初三几何5旋转1.基本模型(2014-2015)教师

1、实用标准2014 年中考解决方案旋转 1基本模型文档实用标准学生姓名:上课时间:旋转1中考说明内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的 距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角 彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作岀简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题知识点实用标准一、旋转有关概念旋转基本概念见解决方案高分必备，请配合该课本使用二、旋转秘籍（旋转前提，有等线段）?秘籍：四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）解读：等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺

2、的旋转模型都要能很快看出来?等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）?等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）?等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）文档?不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）旋转秘籍：图形中岀现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合.图形中岀现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60角后与另一边重合.图形中岀现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90角后与另一边重合.中考满分必做题等边三角形【例1】如图，已知ABC和ADE都是等边三角形,B、C、

3、D在一条直线上，试说明 CE与AC CD相等的理由.【答案】 AC AB， CAE BAD，AE AD AEC也 ADBCE BD又 BD BC CD AC CD CE AC CD【巩固】已知：如图，点 C为线段AB上一点， ACM、ACBN是等边三角形.求证： ACN MCB :ACDE是等边三角形； CF平分 AFB【答案】第三问提示，往角两边作垂线，利用全等三角形高相等.N【例2】 平面上三个正三角形 ACF , ABD , BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分.【答案】连接DE与DFDBA EBC， BADCAF 二 DBE ABC, BAC DAF在DBE与ABC中DB A

4、BDBE ABC DBE 也 ABC (SAS) DE CA FCBE BC在DFA与BCA中DA BADAF BACAF ACBDFA 也 BCA(SAS) DFBC EC 四边形DECF为平行四边形,EF , CD互相平分.【例3】 已知，在 ABC中，ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合），以AD为一边向右侧作等边 ADE （C与E不重合），连接CE .（1 ）若 ABC为等边三角形，当点 D在线段BC上时（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角 为 ;（2）若 ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图2所示），你在中得到的结论是 否仍然成立？请说明理由；（

5、3 ）若 ABC不是等边三角形，且BC AC（如图3所示）试探究当点D在线段BC上时，你在（1） 中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指岀当ACB满足什么条件时，能使（1）中的结论成立，并说明理由.实用标准E图1图2图3【答案】（1 ）60 ;(2)成立. ABC是等边三角形,ABACBAC60(3)等腰直角三角形 ADE是等边三角形,BAD ACE/ ACDADAEDAE60BAD也CAESAS ,ABD 60120 , ECF 60即直线BD与直线CE所夹锐角为60原结论不成立当ACB 60时，才能使中的结论成立.则AGC是等边三角形， AGAC ,GAC60 ADE

6、是等边三角形， ADAE ,DAE60 , GADCAE，GAD也CAESAS ACEAGD60 ECF180ACGACE1806060 60当 ACB 60时，在BC上取一点G ,使得CG AC ,当 ACB 60时，能使中的结论成立.【例4】如图,ABC 中，AB AC,BAC 90 , D 是 BC 中点，EDFD , ED与AB交于E , FD与AC 交于 F 求证：BE AF , AE CF .ADC【答案】连结AD AB AC, BAC 90文档实用标准 B C 45D是BC中点BAD 45 且 AD BC EDAADF90 ADEEDB90 BDEADF在BDE与ADF中，AD

7、BD，DAF BDE 也ADF- BE AF. AECF ./ ED DFB 45 , BDE ADF总结：若 AB a 则 AE AF AE BE AB a【巩固】在等腰直角ABC中， ACB 90，AC BC ,M是AB的中点，点P从B岀发向C运动，MQ MP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化.【答案】连接 CM 因为 AC BC且 ACB 90，所以 B 45因为M是AB的中点，所以 AMC BMC 90，ACM 45 且 CM BM，贝U ACM B 因为 MQ MP，所以 QMC 90 CMP PMB， 所以 QCM也 PBM，所以QM PM .因此 MPQ是等腰直角三

