勾股定理竞赛试题(一

1、1.2.A.3.E、勾股定理培优训练B如图， ABC的顶点A、B、C在边长为1A.B.如图，四边形 ABCD中, AB=ADAD/ BCB.二2 ABC 中，AB=AC / BAC=90，直角/F,给出以下四个结论:AE=CF厶EPF是等腰直角三角形的正方形网格的格点上，BDLAC于点D.则BD的长为（/ ABC=60 ,C.EPF的顶点EF=AP当/EPF在厶ABC内绕P旋转时（点 E不与A、B重合）A. 1个B. 2个C.7.如图，在 ABC中，/ BAC=30 , AB=AC AD是BC边上的中线，/ ACE/ BAC CE交AB于点E,2交AD于点F.若BC=2,贝U EF的长为（）C

2、.D.C. 1D./ BCD=30 , BC=6那么 ACD的面积是(2一；D.L RtACD的 *P是BC的中点，两边 PE、PF分别交 AB AC于S 四边形 AEP=SABC2，则上述结论始终正确的有（D. 4个再以面积是（角3 cmJ *4 K形，以Rt 个等腰RLctnII角边，画丿3&已知 ABC是腰长为1的等腰直角三&cm勺斜边AD为直）A勺斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt ACDA，依此类推，第A.22B.2nnC. 2D.9.已知直角三角形的斜边为2,周长为r.则其面积是（)A.12B.1C.二2D.F列五个命题:10.形的n个等腰直A7VBcC(1)(2)(3)(4)4.

3、如图，已知圆柱底面的周长为4dm圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上，过点 A和点C嵌有一圈金属(5)丝，则这圈金属丝的周长最小为（A. 4 i 7dmC.若直角三角形的两条边长为5和12,则第三边长是13;如果a0,那么I -:=a若点P （ a, b）在第三象限，则点 P （ - a，- b+1）在第一象限;对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中不正确命题的个数是（A. 2个B. 3个C. 4个5.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到11.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm B

4、C=8cm现将直角边达点B,那么所用细线最短需要（)cm.落在斜边AB上，且与AE重合，贝U CD等于（）A. 10nB.29+16112C.A. 2 cmB. 3cmC. 4 cm6.在 ABC 中，/ ACB=90 ,AC=12, BC=5,AM=AC BN=BC 贝U MN的长为()A.2B.C. 3D.4D. 5个AC沿直线AD折叠,D. 5 cm12 . 2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是2小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为 b

5、,那么（a+b）的值为（使它它是13,A. 13B. 19C. 25D. 16913.如图，矩形ABCD的边长AB=6, BC=8将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是A.B. 6C. 10D. 5三.解答题19 .如图，已知 人。是厶ABC的高，/ BAC=60 ,BC=3,AC=2试求 AB的长.填空题14.如图， ABD和 CED均为等边三角形,AC=BC ACL BC 若 BE阪，贝U CD=15.在 Rt ABC中，/ C=9C , D为 BC上一点，/ DAC=30 , BD=2 AB=2 ；，贝U BC的长是20 .操作发现：将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直

6、角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.问题解决：将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上, AC与BD交于点0,连接CD如图.av bv c,斜边上的高为h，则下列说法中正确的(1)求证： CDO是等腰三角形；(2)若DF=8,求AD的长.21 .已知a,是什么三角形.是.(只填序号)a2b2+h4= (a2+b2+1) h2;b 4+c2=b2c2;由*八-4可以构成三角形；直角三角形的面积k2的最大值是-.217.如图，在四边形 ABCD中, AB=2, CD=1, / A=60,Z B=Z D=90，则四边形ABCD勺面积18.如图，

7、四边形 ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接 DE交AB于点F,/ AED=Z CED点G是DF的中点.若 BE=2, AG=8贝U AB的长为27 .如图， ABC中，/ A= 90 , AC= 20, AB= 10,延长 AB到 D,使 CDb DB= AO AB 求 BD的长.22.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m 8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长.28 .如图，将矩形 ABC船EF折叠，使点 D与点B重合，已知 AB= 3, AD= 9，求BE的长.24.已知：如图， AB(中,

