五年级奥数.数论.余数性质(C级

1、五年级奥数.数论.余数性质(C级)例T.7 一个两位数除刖金 余籬品求这样的两位数。【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答解折亍本題为余数问姻的M題吐 需要学生明白一个重要知鎭畐 就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个 “除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數本題中315-*2=273说明273是所求兪数的倍数*273=3x7x13所求的两位数的數还要满足比竝丸，符合条件的有91【答案】91I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数*74 Z ? 20047 【耆点】除法公戎的应用I难度】2星 【题型】填空关皱

2、词】 如年，第2,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4除數=商余敷，建推计 算痔到：徐數-(2WM713)742=27【答集】27I例?命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每 衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为I耆点】餘法公式的应用 【难度】3星【题型】填空【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬 初躺 第11罐【解析】令箔I次取的編号为釧 第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2 (2i+l ) +L=4a+3;还剰 下的编号为：55*7a=5L-7

3、a,爭a为百臥 俞下的趕9；当a为7时，余下的是【答案】9A2I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个 商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右个.【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型填空【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬 和執 第洛題【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为 和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34可知，10介数中除直3余2的数有3=4 （个），又知道旧伞自然毀的和为|（趴 设除以d余I的数有子个眸裟报 据用去雇法冶十个商的和与山个自摊數的和，可得灵皋戎：+2rl = l_3Oi解得，工“333【答案】2I例*

4、）托吗想了一个正粋数，并H茨出了它分别除113. 6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以怡的余数.【考点】带余除法的怙算闻題【难度】3星【题璽】解答【关梃词】圣披得堡數学奥秋匹克【解斯】除事氛右和9的余数分别不超过2,乳 卷 所佛逮三个余就的希永远不超过2 + 5 + 215既然 它们的奔第于15,所以这三个余数分别就是2, 5, .所以谨數触J君能覆玉6, 9而|7P6P9| = 1!i t设诱魏为宀则口 = 1伽-1即d =18伽-1） +门（阿为非零自煤兹h所以它:臨以 】8的舍數只能为17,【琴案】17巩圍】一个正報数，它分别除以7, LL和G的余数*现知这丄余数的利是2S

5、L试求该数除以的余数.【考点带余除法的估算问題【难度】3星【題型】解答【关储词】虽彼得堡数常翼林匹克【解析除以九II和的余数好别不趨1&，12,所以这三金余戲的和永远不i6+ L0H-I2-2B , 既然它扪轴和等于2K,所以这三个余数令别就是 1血12,所已诬数加I后能被7、II和13 整铝 ft 7,11,131 = 1001 ,址陵数为”* Jf1! d = 1001 m -I + 即 t = 91 k1 1 k（ m 4） 4000（ m 非零自然戦h所权它檢以91的舍數只能为知“【答案】90罰4J用I、9、氛探这四个数字能徘成儿个披H除余!i的四位数？【哮点】徐法公式的应用【难度】5

6、 X【题型】境空【炭犍词】幣二届，华杯執 初名 第14题【解析】用1、鼻8. $可排成煌个四位戳.即）988,冷甥1閱 9】圈，9和乩9跆1* fJNS,射豹，的备 的U,SK19細9】它们减去变为 19B0, 1890, 1881，9JH0. 9810, 9873. 8190, S1S1, 8910, 8973, S8U, 8H83 烬中破M整除的仅有1卿），1S8L S410,曲II,即用1 9* & !4可排咸.4介被除余姑的位 數，即J9H8，H918闕 19,什么样的数能被J1竝除呢？ 一个判定法則是：比较奇住数字之和与偶位數字之和.知果它如之 差能枝II琛那虫所给的软就能祓I整除，

7、否刚就不能够. 现在要求破1】除命敲 我们可以連样耆虑：这样的數加上3后*就能楝II整除了-所议我怕粹 到“一个数被11除兪！T杓判瓷法則：持偶位歎字相血得一个矜歎，再将奇位數字相新再加上3 捋另一个和數、扣果这两个和数之差能被II除尽，那幺这个醜足被II幣余N的數；否別就不是*矣把h 9、排成一个彼II除余醫的四住敷，可以把这从卜戡裁成两组，毎组2个数字.算中亠组作为千位和十住戟它们的和记柞丸；另外一组柞为百住希个位数*它们之希加上3记作+我们要适当分组，使痔能偶位背位C1 )1 89 e(2 )1 * 9e e(3 )9 8i e(4 )$ 8i 勺被I】整除.現在只宥下面4种分组法：超过