8、角形，在P的运动过程中形状不变.MPQ的面积与边 MP的大小有关当点 P从B岀发到BC中点时，面积由大变小;当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大.【巩固】等腰直角三角形 ABC，ZABC 90，AB a，O为AC中点，Z EOF 45，试猜想，BE、BF、EF三者的关系.【答案】如图，过点 0作OG OE，交BC于G ,连结0B，易知 OGC也 OBE ,Q BE CG，又 J EO 0G ,/ EOF FOG 45，OF OF， OEF 也 OGF，二 EF FG BE BF EF CG BF FG AB a又/ B 90，- BE、BF、EF又存在另一关系

9、式 BF2 BE2 EF2注意：关于三条线段的两个结论.【例5】如图1，已知 ABC 中,AB BC 1，ZABC90，把一块含30角的直角三角板 DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为 按逆时针方向旋转.在图1中，DE交AB于M ， DF交BC于N . 证明DM DN ; 在这一旋转过程中， 的面积是否发生变化？DE，长直角边为 DF ），将直角三角板 DEF绕D点继续旋转至如图 若成立，请给出证明；继续旋转至如图直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求岀其面积； 2的位置，延长AB交D

10、E于M，延长BC交DF于N , DM 若不成立，请说明理由； 3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M , DMDN是否仍然成立?DN是否仍然成立?请写出结论，不用证明.A【答案】(1)在 Rt ABC 中，J AB BC , AD DC . DB DC AD, Z BDC 90 .方法一：Z ABD Z C 45 .Z mdb z bdn z CDN Z BDN 90 ,/Z MDB Z NDC .二 BMD 也 CND . DM DN .方法二：Z A Z DBN 45 .Z ADM Z MDB Z BDN Z MDB 90Z ADM Z BDN . ADM 也 BDN . DMD

11、N .四边形DMBN的面积不发生变化;由知:BMD也 CND,S BMDS CND . S四边形 DMBN11S DBN S DMB S DBN S DNC S DBC S ABC24DM DN仍然成立, 证明：连结DB .在 Rt ABC 中， AB BC ,AD DC ,文档 DB DC , Z BDC 90 .Z DCBZDBC45 .Z DBMZ DCN135 .Z NDCZ CDMZ BDMZ CDM 90 ,Z CDNZ BDM . CDN 也 BDM . DM DN . DM DN .【巩固】在 RtABC中，AB BC , ZB=90 ，将一块等腰直角三角板的直角顶点0放在斜边

12、 AC上，将三角板绕点0旋转.(1 )当点0为AC中点时， 如图1 ,三角板的两直角边分别交 AB , BC于E、F两点，连接EF ,猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系(无需证明)； 如图2 ,三角板的两直角边分别交 AB , BC延长线于E、F两点，连接EF，判断中的猜 想是否成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)当点0不是AC中点时，如图3,三角板的两直角边分别交AB , BC于E、F两点，若些 丄AC 4 求0E的值.OFOECFB图1图2【答案】(1 猜想：AE2 CF2 EF成立证明：连结.EO AB BC, ABC 90, O 点为 AC 的中点,1OBAC O

13、C , BOC 90 , ABO BCO 452EOF 90 ,EPB FOC 又 Q EBOFCO ,(2)解：如图，过点 O作OM丄AB于M , ON丄BC于N. OEB OFC(ASA) .BE CF 又 BA BC,AE BF .在 Rt EBF 中，Q EBF 90 , BF2 BE2 EF2 . AE2 CF2 EFQ B 90 , MON 90 .Q EOF 90 EOM FONQ EMO FNO 90 , OME s ONF . OM OEON OFQ AOM和 OCN为等腰直角三角形， AOM s OCN .型 .ON OCAO 1 OE 1* , AC 4OF 3正方形【例