8、 ABAC, AD是BC边上的高.求证:I23.已知，如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90，/ A=30, CDLAB 交 AB于点 E,且 CD=AC DF/ BQ分别与AB AC交于点G F.(1)求证：GE=GF(2)若 BD=1,求 DF 的长.29 .如图，折叠矩形的一边 AD使点D落在BC边的点F处，已知 AB= 8cm, BC= 10cm,求EC的长.25.已知： ABC是钝角三角形，CD垂直BA延长线于 D,求证:2 2 2BC AB AC 2 AB AD26.如图，在 Rt ABC中，/ C= 90,E30 .已知：如图， ABC中，/ C= 90, D为AB的中点，E

9、 F分别在AC BC上，且DELDF.求证:AE+ BF = EF2.(A) , 3a(B) (1 . 2)a(C) 3a(D)6、某数学课外实验小组想利用树影测量树高,他们在同一时刻测得一名身高为米的同学落在地面上的1,在四边形 ABCD中,已知 AB=30,AD=48,BC=14,CD=40, / ABD+Z BDC=90 ,四边形 ABCD勺面积为影子长为米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上（如图）墙上影长 CD=，则树高 AB=米7、一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为，他们测得地面部分的影子BC=米,2. 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=9(5,Z CAB=3(5,Z

10、 ACB的平分线与/ ABC的外角平分线交于 E点，则Z AEB=().(A)50 0(B)450 (C)400(D)3503. 如图，Rt ABC Z C= 90 , Z B= 30 ,BC= 6, D 为 AB 中点，P 为 BC上一动点，连接 AP、DP,则AP+ DP的最小值是A 4 B 、. 34 C 、4 或.34 D 、2&王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB长60cm,则荷花处水深 OA为A、120cm B、60. 3 cm C、60cm D、cm20 . 39、等腰三角形的底角是15，腰长为10

11、,则其腰上的高为10、已知，如图(1)在厶 ABC中，Z ACB90, A(=8, BG=6, CD(第 3 题)分别是斜边AB上的中线和高。则下列结论错误的是（)245C CE=D DE=BE=5211、如图（3）,在等腰直角三角形ABC中, Z C=90, D为 BC的中点,CD=5A AB=10B4、如图，方格图中小正方形的边长为1,将方格中阴影部分5、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点将厶ABC折叠，使点 A与点D重合，EF为折痕，则AF: CF=（）A.2:1B . 3:2 C . 5:3 D . 7:512、如图（10）是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方

12、形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A B、C D的边长分别是3,则最大正方形 E的面积是(第14题图)第15题图)14已知一个梯形的四条边长分别为A. 5B. 8B. 47 C. 4813、如图，已知 ABC中，/ ABC90。，AB=BC三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1, I2, I3上，且I 1, I 2之间的距离为1 ,12，l 3之间的距离为3 ,则点B到AC的距离是 2、3、4、5,则此梯形的面积为(C也D遊3317. 如图将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕 FG若FG的长为13cm,则CE的长=()cm(A) 5(B) 6(C

13、) 7(D) 818. 如图，R为正方形 ABCD内一点，RA： RB： RC= 1 : 2 : 3,则/ ARB=19 .如图，将边长为 2cm的正方形 ABCD沿其对角线 AC剪开，再把 ABC沿着AD方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离 AA等于A .B. 1cmC.C. 2cm15 如图，四边形于( )A. 4,13 B.ABCD中，/ A=Z C= 90,/ ABC= 60,8.3 C. 12 D.10 .3AD= 4, CD= 10,贝U BD的长等20 .如图，在矩形ABCD中, AB=6 BC=8若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕 EF的长