8、脸证，第(1 )钟令组法满足前面的雯求：A-i+n, -9 + 8 + 3-20 J? -A - II能號1】除 尽怛 基 余 三 科 分 组 撷 不 觸 匿 要 求*根据判定法則还可以知道，如杲一金数被II际余缶那么牲奇1杓任竈两个數字互换，凱者庄偶也的任意两牛数字互換，番到的新数被II除也余乱 于是，上面第(1分组屮，1和苦中任一 个可也柞为千位戟，9和呂中任一个可因作为百住魏-这样典有4聊可能的撫法：丹H& 1翻9, 8918,粕19答：能排成4个秋和除余it的數【答耄】4IMJ用2、沢0. 7V 7、良4这七个数字托被II除余()的绘小和呆大的七位数？【淆点】除法公戎的应用【难度】5星

9、【題型】廩空【解析】用2.队Os人=、2. 4这七个数字什么样的数能皴11摊除呢？ 一个判定決刚是：比校奇住数字之和与偶住数字之舸，如炭它们之 差能被II除尽，那么所給的戟就能诚I】整驚，否则就不能够.现在要求被II除余缶 我怕可以这强考虑；这样的数加上5我减击右点”就能被1】楚除了.(I )如果0做底般：加5把一个0愛咸仏数字舸是2+5+4?+了+2心2人奇位敷字之和与偶位般 序乏和的菱是11的搐編都是自然醜+所以奇软位数字好=1更偶数住藝字之乘禺最小的为 7202745.即足敷为0的最小械116的敷为7202740,足敷对D的最丸被11廉除()的数为 7472020(2)知樂2做雄股：加5

10、把一个2变咸.7,魏字彌是7+(MH7+7+2+4=2人奇住数字之和与偶位数 字5的盖是11的倍欽，隸是自然#L所収奇瓢位數字之和二19,耐I便敖字也址乩这拜的数 不存在，(3 )如果4做尾数：加5把一个4塹成乳 数字和是齢0+37+7+2+42人奇位數字之豹乌偶位数 字之和的差是的倍数，祁是自然醜+所以奇験位数字也机比偽戳位数宇之奉=乩这样的软 不存在”(4)如果？做足数：城右把一伞7更辰L数字和是2+OKH-I+7+2+4= 16A拉數字之和与偶位数 字之和的差是1】的催轨 都是自然软，所以奇戟位耻宇之和=备 偶数位数字之和=乩 聂片的为 7202041,即足數为7的最小掠II除命氏的数为

11、7202047,足數为了的最丸被I除余tii的数为7402027720274072(i2047 最大 7720207402027I答案】最*b 7202047.最大7472020【例5】 将七位数叫孑刘924“車复写287次纽威一个2009位数13579241357924.去这个数中所有位 奇数位上的数字；按上述厅丛一肓删除卜-去直到剩下一个数字为止，则堀后剩卜一的数字是I舟点】找規律计算【难度】4星 I題型】解答【关槌词】21)09年，第14届*华杯霉，决赛，第3题【解析】本題哮察二进制，聂后剩下的数是屮“鏗4位值上的数字，周期为=,朋以IO24 + 7I4S2,耶幺理个周期中的第二个數是弓

12、词】3I30粒珠子依呂粒红色、2粒黑鱼.粒红色、2粒照色的次序串成一罔，一只蚂蚱从第2粒黑珠子起跳每次跳过6料珠子落在下粒珠子匕 这只蚂蚱至少耍跳次才能落到黑珠子匕。I考点】扶规律计鼻I雜度】3星【题型】填空【关挂词2W6年丫第4届，走美尿3年虬初鞋薦12题薛折】規翳可知，誓次眺过占粧珠子，则隔了个珠子，观在知第】伞聲味子在1血第二个在17第3 个在24*第431-30=1,第5夺在3弘10=治 第自个柱気 第7个在2,第客个柱36 所就这 只妈蚱至少要跳7炭才能落到囂珠子上*I答案】7次I 例 6】 如果 1=1(* 1X2=21 * 1X2X3=31 Ix2x3xX99xioo=i00t

13、那么 11+21+3!+.-100!的个位数字晁多少？【考点】兪数的加减法定理【难度】3星【题型】解等【解析】从5!开始个位数字都是。了固此只需箋计界前4卒歟I! +2! +3! +4! =1+2+24=33所以末位 數字一定是孑【答案】3【巩同如杲 1 = 11” 1x2=2! , Jx2x3 = 3l煜汨xx99xlOU= |(M)!那么 1!+3!+5!*?汁+99!的末商位数字是多少？【考点】余救的扣减法定理【难度】3星【题型解答【孵析】从IU!升始末两位数字都是0 了因此只霸要计算前5个數,1! +5! +5! +7! +91未两位数 1+6+2屮片机曰47斯谅末住貌字一屯是4了【答

