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15搜 轮船

23、相遇（图中用虚线表示）.而且在这相遇的15艘船中有1屣是在出发时遇到（从纽约刚到 达哙佛），1艘是到达纽釣时遇到（刚好从纽约开出h剩下13艘则在海上拥遇：另外，还可从图 中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考，可能认为仅遇到？艘轮船.这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了 已在海上的轮船+U 15般【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站.在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车.到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出.问他从乙站到

24、甲站用了多少分钟？【解析】先让学生用分析间隔的方式来解蓉：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到即是15分钟前发的车此时第4辆车正从甲发出.骑车 中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔、时间是斗o （分钟）.再弓1导学生用柳卡的运行图的方式来分析：第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站.由于每隔3分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分每一小段表示5分钟”甲站丄丄亠口乙站-Q第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与尸点（注意：这两点在水平方 向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过 等分点作一

25、簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车.乙站-Odi、0耳第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从尸蛊引出的粗线迪须和1D条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行践.6789 10 11 12 -有R个同隔从图中可以看出，骑车人正好经历了从戶点到0点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了5xS= 40 分钟*对比前一种解法可以看出.采用运行图来分析要直观得多！课堂检测【随练1】如右图，A, B是圆的直径的两端，甲在 A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知 C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周

26、长。甲乙第一次相遇，两人共走了 0*5圈；第二次相遇，两人共走了 L5 ffln因为1.5-0. 5-3,所以第 二次相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的3倍，即ACD = ACx3 = 24O （米），推知 AB = 240- HD = 180（） ? | 周长为 ISOx 2 360 （米【随练2】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离4千米【随练3】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地1

27、8千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.I 41千米【随练4】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于 A、 B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？A-4_nBIw才乙第一次相遇第一次追上由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在I00-H0=20 （分钟）内所走的路程恰等 于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80 + 100）分钟内所走的路程，因此，乙的 速度是甲的9倍（ = 180-1-

28、20 ） r则RF的长为AT的9倍，所以，甲从A到总，共常走 80x （1+9=呂（1（分钟）乙第一次ii上甲时，所用的时间为100分钟且与甲的路程菱为一个片占全 程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程、因此追及时间也变为 200分钟（=100x2 ）,所叽 在甲从卫到占的800分钟内，乙共有4次追上甲*即在第100分钟， 300分钟，500分钟和700令钟-【随练5】甲、乙两人在一条长为 30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如 果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？【解析】采用运行图来解决本題相当精形！酋先L甲跑

29、一个全程需30 + 1 = 30 （秒），乙跑一个全程需3G+O.6 = 5O （秒）-与上题类似，画运J甲，乱乙，从图中可叹看出，蛋甲跑5个全程时乙刚好跑3个全程，各自到了行图如下（实缆表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）:一个周期內共有5次 相遇，算中第1* 2, 4, 5次是理面相遇， 而第m农是追及相 遇.不同两端又重新开始，这止好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了 5次，所以两人跑10 分钟，正好是四个周期，也就拥遇了 4 =20 （次）家庭作业【作业1】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米

30、，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？【作业2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是176138千米，这时是几点几分?4干米-亠4千米-”1家小明爸爸15图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4 = 4 （千氷）*而爸爸騎的距离是 4+ 8= 12 （千米）r这就知道*爸爸骑摩托车的速度是小明埼自行车速度的12-4-3C倍）按照这个倍数计算，小 明騎&千米，爸爸可以骑行8 X 3 = 24 （千来）+但事实上，爸爸少用了 8分钟，騎行了 4 + 12 = 16 （千米）少骑行24-16 = & （千米）.摩托车的速度是&S=1 （千米/分h爸爸骑行16千米需要16分钟.【作业3】“心一讥.于辽丁二住.-：门卞甲、乙两车同时从 A, B两地相向而行，在距 B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距 A地42千米处相遇。