14、为A1515A .B.24C. 5D.6R0,记 Mj AR2 RB RC16 如图， ABC中, AB= AC= 2, BC边上有10个不同的点 P1 , P2 ,21，则此直角三角形的周长最小值是(i = 1 , 2,10),那么M1 M2M 10的值为()21 .直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是22 .正方形ABCD正方形BEF&H正方形RKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG勺边不能确定长为2,则厶DEKF面积为(ABEC. 3AD.2DCCF)90形ABCD勺面积为13.A市受台风影响持续的时间是C20 h40 hA沿BA东C如图如图A么时间段内做预防

15、工作ECNB为EF+ FP的最小值为)BPDAABCEB 北压平后得到折痕MN则线段AM勺长度B. 6000接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他BC方向以15km/h的C 75A. 45A. 10 h30、(本题满分7分)一次“探究性”学习课中，老师设计了如下数表如图，在正方形 ABCD中, BD= BE CE/ BD BE交CD于 F点，则/ DFE勺度数为D.以上都不对ABC折叠，使点 B落在CD边上的中点E处速度移动，已知城市 A到BC的距离AD=100km图4每个小正方形的边长为(2)已知在距台风中心 30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员

16、早上 631、(本题满分8分)(1)台风中心经过多长时间从 B移动到D点?30 h D29 如图，梯形 ABCD勺上、下底分别为1和4,对角线AC=4 BB3，则梯的点0处(如图4),正以20 km/h的速度向北偏西 60方将长为 4 cm宽为2 cm的矩形纸片向移动，距离台风中心250 km范围内都会受到影响，若台如图，某城市 A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心,1, A B C是小正方形的顶点，则/ ABC勺度数为如图所示，AE! AB BCL CD且 AB=AE BG=CD F、A、G C H在同一直线上，如按照图中所标注25.根据天气预报，某台风中心位于A市正东

17、方向300 km(2)猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想。正方形 ABC啲边长为4, E、F、P分别为AB BC DA上的点，且 AE= BE DP= 3AP ( F为动点)AMC 2 10 请你分别观察a、b、c与n的关系，并用含自然A .17F d数n(n 1)的代数式表示：a= b= c=B 37C 们要在什M /r 60的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是23.24、26.27.28.则n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1风移动的速度和方向不变，则32、（本题满分 9 分）如图，梯形 ABCD中 ,A

18、D / BC且 AB! BC,已知 AD=1,AB=BC=4.求DC的长。（2）若 E为AB中点，连结 DE,CE,求证：DE平分/ ADC, CE平分/ DCB34、如图（7） ABD的厶CED均为等边三角形，AC=BC,AC_ BG 若 BE=/2 ,贝U CD=35 .如图，在直角梯形图（3）BABCD中, AB=BC=12 E 为 AB中点，/ DCE=45，求 DE的长(10 分)33.（本小题满分9分）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山 （B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB 50km, A、B 到直线X的距

19、离分别为10km和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向A、B两景区运送 游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ AP与直线X垂直，垂足为P ）, P到A、 B的距离之和Si PA PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是 A，连接BA 交直线X于点P ）, P到A、B的距离之和S2 PA PB .（1 ）求Si、，并比较它们的大小；（2）请你说明S2 PA PB的值为最小；（3 ）拟建的恩施到张家界高速公路 Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q，使P、A、B、Q组 成的

20、四边形的周长最小并求出这个最小值.若AC=6求梯形ABCD勺面积。36、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形的对角线的交点 0旋转（tt），图中的M N分别为直角三角形的直角边与矩形ABC(ABn0的三角形；三边的比为3: 4: 5的三角形； 三个内角的比是 1: 2: 3的三角形；2、有长度为9cm, 12cm, 15cm, 36cm, 39cm的五根木棒，能搭成（首尾顺次相连）直角三角形的个数 为（）A、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、 若线段a, b, c组成Rt，则它们的比可以为（）A、2 : 3 : 4 B 、3 : 4 : 6C 5

21、: 12 : 13D 4 : 6 : 74、 三角形的三边长为（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形5、 一直角三角形的斜边比一直角边大4,另一直角边长为 8,则斜边长为（A、6 B 、8 C 、10 D 、126、 直角三角形的周长为 12cm,斜边长为5cm,则其面积为（）2 2 2 2A、 12cm B 、 10cm C 、 8cm D 、 6cm7、在 Rt ABC中，Z ACB=90, CD丄AB于 D, AC=6 AB=10,贝U BD=7、如图，正方形网格中的 ABC若小方格边长为1,则厶ABC是 （）im 一阵风