14、6】如图，正方形EFGH的顶点E在正方形 ABCD的中心，且两个正方形的边长都为4，则阴影部分面GEFGH看作可以【答案】【解析】图中的阴影部分是一个不规则的四边形，直接求它面积比较困难如果把正方形绕着点E转动，那就转动到右上图位置，阴影部分就变成一个正方形且面积不变易得它的面积是原来正 方形面积的1，所以答案选B 4【巩固】如图，正方形OGHK绕正方形 ABCD中点0旋转，其交点为 E、F，求证:【答案】正方形ABCD 中，1 Z 2 45，OAOB而3Z 4 90，4 Z5 90/Z3Z5， AOE也 BOF二 AEBF， AEFC BF FCBCABAE CF AB KAEB 90，AC

15、、BD 交于 O 已注意：正方形 ABCD的边被覆盖部分的总长度为定值：正方形的边长.【例7】 如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ,知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形 OBE的面积.【答案】显然BOABEA90，所以OBAOABEBAEAB 90，所以OBAEBAEABOAB，所以OBEOAE，则逆时针旋转 OEA90，则0A与0B重合,E落在BE 上.OEE是等腰直角三角形.则 EE 5 3 2，容易得到SoEE1 2 2 1 cm2.4所以SOEB 1 522.5 cm【例8】 已知：四边形 ABCD是正方形，点 E在CD边上，点F在AD边上，且AF

16、= DE .（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线 AC与BD交于点O. BD , AC分别与AE , BF交于点G,点H . 求证：OG = OH ;OP =2，求AB的长. 连接OP，若AP = 4 ,(2013,7北京市西城八年级第二学期期末）【答案】（1）解：AE BF .理由如下：四边形ABCD是正方形, AB AD, BAD D 90,严AD在 VABF 和 VDAE 中， ZBAIZDOI. AF=DEVABFVDAE( SAS ,DAEABF ,DAEPABBAD 90PABABF 90 ,APB180 -9090,AE B

17、F ；(2 证明：四边形 ABCD是正方形， AOB AOG 90 , OA OB, ABO DAO 45 DAE ABF (已证)， ABO- ABFDAO- DAE ,即 OAG OBH ,IZOAG=ZOBHOA=OB,ZAOB=ZAOG=OflVOAG3OBH(ASA ,OG OH ；解：如图2，过点O作OM AE于M ，作ON BF于NVOAGVOBH (已证)， OGA OHB ,在 VOGM 和 VOHN 中,/OGA二ZQHB,1,03=09VOGM 也VOHN( AAS), OM ON ,四边形OMPN是正方形，op2 , PM OM 221 ,2 AP 4 ,AM AP P

18、M 415,在 RtVAOM 中,OA . AM2 OM 2. 52 1226 ,实用标准正方形 ABCD 的边长 AB . 2OA2 . 26 2.13.nE AB= ：0A= .g I ；.【例9】 如图所示，在四边形 ABCD中， ADC 的面积是16，求DP的长.ABC 90，AD CD，DPAB于P，若四边形 ABCD【答案】如图，过点 D作DE DP，延长BC交DE于点E，容易证得 ADP也CDE（实际上就是把 ADP逆时针旋转90，得到正方形 DPBE）正方形DPBE的面积等于四边形 ABCD面积为16， DP 4 .【例10】如图，正方形 ABCD中， FADFAE 求证：BE

19、 DF AE.F【答案】延长CB至M，使得BM DF，连接AM .文档实用标准易证得：ABM也ADF，从而可得：AFDBAFEAFBAEBAMBAE EAM ，AMBEAM，故AEEMBE BMBE DF 【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分 BAF交BC边于点E (1)求证：AF DF BE (2)设 DFx(0 x 1)， ADF与 ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求岀此时x的值文档若不存在，请说明理由.【答案】(1 )证明： 如图，延长CB至点G ,使得BG DF ,连结AG .因为ABCD是正方形，在 RtADF 和 Rt ABG 中,ADAB

20、 ,ADFABG 90,dfRt ADF也 Rt ABG (SAS), AFAG， DAFBAG .又 AE 是BAF的平分线.EAFDAF EAF BAGBAE .即 EADGAE . AD II BC， GEAEAD , GEAGAE, AGGE .即 AG BGBE . AF BGBE ,得证.(2) S S adfS ABE-DF2ADBE AB / AD2ABDFBE由知,AF DFBE ,所以S1af2.在 Rt ADF 中,ADDFx， AF x 1，S 1Vx2 1 .由上式可知，当x2达到最大值时,S最大.而0 x 1，所以，当x 1时,1 rS最大直为2 x【例11】如图，