14、案47例77有2个三位数相瓏的积是一个五位数，税的后四位是320勺 第一个数#个位的数字之和是II,第i个数的各个位数字上和是求两个三位数的利【考点】弃丸法 【卓度】3星 【题型】塀蓉本题条件仅络出了两个乘数的数字之和，同时发现乘枫的一部余已经蛤出，即乘赫的一部分数字 之和已经給出，我们可以采用弃九逡原理的倒掴来构造出鹿三桂數阖为这是一牛一定正确的算 式、所以一定可洪满足弃扎洙的彖件*两金三检数除说9的余就分别为2和乩所必等式一边除 以9的余数为3,那么口32仍除汉9的余敘也魁越为3, 只能是2.将23205今解质因数发现 23205 = 7 I3k)5x17 = I 19 ；Wi*J -(7

15、J) 乂护齡以9的余数为宁除事9的 余数，即为4”另一方面，由-t20052QOfil00005M6 - It?024 n所以鸿加汕“的位敷不超过$024住，那么它妁各位 软字之和不i9*an24 - 7221ft)即A 72216 ；那么A的各住歎字之和E 9 x ,=斗5 , R的各 住數字之和c c 9*2 = is c小于 用且除应9的余数为4”那么c为4或13, c的各位數字之和 为4,即D = 4.【签案】4例叮 对任意的自然数町 证明-290-01-464 +261 被厨97靈除.【考点】余敷性质的综律运用【难度】3星【题型】解答I解析】略(11K97 - 7 x 27 L T

16、7 与 271 互质，因为 2903 = 5(mod 7) , S03 = 5(mod 7 , 464 =2 + 故 N 能被 271 整除 + 因为 7 与271互盛，所限4能敎1S97蹩除.巩雷】若为自然数，证明10(-).【考点】余敷性质的舞合运用 【难度】3星【題型】解答【艸折】略答案】10=26由于严与丿的奇偶性相同*所加*沁-严1严”-严严岳輻-1卄如果口能试号整除，那么却評严-I）;如果不能破5整跖 那么口被5齡的余敷为1*2* 3 取者4, J械5徐的余数为T、2 屮、4*5除的余數，即为I、16. KI. 2殆被5徐的余歎， 帀这四个数除以5麹余I,所琪不管“为多少，十被5除

17、的余數为I,而汁-（/V ,即14个J 相花 所点严除事5均余I则汁-|能被5楚除，有纽严W-）.所知由 于2与5互盾，所以（I卜泗例万 在3X3的方林表中已如右图填入了 9个战数，将表中同一荷或同一列的3个数加上相同的自然数祢为一次操作.问：你能通过护干决操柞便得去屮9个数都变为相同的数吗？为什么？【君点】运用同余进疔诰证【雉度】？星【題型】解基I *m略【答案】因为表中9个展数之命恰为100,被3除余4经过每_次摊作，恵奔增办的信歎，所以表中9 牛数之农除淇3恿是余1.如疑表中9个数变为相等.那么9个数的总粗应能被3整除，進就菇 出矛盾！所以，无论经过多少决操作.表中的數都不会变为9个相同

18、螂數.巩固r 一个二位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等它除以19后所得到 的商与余数的和.那么这样的二:位数屮疑大数是多少，最小数是多少？【孝点】运用同余进行论证 E难度】4星 【題型】孵客【关储词】2008年，仁华学校【解祈】设進枱三位敷为它除以门和】9的商分别为口和b，余数分别为m和Fl ,刖“刑毗密 . 根拥題意可知a + m b + n ,所以（门亠耐）用_（方+町，即6a = I ,得Ka =学占.所収u 11_ 9 甘 1的倍數，“是8的梧數.此时*由fl + m = b + nIri-m = a- h- a- a = a由于f为三位數*99龜那为 10

19、0,最丸为 999，所我 100九 * 瑜 M 而 im .16 ,所 + J i I7ii + Jn *9V I00 17a I7o+ 16 ,得到5 i a S 5H+而a足9的倍虬所说口最小曲9、最丸为54*当fl = 54时、n - m 丄穴=1而4 IK T所m i 12 故此叶上盘丸为I 7小4 - L龙=时C；当0=9时、9n-m=丄=1 ,由于m I ,所以此时最小为|? k 9 + 1 = 154 +所哄这科的三位觌中最.丸的是93D,9和卜的是154.【答案】厩丸的是930，鼠小的是154I例JO从4 2P 3,，起中-flHZ57个数，便这57个数懸育两牛数的差为则起的癡