22、吹来，竹竿倒向一边,6、厂门的上方是一个半圆，一辆装满货物的卡车， 宽为1.6m ,高为2.6m,这辆卡车能否通过厂门 （要求卡车的上端与门的距离不小于0.2m）（图中单位：m）A、直角三角形 B 、锐角三角形 C、钝角三角形D、以上答案都不对三、解答题1有一边长为4米的水池的池中央，竖着一根竹竿，竹竿高出水面竹竿的顶端恰好靠在池边，顶端与水面相平。求这里的水深是多少米2、小明要外出旅游，他带的行李箱长40cm，宽30cm,高60cm，把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱7、如图， ABC中，/ C=90, AB的垂直平分线交BC于 M 交 AB于 N,若 AC=8 MB=2M,求 AGmB3

23、、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于 4cm（3 ）在圆柱下底面的 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A相对的B点处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程。直角边的长。AB=4, AC=3 BC=2,求 BD 的长。4、如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为和4，求提咼训练1、 若一个三角形的边长分别是12、16和20 ,则这个三角形最长边上的高长是 。2、 如图是一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为3dm 2dm 2dm, A和B是这个盒子两个相 对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着盒子表面面爬到5、如图，/ ADC=9

24、0 , AD=12m CD=9m AB=39m BC=36m 求这块地的面积。B点最短路程是dm.3、有一直角三角形，其两边分别为12和16，则该三角形的三条角平分线的交点到斜边的距离是AD=8, AB=17, AC=1Q ADL BC,求 BC的长。5、如图，在 ABC中，CE是AB边上的中线， CDL AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长。求证：aB- bC= ABX BC证明：作Z B的平分线交AC于D,则Z A=Z ABDZ BDC= 2 Z A=Z C AD= BD= BC作 BML AC于 M 贝U CM= DMab2 bC=( bM+ aM)( bM + CM)=

25、aM cM=( AM CM (AM- CM=ACX AD= ABX BC例 4.如图已知厶 ABC中，ADL BC, AB+ CD= AC+ BD求证：AB= AC证明：设 AB, AC, BD CD分别为b,c,m,n贝V c+n=b+m, c-b=m-n12、A ABC中，AB=15, AC=13 ADL BC,且 AD=12 求厶 ABC的面积。例 2.四边形 ABCD中/DAB= 60 ,/ B=Z Rt Z, BC= 1 , CD= 2 求对角线AC的长 解：延长 BC和 AD相交于E,则Z E= 30 CE= 2CD= 4,在Rt ABE中设 AB 为 x,贝U AE= 2x根据勾

26、股定理x2+52=(2x) 2, x 2=-253在Rt込中，心.x2忙=拧1=3 21例 3.已知 ABC中，AB= AC Z B= 2Z ATAD丄BC,根据勾股定理，得2 2 2.2 2AD = c -m =b -n2 2 2 2 c -b =m-n , (c+b)(c-b)=(m+n)(m_n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n )(c-b) = 0(c-b)(c+b) (m+n) = 0/ c+bm+n, c-b=0 即 c=b AB= AC例 5.已知梯形 ABCC中 , AB/ CD AD BC求证：AO BD证明：作 DE/ AC, DF/ BC,交BA或延长线于点 E、FACDE和BCDF都是平行四边形 AH FH, EH BHDE= . DH 2 EH 2 , B . DHBH DE BD即 AC BD求：ba的值解：根据勾股定理a2+b2=EF2= Sefg=-3;4Saaef= Sbcd Sefgh 2ab=13（2001年希望杯数学邀请赛，初二）例6.已知：正方形 ABCD勺边长为1,正方形227. 在厶ABC中，/ C是钝角，a -b =bc 求证/ A= 2 / B8. 求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9. 已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形 AB