21、一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺(1)如图，当EF与AB相交于点M , GF与BD相交于点N时，通过观察或测量 BM， 度，猜想BM， FN满足的数量关系，并证明你的猜想；(2 )若三角尺GEF旋转到如图所示的位置时，线段段BD的延长线与 G的延长线相交于点 N，此时，GEF绕斜边EF的中点0(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.FE的延长线与AB的延长线相交于点中的猜想还成立吗？若成立，请证明;【答案】FN的长M，线若不成立，请说明理由.CBBM FN .证明如下：因为GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形,所

22、以 ABDF 45，OB OF .又 BOM FON，所以 OBM 也 OFN .即 BM FN . BM FN仍然成立.理由是：因为 GEF是等腰直角三角形，四边形 ABCD是正方形，所以 DBA GFE 45，OB OF .所以 MBONFO 135 .又 BOMFON，所以 OBM 也 OFN .所以 BM FN .实用标准/如图，真题拔高ABD和 CED均为等边三角形,BAC BC, ACCBC 若BE 边，贝U CDEDF 90 , EDF绕D点旋转,1S CEF S ABC 当 EDF 绕 D 点2【答案】.3 1 【解析】易知 CDB也CDA也EDB，从而BC AC BE 2 ,

23、 AB 2 ,由 CDA CDB知CD是 ABD 一条高的一部分,不难算出答案为31【例12】已知Rt ABC中，AC BC , C 90 , D为AB边的中点,它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线）于 E、F 当 EDF绕D点旋转到 DE AC于E时（如图1），易证S def旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下， 上述结论是否成立 ？若成立，请给予证明;若不成立，S DEF , ScEF , S ABC又有怎样的数量关系？请写岀你的猜想，不需证明.图1CF B图2图3【答案】图2成立；图3不成立.证明图2 :过点D作DMAC ,DNBC则 DMEDNFMDN90再证 M

24、DENDF ,DMDN文档有DME也DNFAMEN实用标准文档S DMES DNF二 窃边形DMCNS四边形DECFS DEFS CEF1由信息可知S四边形2Sabc 2smBc二 S DEFS CEFS ABC2图3不成立，S def、S CEF、1S ABC 的关系是 :S def S CEF S ABC2【例13】如图，在 ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且 DE II BC，将 ADE绕A点顺时针旋转1 1一定角度，连结BD、CE，得到图，然后将BD、CE分别延长至 M、N，使DM - BD , EN - CE，连结AM、AN、MN，得到图，请解答下列问题：(1 )若AB AC

25、 ,请探究下列数量关系:在图中，BD与CE的数量关系是 在图中，猜想 AM与AN的数量关系、MAN与 BAC的数量关系，并证明你的猜想;(2)若AB k AC ( k 1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究:MAN与 BAC的数量关系，直接写岀你的猜想，不必证明.AM与AN的数量关系、(09年朝阳二模)N图图图【答案】BD CE【例14】【答案】AMAN ,MAN BAC证明：在 BAD和 BACBD CECAE中DAE BAD CAE ,由题意知:CAE1ABD ACE，又 DM BD ,2ACN, - AMAN , BAMABENCAN ,AC ,-CE2MANAD AE , BMBAC

26、CN AM k AN , MAN证明如下 BAC BDABCEAC，又DM1 -BD2 AMABANAC已知，ABC中,BACBADAB ADCAE, V.AC AE BADsCAEABD ACE , BDkCE133BMBDAB,EN -CE ,.BM -BD,CNCE , 222CNCEACk , BAMCAN , AMk AN, MANBAC .1 , D为AB延长线上一点,的平分线上，且满足ABM s CANAB(1)求证：BC BP3, BAC 120 , ACPAD是等边三角形.(2)求点C到BP的距离.解法一：连结PC/ AC 1BD ,BD点P在 BAC/ BAC120 , A