20、大值为多 少?【考点】运周同余进籽论证【难度】4星 【題型】解答【芜犍词】20用年，西城实脸【解析】皴口除的同余序列当中.知余I的同余序列k 14. 27. 40. 53. 66,其申只要取5勺两牛相邻的*这两个数的基为口；如耗没有两年相邻的数，创泼有阿个數的差为13,不同的同余序 列当屮不可能有两个數的基为1凳 对于世蹇一条起 2 工的序列，郝聂多能取一令数，使2稈取出的数中没冇两个数的菱为13.即从第】个数起隔I个取1个.基于淇上，龍个毀裁藏口个序列，毎帚序列的鼠度劲上】战上】+】，两牛长度菱为1的序列*J3 J |_13 J要俊取出的独中没有两个数的圣为13.能髒被取得的数的个數之噩也不

21、会趙逹I.所以为梗57伞数中任意两个数的差榔不筝于13,则这57个数秋令配在幹序列申，在毎条序列被令配的數 的个鬟基不会超过1,那么口牛序列有8个序列脅酣了 4个歎* 5 b序列爵配了 5个敷，則这13 牛序列中甘个长度为出5个唸度労虫 那么当烈最小为时，可以取出57个數* 其中忏两牛數的翟不为口，所罠要使任取賓个数泌疔两牛数的昱为13,那么n的硅大值为108,【答集】I0S巩囹设加是质数，证明：宀2X，/被戈”1除所得的余数各不相同.(a + fr)=0(motl2M+ l)t 由于加 + L 是履數所哄 an- b = 0(mod(2n + 1)或 a b = 0(mod(2n + 1 +

22、 由于 b + b，屈一 b 均卜于 2j + L 且大于 0* 可知,屈 + 血 与2闪-1互质* -於也芍对-L互质*即7, -力舞不能枝茁+ 1整緒，产生矛曆所以假役 不成立，原題捋证“课堂检测【随练1】用某口然数”去1992 ,得到商足46余数足 求”利一【考点】除法公式的应用【離度J 2 I两两相加徐以3即可.显赭1笳違动员 打自盘是最多怖.UMU 5随练3】将I3579I1J3I5I7I92I依次写到第2013牛数字，组成一个20 位数，那么此数除以9的余 数是，【耆点】弃丸法【难度】星 【题型】境空【解析】本题第一步是要求出第203个數字是什乩 再时数字求和IT抉有5个就字，11

23、-99共有45 金斓位数，共有數字：4弘2帕(共450夺三位融，共有数字:450x3 - 1350 (4)竹1加1的的典450卒三li数，共有敷字：4500x4 = 1K0U0 (个)，所法數连续宵丫不会写到9999*从HKH开姑是4位数*每四个数字表示一个數，(2013-5-901350) + 4 = 142 t即有】42牛四 位数，从1001开始的第142个四位联是12狛.I+3+5+7+卄“一 +L2S+12S3= ( I+J2S3) x642-2=412164+4+1+2+1+6+4= J B,除以 9 余 Ik【尊衆】0家庭作业柞业1】写出全部除109后余数为4的两位数.【丰点】除法

24、公式的应用【華度】2 【题愛】解答【損犍词】美国悅島，小学數学竞寮，第五届【解析】04-105-357,因此，这样妁两位数是：15； 35； 21.【容案】两便數是：15； 35; 21【柞业2】幼儿园的老聊给班里的小朋友送来4A只桔子200块讲干.12。块奶糖平均分境完毕，还剌4 只拈子，貌块讲干，12親奶耦这班业共有位小朋友.【考点】余数的加减法定理【难度】1里【題型】填空【关犍词】2005年第3届，走美杯斗年飙.决赛*第3題，呂分【解4(M=36, 200-20= 10, 120-12=108.小朋友的人数应是3缶1的山)08 大于20的咚绚數、只有36.I答案】36【作业3】六名小学生分别带着14心 门尤、JS7L. 21 7L. ”冗、勢尤饯，一起到新华|泊购买(成诳大词典肌一看定价才发现有5个人带的银不够，但呈耳中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买龙本，j戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种&成谄大词典的定价元.【考点】余数的加减法定理 【难