27、P平分BAC , CAB1 BAC 60 ,2 PAD是等边三角形，PA PD ,60CABD，PAC也 PDB，PC PB，APCDPBAPCAPBDPBAPB， BPCDPA 60解法二:作BM/PA交PD于M，证明 PBM也BCA，证明过程略.解法一:作CEPB 于 E， PFAB 于 F ./ AB3，BD 1，AD 4， PAD是等边三角形， PF AB， DF1-AD 2，2PF PD sin602.3， BFDF BD1, BPBF2PF2.13 , CEBC sin60BP sin60132339，即点C到Bp的距离等于罟.PBC是等边三角形， BC BP .解法二：作BN D

28、P于N ,173DN-,NP DPDN, BN2，2，2，BPBN2 NP2币.以下同解法【例15】如图1，若 ABC和 ADE为等边三角形,M，N分别EB ,CD的中点，易证：CD BE， AMN是等边三角形.(1)当把 ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由;(2)当 ADE绕A点旋转到图3的位置时,AMN是否还是等边三角形？若是，请给岀证明，并求岀当AB 2AD时,ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由.BBAB AC , AEAD ,BAC EAD60BAEBACEAC60EAC,DAC BAEDAC , ABE也 ACD

29、CD BE(2) AMN是等边三角形.理由如下：/ ABE也ACD ,ABE ACD .实用标准【答案】(1) CD BE.理由如下： ABC和 ADE为等边三角形M、N分别是BE、CD的中点, BM1 -BE2DAE EAC 60EAC ,/ AB AC , ABE ACD ,CD CN2ABM 也 ACN .文档 AM AN, MAB NAC.NAM NAC CAMMAB CAM BAC60 AMN是等边三角形.设 AD a，贝U AB 2a ./ AD AE DE, AB AC , CE DE .DEC120,ADE 60 , EDCECD30ADC90在 Rt ADC 中,AD a ,

30、ACD30CD、3a .- N为DC中点， DN 二3a , ADE为等边三角形,-a. AN . DN2 AD2苗 2 a a2 ADE , ABC ,AMN为等边三角形，2 SV ADE Sv ABC* SVAMN2 c彳 7a : 2a :a21:4：-44:16:7解法二： AMN是等边三角形理由如下: ABE也 ACD , M、N 分别是 BE、CN的中点, AM AN, NC MB ./ AB AC , ABM 也 ACN, MABNACNAM NAC CAMMAB CAMBAC 60设 AD a，贝U AD AE DEa, AB BCAC 2a易证 BE AC , BE AB2

31、AE22a $ a2. 3a ,实用标准文档 AMEM 2 EM2AE23a2 ADE , ABC ,AMN为等边三角形Sv ADE * Sv ABC* Sv AMN227a : 2a :a271:4: 44:16:7D，点E、F分别在BC、CD上，且【例16】已知：在四边形 ABCD中，AD / BC, BACAEF ACD /,试探究AE与EF之间的数量关系(1)如图1，若ABBC AC，则AE与EF之间的数量关系为(2)如图2，若ABBC ,你在（1 ）中得到的结论是否发生变化?写岀你的猜想，并加以证明;(3)如图3，若ABkBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化?写岀你的猜想，并图1图图（09年海淀二模）【答案】（1 ） AE与EF之间的数量关系为 AE EF .（2）猜想：（1 ）中得到的结论没有发生变化 .证法一：如图，过点E作EH / AB交AC于点H，则BAC1 180BAC2 .Q ABBCBAC323EHEC . QAD/ BC，DDCB180 .Q BACD，1 DCB ECF .Q 45， AEF ACF，证法67.AEH FEC.AE EF .如图，过点E作EG/ AC 交 AB 于点DDCB 180 ,21DCBECF ,BQAEF4 .BAEFQBGAEAEFCEFGAECEF.Q ABBC180 QBAC1/ADQ ZB